Verallgemeinertes Viereck

Ein verallgemeinertes Viereck ist eine Bezeichnung für bestimmte Inzidenzstrukturen, die insbesondere in der endlichen Geometrie untersucht werden.

Ein kleines nicht-triviales verallgemeinertes Viereck: das „Doily“, bis auf Isomorphie das einzige $GQ(2,2)$.

Definition

Eine Inzidenzstruktur ${\mathcal {I}}=({\mathfrak {p}},{\mathfrak {B}},I)$ heißt verallgemeinertes Viereck, wenn die folgenden Axiome gelten:

1. Es existiert eine natürliche Zahl $s\geq 1$, so dass jeder Block $(b\in {\mathfrak {B}})$ genau s Punkte enthält – hier werden Blöcke meist als Geraden bezeichnet.
2. Es existiert eine natürliche Zahl $t\geq 1$, so dass durch jeden Punkt $(p\in {\mathfrak {p}})$ genau t Geraden gehen.
3. Durch zwei verschiedene Punkte existiert höchstens eine Gerade.
4. Für jeden Punkt p, der nicht auf einer Geraden g liegt, existiert genau eine Gerade h, die g schneidet.

Ordnung

Die Anzahl $s=v_{1}$ der Punkte auf einer beliebigen Geraden wird zusammen mit der Anzahl $t=b_{1}$ der Geraden durch einen beliebigen Punkt susammengefasst und das Zahlenpaar $(s-1,t-1)$ als Ordnung des verallgemeinerten Vierecks bezeichnet. Man schreibt dann auch, das Viereck sei ein $GQ(s-1,t-1)$.

Eigenschaften

• Falls es mehr als einen Punkt und mehr als eine Gerade gibt, ist die Struktur einfach, das heißt zwei Geraden sind genau dann gleich, wenn sie die gleichen Punkte enthalten.
• Die duale Inzidenzstruktur eines $GQ(s-1,t-1)$, die durch Vertauschung der Punkt- mit der Geradenmenge und Umkehrung der Inzidenzrelation entsteht, ist ein $GQ(t-1,s-1)$. Es gilt allgemeiner (da die Aussage auch für unendliche verallgemeinerte Vierecke gilt): Die Klasse aller verallgemeinerten Vierecke ist zu sich selbst dual.
• Auch im Fall $s=t$ muss das verallgemeinerte Viereck nicht zu seinem dualen Viereck isomorph sein.
• Jedes endliche verallgemeinerte Viereck erfüllt die Regularitätsbedingungen $(P_{1})$ und $(B_{1})$ und ist also eine Taktische Konfiguration.
• Ist die Anzahl der Punkte $v_{0}\geq 2$ und die Anzahl der Geraden $b_{1}\geq 2$, dann existieren Paare von Punkten ohne Verbindungsgeraden, daher ist dann das verallgemeinerte Viereck keine Inzidenzgeometrie und auch kein 2-Blockplan.

Anzahlen der Punkte und Geraden

• Ein $GQ(s+1,t+1)$ enthält genau $(s+1)\cdot (st+1)$ Punkte..
• Ein $GQ(s+1,t+1)$ enthält genau $(t+1)\cdot (st+1)$ Punkte.

Beispiele

• Triviale Beispiele sind:
  1. Strukturen mit einer Geraden, die alle Punkte enthält $(GQ(n,0))$,
  2. dual zu vorigem: Strukturen mit einem Punkt, durch den alle Geraden gehen $(GQ(0,n))$,
• Das gewöhnliche Viereck (Eckpunkte als Punkte und Seiten als Blöcke) ist ein $GQ(1,1)$.
• Allgemeiner ist ein quadratisches Gitter ein $GQ(1,n)$.
• Das „Doily“ ist ein $GQ(2,2)$. Es wurde von Payne so benannt, und das in der Einleitung dargestellte Diagramm des Doilys wurde als Titelbild der Proceedings gewählt.

Literatur

• Burkhard Polster: A geometrical picture book. 1. Auflage. Springer, New York/Berlin/Heidelberg 1991, ISBN 0-287-98437(?!). 
• S. E. Payne und Joseph A. Thas: Finite generalized quadrangles. In: Research Notes in Mathematics. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston 1984, ISBN 0-273-08655-3. 
• Koen Thas: Symmetry in finite generalized quadrangles. In: Frontiers in Mathematics. Birkhäuser Verlag, Basel 2004, ISBN 3-7643-6158-1. 
• S. E. Payne: Finite generalized quadrangles. a survey. In: Proceedings of the International Conference on Projective Planes. Pullman, Washington 1973, S. 219–261.