Blockplan

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Ein Blockplan (auch Block-Design oder kombinatorisches Design) ist eine endliche Inzidenzstruktur, die insbesondere in der endlichen Geometrie, der Kombinatorik sowie der statistischen Versuchsplanung von Bedeutung ist. Blockpläne sind eine gemeinsame Verallgemeinerung der endlichen affinen Ebenen und der endlichen projektiven Ebenen.

Wichtige Methoden zur Charakterisierung von Blockplänen und zur Konstruktion neuer Blockpläne aus bekannten sind die Auflösung und die taktische Zerlegung eines Blockplanes. Die Auflösung verallgemeinert das Konzept des Parallelismus eines Blockplanes, wie es dieser Artikel beschreibt, und ist selbst ein Spezialfall der taktischen Zerlegung.

Definitionen und Schreibweisen[Bearbeiten]

Sei  \mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I) eine endliche Inzidenzstruktur, bei der die Elemente von \mathfrak{p} als Punkte und die Elemente von \mathfrak{B} als Blöcke bezeichnet werden. Des Weiteren seien  t,v,k,\lambda \in \N natürliche Zahlen, dann wird die Inzidenzstruktur  \mathcal{I} als  t\text{-}(v,k,\lambda)-Blockplan bezeichnet, wenn die folgenden Axiome gelten:[1][2]

  • (B1) \mathcal{I} hat genau v Punkte, also |\mathfrak{p}|=v_0=v ,
  • (B2) jeder Block von \mathcal{I} inzidiert mit genau k Punkten, also v_1=k,
  • (B3) für jede Punktmenge  T \subseteq \mathfrak{p} mit  t verschiedenen Punkten existieren genau  \lambda verschiedene Blöcke, die jeweils mit allen Punkten von  T inzidieren, also b_t=\lambda und
  • (B4)  2 \leq k \leq v-2 , das heißt \mathcal{I} ist eine nichtausgeartete oder echte Inzidenzstruktur.

Als alternative Bezeichnung für einen  t\text{-}(v,k,\lambda)-Blockplan wird auch  S_\lambda(t,k;v) verwendet. Im Falle von \lambda=1 schreibt man auch einfach  S(t,k;v) und spricht von einem Steinersystem (nach Jakob Steiner). Ein  2\text{-}(v,3,1)-Blockplan ( S(2,3;v) ) wird auch als Steiner-Tripel-System bezeichnet.[3] Teilweise wird ein Blockdesign auch als \mathcal{I}(v,b,r,k,\lambda) geschrieben, der zusätzliche Parameter r wird weiter unten erläutert.

Einen  t\text{-}(v,k,\lambda)-Blockplan bezeichnet man oft kurz auch t-Blockplan und einen  2\text{-}(v,k,\lambda)-Blockplan einfach als Blockplan, da t=2 der am meisten verwendete Fall ist.

Die konstante Anzahl aller Blöcke B\in\mathfrak{B} von \mathcal{I} durch einen Punkt p\in\mathfrak{p} von \mathcal{I} wird mit  r bezeichnet und die Anzahl aller Blöcke von \mathcal{I} mit  b_0=b = |\mathcal{B}|.

In Anlehnung an bestimmte geometrische Modelle für einen Blockplan werden seine Blöcke gelegentlich auch als Geraden, Kreise, Ebenen oder Ähnliches bezeichnet. Wenn ein Punkt p mit einem Block B inzidiert, also (p,B)\in I, so sind auch die folgen Sprechweisen üblich: p liegt auf B oder B geht durch p. Inzidiert ein Punkt mit mehreren Blöcken, so sagt man auch, dass die Blöcke sich in p schneiden.

Blockpläne, bei denen ein Block mit allen Punkten inzidiert, oder bei denen die k-elementigen Teilmengen der Punktmenge genau den Blöcken entsprechen, werden als triviale Blockpläne bezeichnet.

Ein Block B muss formal von der mit ihm inzidierenden Punktmenge (B) unterschieden werden, allerdings ist es in der Praxis meist möglich, einen Block mit seiner inzidierenden Punktmenge zu identifizieren und die Inzidenzrelation als mengentheoretisches Enthaltensein zu interpretieren. Solche Blockpläne werden auch als einfach bezeichnet (vgl. die Beispiele im Artikel „Inzidenzstruktur“).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Für die Anzahl der Blöcke eines  t\text{-}(v,k,\lambda)-Blockplans gilt:

 b=\lambda\cdot{v \choose t}\cdot {k \choose t}^{-1}.

Mit b_i für  i=1,\ldots,t bezeichnet man die Anzahl der Blöcke die mit allen Punkten einer beliebigen Punktmenge M mit i Punkten inzidieren, also  M \subset \mathfrak{p},\,|M|=i, für diese gilt:

 b_i=\lambda\cdot {v-i \choose t-i}\cdot{k-i \choose t-i}^{-1}.

Für  2\text{-}(v,k,\lambda)-Blockpläne ergibt sich aus den beiden Formeln unter Berücksichtigung von b_1=r:

b\cdot k=v\cdot r \quad \text{und} \quad \lambda \cdot (v-1)=r\cdot(k-1).

Außerdem gilt für die  2\text{-}(v,k,\lambda)-Blockpläne die Fisher-Ungleichung:[4]

 b\geq v \quad \text{und} \quad r\geq k.

Neben den unten bei den Beispielen erwähnten, endlichen, projektiven und affinen Räumen stehen Blockpläne in Wechselbeziehungen zu vielen anderen Strukturen der Kombinatorik. So ist zum Beispiel die Existenz eines 2\text{-}(4n-1,2n-1,n-1)-Blockplans mit  n\in \mathbb{N}, n\geq 2 äquivalent zur Existenz einer Hadamard-Matrix der Ordnung 4n. Aus diesem Grund werden solche Blockpläne auch als Hadamard-Blockpläne bezeichnet. Den Zusammenhang zwischen Codes und Blockplänen beschreibt der Satz von Assmus-Mattson.

Eine zentrale Frage in der Theorie der Blockpläne ist, für welche Werte der Parameter t, v, k,\lambda überhaupt ein Blockplan existiert. Während eine allgemeine Antwort auf diese Frage noch aussteht, existiert nach einem Resultat von L. Teirlinck (1987) doch zu jedem  t\in \mathbb{N} ein nichttrivialer t-Blockplan.[5][6] Außerdem gibt es eine Reihe von notwendigen Kriterien für die Existenz bestimmter Blockpläne, mit denen man viele Parameterkombinationen ausschließen kann. Solche Kriterien liefern zum Beispiel die verallgemeinerte Fisher-Ungleichung (auch Satz von Ray-Chaudhuri-Wilson genannt) und der Satz von Bruck-Ryser-Chowla.

Symmetrische Blockpläne[Bearbeiten]

Hauptartikel: Symmetrischer Blockplan

Ein Blockplan, der genauso viele Blöcke wie Punkte besitzt (v=b), wird als symmetrisch oder projektiv bezeichnet. Symmetrische Blockpläne können unter den 2-Blockplänen durch verschiedene, gleichwertige Aussagen charakterisiert werden: Sei  \mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I) ein 2\text{-}(v,k,\lambda)-Blockplan, sei b=b_0 die Gesamtzahl seiner Blöcke und sei A eine Inzidenzmatrix dieses Blockplanes. Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:[7]

  1. Die Anzahl der Punkte ist gleich der Anzahl der Blöcke (v=b) und damit gilt auch r=k, das heißt \mathcal{I} ist symmetrisch. Es gilt \lambda \cdot (v-1)=k\cdot(k-1)
  2. Die Zahl der Blöcke, mit denen ein beliebiger Punkt inzidiert, ist gleich der Zahl der Punkte, mit denen ein beliebiger Block inzidiert (v_1=b_1).
  3. A\cdot A^T=(k-\lambda)\cdot E+\lambda\cdot J, hierbei ist E die v\times v-Einheitsmatrix, J die v\times v-Einsmatrix
  4. A^T\cdot A=(k-\lambda)\cdot E+\lambda\cdot J, hierbei ist E die b\times b-Einheitsmatrix, J die b\times b-Einsmatrix
  5. Je zwei verschiedene Blöcke schneiden sich in genau \lambda Punkten.
  6. Je zwei verschiedene Blöcke haben eine konstante, positive Anzahl von Punkten gemeinsam, das heißt, \mathcal{I} erfüllt die Regularitätsbedingung (P_2). Siehe Regularitätsbedingungen und Typen von endlichen Inzidenzstrukturen.
  7. \mathcal{I} hat als Inzidenzstruktur den Typ (2,2), das heißt, \mathcal{I} erfüllt die Regularitätsbedingungen (P_1),(P_2),(B_1),(B_2).

Das Intervall, in dem die Anzahl v der Punkte (bzw. Blöcke) in Bezug auf die Ordnung n = k - \lambda eines symmetrischen 2\text{-}(v,k,\lambda)-Blockplans variiert, ergibt sich als {4 \cdot n -1} \leq v \leq {n^2+n+1}, sofern ein nicht trivialer Blockplan mit 2 < k < v-1 vorliegt. Der untere Extremalfall v = {4 \cdot n -1} ist gegeben für Hadamard-Blockpläne und der obere Extremalfall v = n^2+n+1 für die endlichen projektiven Ebenen.[8][9]

Parallelismen und affine Blockpläne[Bearbeiten]

Ein Parallelismus eines Blockplans  \mathcal{I}=(\mathfrak{p},\mathfrak{B},I) ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der Blöcke, für die das euklidische Parallelenpostulat gilt:

Zu jedem Block  B \in \mathfrak{B} und jedem Punkt  p \in \mathfrak{p} gibt es genau einen Block C inzident mit  p der zu  B parallel ist.

Hierbei werden Blöcke als parallel (Schreibweise B \parallel C) bezeichnet, wenn sie in derselben Äquivalenzklasse liegen. Die Äquivalenzklassen selbst werden auch als Parallelenklassen oder Parallelenscharen bezeichnet. Für zwei parallele Blöcke  B, C\in\mathfrak{B} gilt, dass sie (genauer: die mit ihnen inzidierenden Punktmengen) entweder identisch oder disjunkt sind:

 B \parallel C \Rightarrow (B)=(C) \text{ oder } (B)\cap (C) = \emptyset .

Ein Parallelismus eines Blockplans, bei dem zwei beliebige, nicht parallele Blöcke stets dieselbe Anzahl von Punkten gemeinsam haben, heißt affin und der zugehörige Blockplan wird als affiner Blockplan bezeichnet. Während im Allgemeinen ein Blockplan mehrere Parallelismen zulassen kann, ist in einem affinen Blockplan der Parallelismus eindeutig bestimmt und es gilt auch die Umkehrung der obigen Beziehung:

 B \parallel C \Leftrightarrow (B)=(C) \text{ oder } (B)\cap (C) = \emptyset .

Für Blockpläne mit Parallelismen gilt der Satz von Bose, der für diesen Fall eine Verschärfung der Fisher-Ungleichung darstellt.

Beispiele[Bearbeiten]

Die Wittschen Blockpläne (im engeren Sinn) sind einfache 5-Blockpläne, ihre Ableitungen, die oft auch als Wittsche Blockpläne bezeichnet werden, liefern Beispiele für nichttriviale einfache 4- und 3-Blockpläne.

Affine Geometrien als Blockpläne[Bearbeiten]

Der affine Raum der Dimension n\geq 2 über dem endlichen Körper mit q Elementen \mathbb{F}_q wird als AG(n,q) notiert.[10] Er wird zu einem Blockplan AG_d(n,q), indem man die Punktmenge des affinen Raumes als Menge der Punkte und die d-dimensionalen affinen Teilräume (1\leq d<n) als Blöcke verwendet. Genauer handelt es sich bei AG_d(n,q) um einen 2\text{-}(v,k,\lambda)-Blockplan. Der gewöhnliche Parallelismus der affinen Geometrie ist ein Parallelismus für den Blockplan und der Blockplan wird damit genau dann zu einem affinen Blockplan, wenn d=n-1 gilt, also die Blöcke Hyperebenen des Raumes sind. Die Parameter des Blockplanes AG_d(n,q) lauten:

 v=q^n, k=q^d, \lambda=\begin{bmatrix} n-1\\ d-1\end{bmatrix}_q.

Hier steht \textstyle \left[ {n \atop i} \right]_q für den Gaussschen Binomialkoeffizienten,[10] der durch die Formel

\begin{bmatrix} n\\ i\end{bmatrix}_q=\frac{(q^n-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q^{n-i+1}-1)}{(q^i-1)(q^{i-1}-1)\cdots(q-1)}

für 0 < i \leq n berechnet werden kann. Die Räume AG_2(n,2) sind für n\geq 3 sogar 3-Blockpläne mit \lambda=1. Speziell ist AG_2(3,2) mit seinem geometrischen Parallelismus ein affiner 3\text{-}(8,4,1)-Blockplan.

Projektive Geometrien als Blockpläne[Bearbeiten]

Der projektive Raum der Dimension n\geq 2 über dem endlichen Körper \mathbb{F}_q wird als PG(n,q) notiert.[11][10] Der Blockplan PG_d(n,q) hat als Punktmenge die Menge der projektiven Punkte und als Blockmenge die Menge der d-dimensionalen projektiven Teilräume (1\leq d<n) des PG(n,q). Dies ist ein 2\text{-}(v,k,\lambda)-Blockplan mit den Parametern

 v=\begin{bmatrix} n+1\\ 1\end{bmatrix}_q=\frac{q^{n+1}-1}{q-1}, k=\begin{bmatrix} d+1\\ 1\end{bmatrix}_q=\frac{q^{d+1}-1}{q-1}, \lambda=\begin{bmatrix} n-1\\ d-1\end{bmatrix}_q.

Im Falle d=n-1 also falls die Blöcke die Hyperebenen des Raumes sind, ist der Blockplan symmetrisch.

Anschauliche Beispiele[Bearbeiten]

Als Spezialfälle der obengenannten klassischen geometrischen Räume kann man eine endliche projektive Ebene der Ordnung q als einen 2\text{-}(q^2+q+1,q+1,1)-Blockplan und eine endliche affine Ebene der Ordnung q als einen 2\text{-}(q^2,q,1)-Blockplan auffassen. Hierbei entsprechen die Punkte der Ebene den Punkten des Blockplans und die Geraden der Ebene den Blöcken des Blockplans. Allerdings wird die Existenz der entsprechenden Ebene der Ordnung q vorausgesetzt und diese ist nicht für alle  q\in \mathbb{N} gegeben.

Kleine Ebenen, siehe auch die Abbildungen am Ende des Abschnitts:

  • Die projektive Ebene der Ordnung 2,  PG_1(2,2) (die Fano-Ebene) ist ein symmetrischer 2\text{-}(7,3,1)-Blockplan zugleich ist sie „der“ kleinste Hadamard-Blockplan.
  • Die affinen Ebenen der Ordnung 2 und 3  AG_1(2,2) und  AG_1(2,3) bilden mit ihrer gewöhnlichen und einzig möglichen Parallelität einen affinen 2\text{-}(4,2,1)-Blockplan bzw. 2\text{-}(9,3,1)-Blockplan.
PG(2,2) AG(2,2) AG(2,3)

Fano Plane numbered.svg

AG(2,2).png

AG(2,3).png

7 Pkte, 7 Blöcke mit je 3 Pkten 4 Pkte, 6 Blöcke mit je 2 Pkten 9 Pkte, 12 Blöcke mit je 3 Pkten

Weitere (Gegen)beispiele einfacher Blockpläne[Bearbeiten]

Nicht existierende einfache 2-Blockpläne[Bearbeiten]

Für die in der folgenden Liste erscheinenden Parametertripel (v,k,\lambda) (im Bereich 3 \leq k \leq \frac{v}{2}, r = \frac{\lambda (v-1)}{k-1} \leq 15) existieren keine einfachen 2 \text{-}(v,k,\lambda)-Blockpläne, obwohl die üblichen Parameterbedingungen erfüllt sind:[12]

\lambda= 1
(v,k,\lambda) = (36,6,1)
(v,k,\lambda) = (43,7,1)[13]
(v,k,\lambda) = (100,10,1)
(v,k,\lambda) = (111,11,1)[14]
(v,k,\lambda) = (196,14,1)
(v,k,\lambda) = (211,15,1)
\lambda= 2
(v,k,\lambda) = (15,5,2)
(v,k,\lambda) = (21,6,2)
(v,k,\lambda) = (22,7,2)
(v,k,\lambda) = (29,8,2)
(v,k,\lambda) = (36,8,2)
(v,k,\lambda) = (46,10,2)
(v,k,\lambda) = (55,10,2)
(v,k,\lambda) = (67,12,2)
(v,k,\lambda) = (78,12,2)
(v,k,\lambda) = (91,13,2)
(v,k,\lambda) = (92,14,2)
(v,k,\lambda) = (106,15,2)
\lambda= 3
(v,k,\lambda) = (53,13,3)
\lambda=4
(v,k,\lambda) = (34,12,4)
\lambda= 5
(v,k,\lambda) = (43,15,5)

Existierende einfache t-Blockpläne mit t ≥ 4[Bearbeiten]

Konkrete Beispiele für einfache t \text{-}(v,k,\lambda)-Blockpläne mit t \geq 4 waren lange nur vereinzelt bekannt.

So etwa:[15][16]

t = 4 und (v,k,\lambda) = (11,5,1)
t = 4 und (v,k,\lambda) = (23,7,1)
t = 4 und (v,k,\lambda) = (27,6,1)
t = 5 und (v,k,\lambda) = (12,6,1)
t = 5 und (v,k,\lambda) = (24,8,1)
t = 5 und (v,k,\lambda) = (28,7,1)

Bis in die 1980er Jahre war sogar unklar, ob (etwa) einfache 6 \text{-}(v,k,\lambda)-Blockpläne überhaupt vorkommen. Dann wurden nach und nach mehrere Beispiele gefunden:[17][18]

t = 6 und (v,k,\lambda) = (14,7,4)
t = 6 und (v,k,\lambda) = (22,7,8)
t = 6 und (v,k,\lambda) = (30,7,12)
t = 6 und (v,k,\lambda) = (33,8,36)
t = 6 und (v,k,\lambda) = (20,9,112)

In den letzten Jahren ist mit Hilfe weiter verfeinerter gruppentheoretischer , geometrischer und computergestützter Methoden schließlich sogar eine Anzahl einfacher Blockpläne mit t \geq  7 gefunden worden; u. a. :[19]

t = 7 und (v,k,\lambda) = (24,8,4)
t = 8 und (v,k,\lambda) = (40,11,1440)

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Beutelspacher (1982)
  2. Die in Klammern angegebenen zusätzlichen Parameternamen sind die allgemein für die Parameter einer endlichen Inzidenzstruktur üblichen.
  3. Beth, Jungnickel, Lenz (1986, 1999), Definition I.3.1
  4. Beth, Jungnickel, Lenz (1986, 1999), Corollary I.8.6
  5. L. Teirlinck: Nontrivial t-designs without repeated blocks exist for all t Discrete Math. 65,301-11
  6. J.H. van Lint, R.M. Wilson: A Course in Combinatorics. S. 195, Cambridge University Press 1992,ISBN 0-521-42260-4
  7. Beutelspacher 1.4.4.
  8.  Rosen et al: Handbook .... S. 771.
  9.  Tsuzuku: S. 62.
  10. a b c Beth, Jungnickel, Lenz (1986, 1999), I.Examples and basic definitions
  11. Bei symmetrischen Blockplänen verweist der Parameter n in der Regel auf die Blockplanordnung k - \lambda. Die hier genannte Dimensionszahl n ist mit der Blockplanordnung im Allgemeinen nicht identisch.
  12.  Rosen et al: Handbook .... S. 764,773.
  13. Also existiert auch nicht die projektive Ebene der Ordnung 6.
  14. Also existiert auch nicht die projektive Ebene der Ordnung 10.
  15.  Rosen et al: Handbook .... S. 767.
  16.  Hughes-Piper: S. 144 ff.
  17.  Hughes-Piper: S. 148,152.
  18.  Rosen et al: Handbook .... S. 767.
  19. Siehe Weblink zu den Publikationen der Universität Bayreuth.