Harmonische Reihe

Die harmonische Reihe ist in der Mathematik die Reihe, die durch Summation der Glieder $1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3},\tfrac{1}{4}, \tfrac{1}{5}, \dotsc$ der harmonischen Folge entsteht. Ihre Partialsummen werden auch harmonische Zahlen genannt. Diese finden beispielsweise Anwendung in Fragestellungen der Kombinatorik und stehen in enger Beziehung zur Euler-Mascheroni-Konstante $\gamma$. Obwohl die harmonische Folge eine Nullfolge ist, ist die harmonische Reihe divergent.

Berechnung

Die $n$-te Partialsumme $H_n$ der harmonischen Reihe heißt die $n$-te harmonische Zahl:

$H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}=1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots +\frac{1}{n}$

Dies ist ein Spezialfall der allgemeinen harmonischen Reihe mit den Summanden $1/k^\alpha$, wobei hier $\alpha = 1$, siehe unten. Der Name harmonische Reihe wurde gewählt, da jedes Glied das harmonische Mittel der beiden benachbarten Glieder ist:

$M_{\text{H}}(a_{n-1},a_{n+1}) = \frac2{\frac1{a_{n-1}}+\frac1{a_{n+1}}} = \frac2{n-1 + n+1} = \frac1{n} = a_n$

Werte der ersten Partialsummen

$\begin{matrix}H_1 &=& 1 \\\\ H_2 &=& \frac{3}{2} &=& 1{,}5 \\\\ H_3 &=& \frac{11}{6} &=& 1{,}8\overline{3} \\\\ H_4 &=& \frac{25}{12} &=& 2{,}08\overline{3} \\\\ H_5 &=& \frac{137}{60} &=& 2{,}28\overline{3} \\\\ \end{matrix} \qquad\qquad \begin{matrix}H_6 &=& \frac{49}{20} &=& 2{,}45 \\\\ H_7 &=& \frac{363}{140} &=& 2{,}59\overline{285714} \\\\ H_8 &=& \frac{761}{280} &=& 2{,}717\overline{857142} \\\\ H_9 &=& \frac{7129}{2520} &=& 2{,}828\overline{968253} \\\\ H_{10} &=& \frac{7381}{2520} &=& 2{,}928\overline{968253} \\\\ \end{matrix}$

Der Nenner von $H_n$ ist durch jede Primzahlpotenz $p^k$ mit $n/2 < p^k \leq n$ teilbar, also auch durch $2^k$ mit $2^k \leq n$ und für $n > 2$ nach dem Bertrandschen Postulat durch mindestens eine ungerade Primzahl. Insbesondere ist $H_n$ für $n > 1$ keine ganze Zahl (Theisinger 1915). Allgemeiner gilt, dass keine Differenz $H_m-H_n$ für $m \neq n$ eine ganze Zahl ist (Kürschák 1918), dies ist wiederum ein Spezialfall eines Satzes von Nagell 1923.

Ist $p \geq 5$ eine Primzahl, so ist der Zähler von $H_{p-1}$ nach dem Satz von Wolstenholme durch $p^2$ teilbar, ist $p$ eine Wolstenholme-Primzahl, dann sogar durch $p^3$.

Asymptotische Entwicklung

Es gilt die asymptotische Entwicklung:

$\begin{align} H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} &=\ln n + \gamma + \frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4} -\frac1{252n^6}+\frac1{240n^8}-\frac1{132n^{10}}+\mathcal O\!\left(\frac 1{n^{12}}\right)\\ &= \gamma + \ln n +\mathcal O\!\left(\frac 1{n}\right),\quad n\to\infty \end{align}$

Hierbei bezeichnet $\ln n$ den natürlichen Logarithmus, und das Landau-Symbol $\mathcal O$ beschreibt das Verhalten des Restterms der Entwicklung für $n\to\infty$. Die mathematische Konstante $\gamma$ (gamma) heißt Euler-Mascheroni-Konstante und ihr numerischer Wert beträgt 0,5772156649…

Des Weiteren gilt: $H_n < \ln n + 1.$

Vergleich einiger Partialsummen mit Werten der Näherungsformel

n	Hn (gerundet)	Näherung (gerundet)	Genauigkeit (gerundet)
5	2.28	2.19	95,77 %
10	2.93	2.88	98,32 %
20	3.60	3.57	99,31 %
50	4.50	4.49	99,78 %
100	5.19	5.18	99,90 %
500	6.79	6.79	1 − 10−5
1000	7.49	7.48	1 − 7·10−5
10000	9.79	9.79	1 − 5·10−6

Grenzwert

Für den Grenzwert gilt

$\lim_{n\to\infty}H_n=\sum\limits_{k=1}^\infty{\frac{1}{k}}=\infty$.

Integraldarstellung

Es gilt

$\int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,{\rm d}x = \int_0^1 (1 + x + \cdots + x^{n-1})\ {\rm d}x = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n} = H_n$.

Diese Darstellung verallgemeinert die $n$-te harmonische Zahl auf komplexe Werte für $n$ mit $\operatorname{Re}(n) > -1$.

Besondere Werte der verallgemeinerten harmonischen Zahlen sind beispielsweise:

$H_{1/2} = 2 - 2\ln 2 \!\$

$H_{1/3} = 3 - \frac{\pi}{2\sqrt{3}} - \frac{3}{2} \ln 3$

$H_{1/4} = 4 - \frac{\pi}{2} - 3\ln 2$

$H_{1/6} = 6 - \frac{\pi \sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} \ln 3 - 2 \ln 2.$

Beziehung zur Digamma-Funktion

Die $n$-te harmonische Zahl lässt sich durch die Digamma-Funktion $\psi$ ausdrücken und auf komplexe Werte für $n$ fortsetzen (falls $n$ keine negative ganze Zahl ist):

$H_n = \psi(n+1) - \psi(1) = \frac{\Gamma'(n)}{\Gamma(n)} + \frac{1}{n} + \gamma$.

Dabei bezeichnet $\Gamma$ die Gammafunktion und $\gamma$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Reihen über harmonische Zahlen

Es gilt für die harmonischen Zahlen:

$\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^2} = 2 \, \zeta(3)$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^3} = \frac{\pi^4}{72}$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^4} = 3 \, \zeta(5) - \frac{\pi^2}{6} \, \zeta(3)$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^5} = \frac{\pi^6}{540} - \frac{1}{2} \, \zeta(3)^2$

$\sum_{n=1}^\infty \frac{H_n}{n^6} = 4 \, \zeta(7) - \frac{\pi^2}{6} \, \zeta(5) - \frac{\pi^4}{90} \, \zeta(3)$

Hierbei bezeichnet $\zeta(s)$ die Riemannsche Zetafunktion.

Eigenschaften

• Da die harmonische Folge nur positive Elemente enthält, sind die Werte der harmonischen Reihe streng monoton steigend.

• Obwohl die Elemente der harmonische Folge schnell kleiner werden und sich an null annähern, ist die aus ihnen gebildete Reihe divergent. Der Wert der Reihe überschreitet beliebige Werte, wenn $n$ nur groß genug gewählt wird.

Dies ist einsehbar, durch Vergleich mit einer Reihe, die in jedem Glied kleiner oder gleich ist:

$\begin{matrix}H_n &=& 1 + 1/2 &+& \left(1/3 + 1/4\right) &+& \left(1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8\right) & + \cdots + 1/n \\ \\ &>& 1 + 1/2 &+& \left(1/4 + 1/4\right) &+& \left(1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8\right) & + \cdots + 1/n \\ \\ &=& 1 + 1/2 &+& \left(1/2\right) &+& \left(1/2\right) & + \cdots + 1/n \end{matrix}$

Die Summe der letzten Zeile kann offensichtlich jeden Wert übersteigen, wenn $n$ entsprechend groß ist. Diese Ungleichung zeigt außerdem, dass

$\sum_{n=1}^{2^k} \,\frac{1}{n} \;\ge\; 1 + \frac{k}{2},$   wobei   $k=0,1,2,\dots$.

Anwendungsbeispiel

Oben freitragender Ausleger, unten Schemazeichnung.

Gleichartige Klötze sollen so gestapelt werden, dass der oberste Klotz möglichst weit über den untersten ragt.

Das Bild zeigt eine Anwendung der harmonischen Reihe. Werden die horizontalen Abstände der Klötze - von oben nach unten vorgehend - gemäß der harmonischen Reihe gewählt, so ist der Stapel gerade noch stabil. Auf diese Weise bekommt der Abstand zwischen dem obersten und untersten Klotz den größtmöglichen Wert. Die Klötze haben eine Länge $l_0$. Der oberste Baustein liegt mit seinem Schwerpunkt auf dem zweiten Stein an der Position $1/2 \cdot l_0 = 1/2 \cdot 1 \cdot l_0$. Der gemeinsame Schwerpunkt von Stein-1 und Stein-2 liegt bei $1/2 \cdot 1/2 \cdot l_0$, der von Stein-1, Stein-2 und Stein-3 bei $1/2 \cdot 1/3 \cdot l_0$, der des $n$-ten Steins bei $1/2 \cdot 1/n \cdot l_0$. Die Gesamtlänge $L$ des Auslegers beträgt somit: $L = \frac {l_0}2\sum_{k=1}^n \frac 1k$.

Jeder zusätzliche Stein entspricht einem weiteren Summanden in der harmonischen Reihe. Da die harmonische Reihe beliebig große Werte annehmen kann, wenn man sie nur weit genug fortführt, gibt es keine prinzipielle Grenze, wie weit der oberste Stein überhängen kann. Die Zahl der nötigen Steine steigt allerdings sehr rasch mit dem angestrebten Überhang. An der oben stehenden Tabelle kann man ablesen, dass für einen Überhang in 2,5-facher Steinlänge etwa 100 Steine benötigt werden. Bei einem realen Aufbau würde dies bereits hohe Anforderungen an die Maßhaltigkeit der Steine stellen.

Ein weiteres Beispiel für die Anwendung der harmonischen Reihe ist das Sammler-Problem.

Verwandte Reihen

Die alternierende harmonische Reihe konvergiert:

$\sum_{k = 1}^\infty \frac{(-1)^{k + 1}}{k} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \pm \cdots = \ln 2 = 0{,}69314\text{ }71805\text{ }59945\text{ }30941 \ldots$

Die Konvergenz folgt aus dem Leibnizkriterium, der Grenzwert lässt sich mit der Taylor-Entwicklung des natürlichen Logarithmus berechnen.

Als allgemeine harmonische Reihe bezeichnet man

$S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^\alpha}\ ,$

sie divergiert für $\alpha\le 1$ und konvergiert für $\alpha>1$ (siehe Cauchysches Verdichtungskriterium).

Beispiel für $\alpha=2$:

$S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6} = 1{,}64493\text{ }40668\text{ }48226\text{ }43647 \ldots$

Beispiel für $\alpha=4$:

$S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^4} = 1 + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90} =1{,}08232\text{ }32337\text{ }11138\text{ }19151\text{ } \ldots$

Beispiel für $\alpha=2n$:

$S = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{2n}} = 1 + \frac{1}{2^{2n}} + \frac{1}{3^{2n}} + \frac{1}{4^{2n}} + \cdots = (-1)^{n-1}\,\frac{(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}\,\mathrm{B}_{2n} = \zeta(2n)$

wobei $\mathrm{B}_{2n}$ die $2n$-te Bernoulli-Zahl bezeichnet.

Lässt man für $\alpha$ auch komplexe Zahlen zu, gelangt man zur riemannschen Zetafunktion.

Subharmonische Reihen

Subharmonische Reihen entstehen dadurch, dass man bestimmte Summanden bei der Reihenbildung der harmonischen Reihe weglässt, etwa nur die Kehrwerte aller Primzahlen summiert:

$S = \sum_{k \text{ prim}}^\infty \frac{1}{k}$

Diese Summe divergiert ebenfalls. Eine konvergente Reihe entsteht, wenn man nur noch über die Primzahlzwillinge (oder gar Primzahldrillinge oder Primzahlvierlinge usw.) summiert; allerdings ist nicht bekannt, ob es sich dabei um unendliche Reihen handelt. Die Grenzwerte werden Brunsche Konstanten genannt.

Weitere subharmonische Reihen sind die ebenfalls konvergenten Kempner-Reihen.

Literatur

• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis Teil 1. 5. Auflage. Teubner-Verlag, 1988, ISBN 3-519-42221-2

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Harmonic Series. In: MathWorld. (englisch)
• Eric W. Weisstein: Harmonic Number. In: MathWorld. (englisch)