Satz von Peter-Weyl

Im mathematischen Teilgebiet der harmonischen Analyse verallgemeinert der Satz von Peter-Weyl, benannt nach Fritz Peter und Hermann Weyl, die Fourierreihe für Funktionen auf beliebigen kompakten topologischen Gruppen.

Darstellungen auf kompakten Gruppen

Sei $G$ eine kompakte topologische Gruppe. Für einen komplexen Hilbertraum $H_{\pi }$ heiße ein stetiger Gruppenhomomorphismus $\pi \colon G\to U(H_{\pi })$ Darstellung der Gruppe, wobei $U(H_{\pi })$ mit der schwachen Operatortopologie versehen sei. Es lässt sich nun zeigen, dass jedes solche $\pi$ einen kompakten selbstadjungierten Vertauschungsoperator und damit als Eigenraum dieses Operators einen endlichdimensionalen, nichttrivialen invarianten Teilraum von $H_{\pi }$ besitzt. Daher ist jede irreduzible Darstellung einer kompakten Gruppe endlichdimensional und jede Darstellung lässt sich als direkte Summe von solchen darstellen, besitzt also eine Zerlegung in irreduzible Darstellungen.

Von besonderem Interesse ist die linksreguläre Darstellung $\mathbf {L} \colon G\to U(L^{2}(G))$, sodass für jede bezüglich des linksinvarianten Haarmaßes quadratintegrierbare Funktion $f\in L^{2}(G)$ $(\mathbf {L} (g)f)(h)=f(gh)$. Für jede Darstellung $\pi$ und $u,v\in H_{\pi }$ sei $\pi _{uv}:G\to \mathbb {C} ,g\mapsto \langle \pi (g)u,v\rangle$, genannt Matrixkoeffizient.

Fouriertransformation

Aus allen irreduziblen Darstellungen von $G$ wähle man ein Repräsentantensystem ${\hat {G}}$ bezüglich unitärer Äquivalenz. Einer jeden Darstellung $\pi \colon G\to U(L^{2}(G))$ entspricht eine Hilbertraum-Darstellung $\pi \colon L^{1}(G)\to L(L^{2}(G))$ der Banach-*-Algebra $L^{1}(G)$ mit der Faltung, sodass für alle $u,v\in H_{\pi }$ die Gleichung Fehler beim Parsen (Unbekannte Funktion „\integral“): {\displaystyle \langle\pi(f)u,v\rangle=\integral_G\langle\pi(g)u,v\rangle f(g)\mathrm{d}g} . Da das Haarmaß auf einer kompakten Gruppe endlich ist, ist $L^{2}(G)\subseteq L^{1}(G)$. Für eine Funktion $f\in L^{2}(G)$ ist die Fouriertransformation nun definiert als ${\mathcal {F}}(f)=(\pi (f))_{\pi \in {\hat {G}}}$, dabei ist ${\mathcal {F}}$ eine Abbildung von $L^{2}(G)$ in die orthogonale Summe $\bigoplus _{\pi \in {\hat {G}}}HS(H_{\pi })$ der Räume von Matrizen auf $H_{p}i$ ausgestattet mit dem Hilbert-Schmidt-Skalarprodukt (dies ist im kompakten Fall stets möglich, da die Darstellungsräume endlichdimensional sind).

Satz

Der Satz von Peter-Weyl besagt nun, dass die Fouriertransformation einer kompakten Gruppe bis auf gewisse konstante Faktoren unitär ist und konstruiert die Umkehrabbildung. Genauer ist

${\mathcal {F}}^{\prime }\colon L^{2}(G)\to \bigoplus _{\pi \in {\hat {G}}}HS(H_{\pi }),f\mapsto ({\sqrt {\dim H_{\pi }}}{\mathcal {F}}(f)_{\pi })_{\pi \in {\hat {G}}})$

unitär. Die Umkehrabbildung ist gegeben durch

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. TeX parse error: Double exponent: use braces to clarify“): {\displaystyle {\mathcal {F}}^{\prime }^{*}\colon (T_{\pi })_{\pi \in {\hat {G}}}\mapsto \left(f\colon x\mapsto \sum _{\pi \in {\hat {G}}}{\sqrt {\dim H_{\pi }}}\operatorname {Tr} (T_{\pi }\pi (x)^{*})\right)} .

Literatur

• Anton Deitmar, Siegfried Echterhoff: Principles of Harmonic Analysis. Springer, 2009, ISBN 978-0-387-85468-7, S. 141 ff., doi:10.1007/978-0-387-85469-4. 
• Mitsuo Sugiura: Unitary Representations and Harmonic Analysis. 2. Auflage. North-Holland, 1990, ISBN 0-444-88593-5, S. 19 ff.