Nullfolgenkriterium

Das Nullfolgenkriterium, auch Trivialkriterium, Hauptkriterium oder Divergenzkriterium, ist in der Mathematik ein Kriterium, nach dem eine Reihe divergiert, wenn die Folge ihrer Summanden keine Nullfolge ist. Das Nullfolgenkriterium bildet ein notwendiges aber kein hinreichendes Kriterium für die Konvergenz einer Reihe.

Kriterium

Das Nullfolgenkriterium lautet:

Bildet die Folge der Summanden einer Reihe keine Nullfolge, dann divergiert die Reihe.

Gilt also für die Summanden $a_{i}$ einer Reihe $\textstyle \sum _{i=1}^{\infty }a_{i}$

$\lim _{i\to \infty }a_{i}\neq 0$

oder existiert dieser Grenzwert nicht, dann konvergiert die Reihe nicht. Im Gegensatz zu anderen Konvergenzkriterien kann mit dem Nullfolgenkriterium lediglich bewiesen werden, dass eine Reihe divergiert und nicht ob sie konvergiert. Beispielsweise konvergiert die harmonische Reihe nicht, obwohl ihre Summanden eine Nullfolge bilden.

Beispiele

Die Reihe

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {i}{i+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}+\ldots$

divergiert, denn

$\lim _{i\to \infty }{\frac {i}{i+1}}=1\neq 0$.

Die alternierende Reihe

$\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}=-1+1-1\pm \ldots$

divergiert ebenfalls, denn der Grenzwert

$\lim _{i\to \infty }(-1)^{i}$

existiert nicht.

Beweis

Der Beweis des Nullfolgenkriteriums erfolgt typischerweise durch Kontraposition, das heißt durch Umkehrung der Aussage

Konvergiert eine Reihe, dann bildet die Folge der Summanden eine Nullfolge.

Eine Reihe konvergiert, wenn die Folge ihrer Partialsummen $(s_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ mit

$s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}$

konvergiert, das heißt es existiert ein Grenzwert $s$, sodass

$\lim _{n\to \infty }s_{n}=s$.

Durch Umstellung der Reihe und mit den Rechenregeln für Grenzwerte gilt dann

$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }(s_{n}-s_{n-1})=\lim _{n\to \infty }s_{n}-\lim _{n\to \infty }s_{n-1}=s-s=0$.

Literatur

• Oliver Deiser: Analysis 1, Band 1. Springer, 2011, ISBN 3-642-22459-8. 
• Wolfgang Walter: Analysis, Band 1. Springer, 2006, ISBN 3-540-35078-0. 

Weblinks

• Todd Rowland: Limit Test. In: MathWorld (englisch).