Stetigkeit

Die Stetigkeit ist ein Konzept der Mathematik, das vor allem in den Teilgebieten der Analysis und der Topologie von zentraler Bedeutung ist. Eine Funktion heißt stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Argumentes (der Argumente) zu beliebig kleinen Änderungen des Funktionswertes führen. Das heißt insbesondere, dass in den Funktionswerten keine Sprünge auftreten. Treten Sprünge nur in einer Richtung auf, spricht man von Halbstetigkeit.

Definitionen

Graphische Veranschaulichung einer unstetigen reellen Funktion

Die Idee der Stetigkeit kann wie folgt beschrieben werden: Eine reellwertige Funktion $f\colon I\to\mathbb{R}$ auf einem reellen Intervall $I\subseteq\mathbb{R}$ ist stetig, wenn der Graph der Funktion $f$ ohne Absetzen des Stiftes gezeichnet werden kann. Die Funktion darf insbesondere keine Sprungstellen haben. Diese Aussage ist keine Definition, weil einerseits unklar ist, wie ohne Absetzen des Stiftes zeichnen in mathematischen Begriffen ausgedrückt werden könnte. Andererseits gibt es sowohl stetige Funktionen, deren Graphen Sprünge aufweisen (Bsp. $x\in\R \setminus \{0\} \mapsto \tfrac{1}{x}$), als auch unstetige Funktionen, deren Graphen keine Sprünge im anschaulichen Sinne aufweisen (Bsp. Dirichlet-Funktion: zwei parallele, durchgezogene linien). Trotzdem entspricht sie ungefähr der Bedeutung der Stetigkeit und ist daher für die Anschauung sehr nützlich.

Augustin Louis Cauchy und Bernard Bolzano gaben Anfang des 19. Jahrhunderts unabhängig voneinander eine Definition der Stetigkeit. Sie nannten eine Funktion stetig, wenn hinreichend kleine Änderungen des Arguments nur beliebig kleine Änderungen des Funktionswerts nach sich zögen. Dies war bereits eine exakte Definition, die aber in ihrer praktischen Anwendung gewisse Fragen offen lässt. Das heutzutage übliche ε-δ-Kriterium wurde von Karl Weierstraß am Ende des 19. Jahrhunderts eingeführt.

Es sagt in Worten etwa: Die Funktion $f$ ist in einem Punkt $p$ stetig, wenn es zu jeder Umgebung $V$ seines Bildpunktes $f(p)$ eine Umgebung $U$ von $p$ gibt, die durch $f$ ganz in die Umgebung $V$ abgebildet wird.

Stetigkeit reeller Funktionen

Für reelle Funktionen – also Funktionen, deren Definitionsbereich und Zielbereich Teilmengen der reellen Zahlen sind – sind zwei äquivalente Definitionen der Stetigkeit üblich:

Veranschaulichung der ε-δ-Definition: für ε = 0,5 erfüllt δ := 0,5 die Stetigkeitsbedingung.

Epsilon-Delta-Kriterium

Die Funktion $f\colon D \to \R$ ist stetig in $\xi \in D$, wenn zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta > 0$ existiert, so dass für alle $x \in D$ mit $|x - \xi| < \delta$ gilt: $|f(x) - f(\xi)| < \varepsilon$.

Intuitiv bedeutet dies, dass man in eine noch so kleine $\varepsilon$-Umgebung alle Funktionswerte einschließen kann, wenn man die $\delta$-Umgebung für die $x$-Werte klein genug wählt.

Folgenkriterium

Die Funktion $f\colon D\to \R$ ist stetig in $\xi \in D$, wenn für jede Folge $(x_k)_{k\in\N}$ mit Elementen $x_k\in D$, die gegen $\xi$ konvergiert, auch $f(x_k)$ gegen $f(\xi)$ konvergiert.

Eine Funktion heißt stetig in $D$, wenn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches stetig ist.

Der Begriff der Stetigkeit einer Funktion lässt sich auch mit Hilfe des Begriffs des Grenzwerts einer Funktion definieren: Eine Funktion $f$ ist stetig in $\xi\in D$ genau dann, wenn der Grenzwert von $f$ für $x\to \xi$ existiert und $\lim_{x\to \xi}f(x)=f\left(\xi\right)$ gilt oder wenn $\xi$ ein isolierter Punkt ist.

Topologisches Kriterium

Eine äquivalente Charakterisierung der Stetigkeit ist eine Topologische: Eine Funktion ist genau dann stetig, wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist.

Beispiele

• Die Sinusfunktion $\sin\colon \R \to \R,\; x \mapsto \sin x$ ist in $\R$ stetig.
• Die Kosinusfunktion $\cos \colon \R \to \R,\; x \mapsto \cos x$ ist in $\R$ stetig.
• $f \colon \R \to \R,\; x \mapsto e^{\cos x}$ ist (als Komposition der Exponential- und der Kosinusfunktion) in $\R$ stetig.
• Die Tangensfunktion $\tan\colon D\to\R, x\mapsto\tan x$ ist stetig in ihrem gesamten Definitionsbereich $D$. Dieser ergibt sich wegen $\tan x = \tfrac{\sin x}{\cos x}$ zu $D=\{ x \in \R \, | \, \cos x \neq 0 \}$, also zu $D=\R \setminus \{ \pm \tfrac{\pi}{2}, \pm \tfrac{3 \pi}{2}, \pm \tfrac{5 \pi}{2}, \dotsc \}$.
  Bemerkung: Keine Unstetigkeitsstellen sind die Argumente $\{ \pm \tfrac{\pi}{2}, \pm \tfrac{3 \pi}{2}, \pm \tfrac{5 \pi}{2}, \dotsc \}$ sowie das Argument $x=0$ der Kehrwert-Funktion, da die Funktionen an diesen Stellen gar nicht definiert sind und sich Stetigkeit immer nur auf Punkte des Definitionsbereichs beziehen kann.
• Die Kehrwert-Funktion $f\colon D \to \mathbb{R},\ x \mapsto \tfrac{1}{x}$ ist stetig auf ihrem gesamten Definitionsbereich $D=\mathbb{R} \setminus \{0\}$.
• Die Signum-Funktion
  $\operatorname{sgn}(x)=\begin{cases}1\ , & x>0\ ,\\ 0\ , & x=0\ ,\\ -1\ , & x<0\ ,\end{cases}$
  ist an jeder Stelle $x \in \R\setminus \{0\}$ stetig, aber an der Stelle 0 unstetig: Der linksseitige Grenzwert ist −1, der rechtsseitige Grenzwert +1 und somit existiert der Grenzwert $\textstyle \lim_{x\to 0}\,\operatorname{sgn}(x)$ nicht. Deshalb ist die Signum-Funktion nicht auf ganz $\R$ stetig.
• Die Funktion
  $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\ ,\ f(x) := \left\{\begin{array}{ll}\sin\left(\frac{1}{x}\right)\ ,&x \in \mathbb{R}\setminus\{0\}\ ,\\0\ ,&x = 0\ ,\end{array}\right.$
  ist an der Stelle 0 unstetig (sogenannte Oszillationsstelle), in allen anderen Punkten stetig.
• Die Dirichlet-Funktion
  $f \colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\ ,\ f(x) := \left\{\begin{array}{ll}1\ ,&x \in \mathbb{Q}\ ,\\0\ ,&x \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}\ ,\end{array}\right.$
  ist an jeder Stelle unstetig.
• Die thomaesche Funktion auf dem Intervall $[0;1]$
  $f(x) := \begin{cases} 1\ ,& \mbox{wenn } x=0\ , \\ 0\ , & \mbox{wenn } x \mbox{ irrational}\ , \\ \frac 1q\ , & \mbox{wenn } x=\frac pq \mbox{ mit } p, q \in \N \mbox{ und } \operatorname{ggT}(p,q)=1\ , \end{cases}$
  ist an jeder rationalen Stelle unstetig und an jeder irrationalen Stelle stetig.
• Jede Funktion ist in jedem isolierten Punkt ihres Definitionsbereichs stetig. Insbesondere sind Folgen in $\R$ stetig.

Eigenschaften

• Sind $f$ und $g$ stetig auf einem gemeinsamen Definitionsbereich $D$, so sind auch $f + g$, $f - g$, $f \cdot g$ und $\tfrac{f}{g}$ stetig; allerdings muss der Definitionsbereich von $\tfrac{f}{g}$ für den Fall, dass $g$ eine oder mehrere Nullstellen hat, auf den Bereich $D':=\{x\in D: g(x)\ne 0\}$ eingeschränkt werden.

• Die Komposition $f \circ g$ zweier stetiger Funktionen ist ebenfalls stetig.

Linksseitige/rechtsseitige Stetigkeit

Graph einer in $x_0$ linksseitig stetigen Funktion $f$.

Eine auf einer Menge $D\subseteq\mathbb{R}$ definierte Funktion $f$ ist in einem Punkt $\xi \in D$ linksseitig stetig, wenn der linksseitige Grenzwert $\lim_{x \to \xi-} f(x)$ existiert und $= f(\xi)$ ist. Ist $f$ auf dem ganzen Definitionsbereich linksseitig stetig, so sagt man auch, $f$ ist linksstetig. Analog definiert man rechtsseitige Stetigkeit über den rechtsseitigen Grenzwert mit analoger Notation $\lim_{x \to \xi+} f(x) = f(\xi)$.

Eine auf einer Teilmenge der reellen Zahlen definierte Funktion ist also genau dann stetig in $\xi$, wenn in $\xi$ rechts- und linksseitige Grenzwerte existieren und $= f(\xi)$ sind. Dies ermöglicht eine Klassifizierung von Unstetigkeitsstellen.

Stetige Ergänzbarkeit

Ist ein Punkt $\xi\in \R\setminus D$, aber Häufungspunkt von $D$, so kann es sein, dass der (beidseitige) Limes $\lim_{x \to \xi} f(x) = \eta$ existiert. Die ergänzte Funktion ${ \color{red} f } \colon D { \color{red} \cup \{\xi\} } \to \R$ mit ${ \color{red} f } (\xi) = \eta$ und ${ \color{red} f } (x) = f(x)$ für $x \in D$ ist dann an der Stelle $\xi$ stetig. Man sagt, die Funktion $f\colon D \cup \{\xi\} \to \R$ sei an der Stelle $\xi$ stetig ergänzbar, und erfindet normalerweise für die neue Funktion ${ \color{red} f }$ keinen neuen Namen.
Der Ergänzungswert $\eta$ lässt sich in vielen differenzierbaren Fällen durch die Regel von L’Hospital bestimmen.

→ Hauptartikel: Stetig behebbare Definitionslücke

Beispiele:

1. Die Funktion $f \colon \R \setminus \{0\} \to \R , x \mapsto \tfrac{\sin x}x$ ist zunächst an der Stelle $x=0$ nicht definiert. Die Ableitung des Nenners ist aber 1, so dass nach der Regel von L’Hospital $\lim_{x \to 0} \tfrac{\sin x}x = \lim_{x \to 0} \tfrac{\cos x}1 = 1$ ist, und die Definition von $f$ sich auf ganz $\R$ stetig (und sogar analytisch) ergänzen lässt.
2. Die Unstetigkeit der Funktion $x^{-1}$ an der Stelle $x=0$ lässt sich nicht beheben.

Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen metrischen Räumen

Eine Funktion heißt stetig, wenn sich ihr Funktionswert genügend wenig ändert, solange man nur das Funktionsargument genügend wenig ändert. Mit den Begriffen des metrischen Raumes lässt sich diese Beschreibung in verschiedener Weise formalisieren. $(X,d_X)\,$ und $(Y,d_Y)\,$ sind jeweils metrische Räume mit den zugehörigen Metriken, $f\colon X\rightarrow Y\,$ eine Funktion mit Definitionsbereich $D \subseteq X$. Folgende Definitionen sind äquivalent:

Epsilon-Delta-Kriterium

$f$ heißt (lokal) stetig in $x_0 \in D$, wenn zu jedem $\varepsilon>0$ ein $\delta>0$ existiert, so dass $d_Y(f(x),f(x_0)) < \varepsilon$ für alle $x$ mit $d_X(x,x_0) < \delta$ gilt.

Darstellung der in $(0,0)$ unstetigen Funktion $h(x,y)$: weiß bedeutet $h(x,y)=0$, rot: $h(x,y)>0$ und blau: $h(x,y)<0$.

Folgenkriterium

$f$ ist stetig in $x_0$ $\Leftrightarrow$ Für jede Folge $(x_n)$ aus $D$, die gegen $x_0$ konvergiert, konvergiert $f(x_n)$ gegen $f(x_0)$.

Umgebungskriterium

$f$ ist genau dann stetig in $x_0$, wenn es zu jeder Umgebung $V$ von $f(x_0)$ eine Umgebung $U$ von $x_0$ gibt, deren Bild in $V$ enthalten ist, also $f(x) \in V$ für alle $x \in U$.

In vielen Themen der Analysis kommen stetige Abbildungen zwischen den metrischen Räumen $(\mathbb{R}^n,|\cdot|)_{n=1,2,\dotsc}$ in Betracht. Die Funktion

$\begin{align}f\colon\R^2&\to \R\\ (x,y)&\mapsto x^2+y^2\end{align}$

ist zum Beispiel stetig. Hier sind $f_1(x)=f(x,y_0)$ bei fixiertem $y=y_0$ und $f_2(x_0,y)$ bei fixiertem $x=x_0$ stetige Funktionen. Dies ist jedoch im Allgemeinen kein ausreichendes Kriterium für die Stetigkeit von $f(x,y)$. Ein Gegenbeispiel könnte man folgendermaßen konstruieren: $(r(x,y),\phi(x,y))$ seien die Polarkoordinaten von $(x,y)$. Dann ist die Funktion

$\begin{align}h\colon\R^2&\to \R \\ (x,y)&\mapsto\begin{cases}\max\left(0,\min\left(\varphi(x,y)-\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}-\varphi(x,y)\right)\right)\cdot\sin\left(\frac{1}{r(x,y)}\right), & r(x,y)\neq 0 \\ 0, & r(x,y)=0\end{cases}\end{align}$

in $(0,0)$ unstetig, obwohl $h_1(x)=h(x,y)$ und $h_2(y)=h(x,y)$ für jedes $y$ bzw. $x$ stetige Funktionen einer reellen Variable sind. Weitere relevante Klassen stetiger Funktionen bilden die stetigen Funktionen $f\colon\Bbb C \to \Bbb C$. Die komplexe Exponentialfunktion $z\mapsto f(z)=\exp(z)$ ist Beispiel für eine solche Funktion.

Weitere Verallgemeinerung: Stetige Funktionen zwischen topologischen Räumen

→ Hauptartikel: Stetigkeit (Topologie)

Alle bisherigen Definitionen sind Spezialisierungen der entsprechenden Definition von Stetigkeit in der Topologie. Dort heißt eine Funktion zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn die Urbilder offener Mengen wiederum offene Mengen sind. Eine Funktion $f\colon X\to Y$ heißt folgenstetig, wenn sie das Folgenkriterium erfüllt, wenn also

$\lim_{n\to\infty} f\left(x_n\right)=f\left(\lim_{n\to\infty} x_n\right)$

für jede konvergente Folge $(x_k)_{k\in\N}$ mit Elementen $x_k\in X$ gilt.

Jede stetige Funktion ist folgenstetig. In Räumen, die das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, insbesondere also in metrischen Räumen, gilt auch die Umkehrung, dass jede folgenstetige Funktion stetig ist.

Andere Stetigkeitsbegriffe

Verschärfungen des Begriffs der Stetigkeit sind z. B. gleichmäßige Stetigkeit, (lokale) Lipschitz-Stetigkeit, Hölder-Stetigkeit sowie absolute Stetigkeit. Die gewöhnliche Stetigkeit wird mitunter auch als punktweise Stetigkeit bezeichnet, um sie gegenüber der gleichmäßigen Stetigkeit abzugrenzen. Anwendungen der Lipschitz-Stetigkeit finden sich z. B. in Eindeutigkeitssätzen (z. B. Satz von Picard-Lindelöf) für Anfangswertprobleme und in der geometrischen Maßtheorie. Die absolute Stetigkeit findet Verwendung in der Stochastik und der Maßtheorie.

Eine Eigenschaft, die eine Menge von Funktionen besitzen kann, ist die gleichgradige Stetigkeit. Sie spielt eine Rolle im häufig verwendeten Satz von Arzelà-Ascoli.

Zusammenhang

Es gelten folgende Zusammenhänge im Fall reeller Funktionen:

$f$ Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ lokal Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ stetig

und

$f$ Lipschitz-stetig $\Rightarrow$ $f$ absolut stetig $\Rightarrow$ $f$ gleichmäßig stetig $\Rightarrow$ $f$ stetig.

Beispiele

Einige Gegenbeispiele sollen demonstrieren, dass die Rückrichtungen in aller Regel nicht gelten:

• $f\colon\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto x^2$ ist lokal Lipschitz-stetig, aber weder Lipschitz-stetig noch gleichmäßig stetig.

• $f\colon[-1,1]\rightarrow\mathbb{R}, x\mapsto \sqrt{|x|}$ ist stetig, aber nicht lokal Lipschitz-stetig im Nullpunkt.

Wichtige Sätze über stetige Funktionen

Verkettung stetiger Funktionen

Jede Verkettung (auch Komposition, Hintereinanderausführung oder Hintereinanderschaltung genannt) stetiger Funktionen ist auch wieder stetig.

Summen stetiger Funktionen

Endliche Summen stetiger Funktionen sind stetig.

Eine Reihe kann jedoch als Grenzwert einer Folge stetiger Funktionen selbst dann unstetig sein, wenn sie in jedem einzelnen Punkt gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Das älteste Beispiel hierfür ist die 1826 von Niels Henrik Abel angegebene Reihe

$\sum_{n=1}^\infty (-1)^n\,\,\frac{\sin\,nx}n,$

die unter anderem an der Stelle $x=\pi$ unstetig ist. Liegen allerdings stärkere Voraussetzungen wie etwa die gleichmäßige Konvergenz der Partialsummen der Reihe vor, so ist auch die Grenzfunktion zwangsläufig stetig.

Stetigkeit der Umkehrfunktion

Sind $I$ ein Intervall in $\mathbb{R}$ und $f\colon I\rightarrow\mathbb R$ eine stetige, streng monoton wachsende oder streng monoton fallende Funktion, dann ist das Bild von $f$ ein Intervall $J$, $f\colon I\to J$ ist bijektiv, und die Umkehrfunktion $f^{-1}\colon J\to I$ ist stetig. Somit ist $f$ ein Homöomorphismus von $I$ nach $J$.

Dies gilt wie angegeben nur für Funktionen, die im gesamten Intervall stetig sind. Ist $f$ eine umkehrbare und an der Stelle $x_0$ stetige Funktion, so ist die Umkehrfunktion $f^{-1}$ an der Stelle $f(x_0)$ im Allgemeinen nicht stetig. Als Gegenbeispiel sei $f\colon \left]-\infty,0\right[ \cup \left[1,+\infty\right[\rightarrow\mathbb R$ definiert durch:

$\operatorname{f}(x)=\begin{cases} x & x<0\\ x-1 & x\geq1\end{cases}$.

Dann ist $f$ bijektiv und an der Stelle $1$ stetig, aber $f^{-1}$ ist in $0=f(1)$ unstetig.

Zwischenwertsatz

→ Hauptartikel: Zwischenwertsatz

Der Zwischenwertsatz besagt, dass eine auf dem Intervall $[a,b]$ (mit $a<b$) stetige Funktion jeden Wert zwischen $f(a)$ und $f(b)$ mindestens einmal annimmt.

Formal:

Ist $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ eine stetige Funktion mit $a<b$ und $f(a)<f(b)$, dann existiert für alle $d\in[f(a),f(b)]$ ein $x\in[a,b]$, so dass $f(x)=d$.

Analog für $f(a)>f(b)$ und $d\in[f(b),f(a)]$.

Eine äquivalente Formulierung ist: Das Bild einer stetigen Funktion auf einem Intervall ist wieder ein Intervall. (Das Bild eines offenen oder halboffenen Intervalles kann aber durchaus ein abgeschlossenes Intervall sein.)

Satz von Bolzano

Als Spezialfall enthält der Zwischenwertsatz folgenden Satz von Bernard Bolzano: Nimmt die auf einem abgeschlossenen Intervall stetige Funktion $f(x)$ an zwei Stellen $a$ und $b$ dieses Intervalls Funktionswerte mit unterschiedlichem Vorzeichen an, so gibt es zwischen $a$ und $b$ mindestens eine Stelle $c$, an der die Funktion $f$ verschwindet das heißt $f(c)=0$. Die Funktion hat also dort eine Nullstelle.

Satz vom Minimum und Maximum

Eine reellwertige Funktion, die auf einer kompakten Teilmenge von $\mathbb R^n$ (die damit abgeschlossen und beschränkt ist) stetig ist, ist beschränkt und nimmt ihre obere und ihre untere Grenze an. Für reelle Funktionen lässt sich das wie folgt umformulieren: Ist $f\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ stetig, so gibt es Stellen $t,h\in[a,b]$, so dass

$f(t)\leq f(x)\leq f(h)$ für alle $x\in[a,b]$

gilt.

Dieser von Weierstraß bewiesene Satz, bisweilen auch Extremwertsatz genannt, liefert nur die Existenz dieser Extremwerte. Für das praktische Auffinden dieser Punkte sind Aussagen aus der Differentialrechnung nützlich.

Die Aussage gilt auch auf kompakten topologischen Räumen.

Differenzierbarkeit stetiger Funktionen

Graph einer reellen Weierstraß-Funktion im Intervall $[-2,2]$. Sie ist stetig, aber nirgends differenzierbar.

Stetige Funktionen sind nicht notwendig differenzierbar. Noch Anfang des 19. Jahrhunderts war man überzeugt, dass eine stetige Funktion höchstens an wenigen Stellen nicht differenzierbar sein könne (wie die Betragsfunktion). Bernhard Bolzano konstruierte dann als erster Mathematiker eine Funktion, die überall stetig, aber nirgends differenzierbar ist, was in der Fachwelt allerdings nicht bekannt wurde; Karl Weierstraß fand dann in den 1860er Jahren ebenfalls eine derartige als Weierstraß-Funktion bekannte Funktion, was diesmal unter Mathematikern Wellen schlug. Seine Funktion ist folgendermaßen definiert:

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}b^n \cos(a^n\pi x)$,

wobei $a$ eine ungerade natürliche Zahl ist und $b \in \left]0,1\right[$ mit $ab>2+\tfrac{3}{2}\pi$.

Funktionenräume stetiger Funktionen

Der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf einem topologischen Raum $D$ ist ein reeller Vektorraum, er wird mit $C(D)$ bezeichnet. In diesem Raum sind insbesondere alle differenzierbaren Funktionen enthalten, falls $D$ eine offene Teilmenge des $\mathbb R^n$ oder einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist. Funktionen, deren Ableitungen ebenfalls stetig sind, nennt man stetig differenzierbar. Diese Funktionen bilden ebenfalls einen linearen Raum, der $C^1(D)$ genannt wird. Entsprechend definiert man $C^n(D)$ als den Raum der Funktionen, die $n$-mal differenzierbar sind, wobei die $n$-te Ableitung stetig ist, die also $n$-mal stetig differenzierbar sind. Des Weiteren bezeichnet $C^\infty(D)$ den Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen.

Weblinks

 Commons: Stetigkeit – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Kurze Artikel zu grundlegenden Stetigkeitsbegriffen
• mathematik.de – anschauliche Erklärung zum Epsilon-Delta-Kriterium