Zweitpreisauktion

Als (verdeckte) Zweitpreisauktion (second-price [sealed bid] auction) bezeichnet man in der Auktionstheorie eine Form einer Auktion, bei der zwar der Höchstbietende den Zuschlag erhält, am Ende jedoch nur das zweithöchste Gebot zahlen muss. Dabei werden die Gebote jeweils einmalig so abgegeben, dass sie den anderen Bietern nicht bekannt werden („verdeckt“, wie bei der Abgabe in einem Umschlag, der erst nach Ende des Bietprozesses geöffnet wird). Nach ihrem theoretischen Begründer, dem Nobelpreisträger William Vickrey, bezeichnet man Zweitpreisauktionen auch als Vickreyauktionen.

Zweitpreisauktionen sind abzugrenzen von den so genannten Erstpreisauktionen, die zwar dasselbe Format und einen identischen Allokationsmechanismus verwenden (der Höchstbietende gewinnt), bei denen der Gewinner aber auch das von ihm selbst abgegebene Gebot zahlen muss.

Historische Einordnung

Die erste formale Beschreibung einer Zweipreisauktion liefert Vickrey (1961), der die Zweitpreisauktion in seiner Analyse von Erstpreis-, Englischer und Holländischer Auktion (die er als in der Praxis gebräuchlich darstellt) konstruiert, um auch der Englischen Auktion jedenfalls im Fall privater Wertschätzungen ein strategisches Äquivalent an die Seite zu geben, ganz so, wie die Erstpreisauktion bereits in einem solchen Verhältnis zur Holländischen Auktion steht. Vickrey wurde mit Blick auf das scheinbare Fehlen früherer Beispiele in späteren Arbeiten zudem immer wieder als „Erfinder“ des Auktionsformats schlechthin postuliert.

Allerdings wurden später auch mehrere frühere Beispiele für die Verwendung des Formats angeführt. So weisen Moldovanu und Tietzel (1998) darauf hin, dass bereits Goethe im Jahr 1797 bei der Versteigerung eines Manuskripts zu einer speziellen Form des Zweitpreisformats gegriffen hat, wofür sie auf den Auszug aus einem Brief Goethes an einen Verleger, Friedrich Vieweg, verweisen:

„Ich bin geneigt Herrn Vieweg in Berlin ein episches Gedicht Herrmann und Dorothea das ohngefähr 2000 Hexamter stark sein wird zum Verlag zu überlassen […] Was das Honorar betrifft so stelle ich Herrn Oberconsistorialrath Böttiger ein versiegeltes Billet zu, worinn meine Forderung enthalten ist und erwarte was Herr Vieweg mir für meine Arbeit anbieten zu können glaubt. Ist sein Anbieten geringer als meine Forderung, so nehme ich meinen versiegelten Zettel uneröffnet zurück, und die Negotiation zerschlägt sich, ist es höher, so verlange ich nicht mehr als in dem, alsdann von Herrn Oberconsistorialrath zu eröffnenden Zettel verzeichnet ist.“

Lucking-Reiley (2000) zeigt anhand des Marktes für Briefmarken, dass bereits weit vor Vickreys Arbeiten Zweitpreisauktionen zum Einsatz kamen. Nachdem bereits in den 1870er Jahren in dem in New York konzentrierten Sammlermarkt Annäherungen an das Format der Zweitpreisauktion zu verzeichnen waren, indem jedenfalls ein Händler das bis anhin übliche Englische Format unter Hinweis auf hohe Kosten für die Anreise auswärtiger Sammler um einfache Möglichkeiten für die Abgabe einmaliger Vorabgebote ergänzt hatte, datiert Lucking-Reiley die erste von ihm auf diesem Markt identifizierte vollwertige Zweitpreisauktion auf das Jahr 1883. Tatsächlich seien auf dem genannten Markt seit den 1930er Jahren sogar mehrheitlich Zweitpreisauktionen verwendet worden.

Eigenschaften

Auszahlungsfunktion

Sei $v_{i}$ die Wertschätzung von Person i, $1\leq i\leq n$, und sei $b_{i}$ das von i abgegebene Gebot. Sei weiter $\Pi _{i}$ die Payoff-Funktion von Bieter i. In einer Zweitpreisauktion lautet diese dann

$\Pi _{i}={\begin{cases}v_{i}-\max _{j\neq i}b_{j}&{\textrm {wenn}}b_{i}>\max _{j\neq i}b_{j}\\0&{\textrm {wenn}}b_{i}<\max _{j\neq i}b_{j}\end{cases}}$

Der Fall $b_{i}=\max _{j\neq i}b_{j}$ wird regelmäßig durch Randomisierung aufgelöst oder, zur theoretischen Vereinfachung, indem man die Gebote zunächst nummeriert und bei Gleichstand dasjenige mit der höchsten/niedrigsten Nummer gewinnen lässt.

Optimale Gebotshöhe

Die Abgabe eines Gebots in Höhe der eigenen Wertschätzung ist in einer Zweitpreisauktion eine schwach dominante Strategie. Um dies einzusehen, überlege man sich, dass es nicht optimal sein kann, irgendeinen Betrag $b_{i}\neq v_{i}$ zu bieten.

• Ein Gebot $b_{i}<v_{i}$ ist nicht optimal. Bietet i stattdessen $b_{i}+\epsilon <v_{i}$ mit geeignetem $\epsilon >0$, erhält er das Objekt noch immer (und zum selben Preis), wenn $\max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}$, aber neu zusätzlich auch dann, wenn $b_{i}<\max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}+\epsilon$, womit annahmegemäß ebenfalls ein positiver Payoff realisiert werden kann.
• Ein Gebot $b_{i}>v_{i}$ ist nicht optimal. Bietet i stattdessen $b_{i}-\epsilon >v_{i}$ mit geeignetem $\epsilon >0$, erhält er das Objekt noch immer (und zum selben Preis), wenn $\max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}-\epsilon$, aber neu nicht mehr dann, wenn $b_{i}-\epsilon <\max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}$, womit jedoch annahmegeäß ein negativer Payoff realisiert worden wäre.

Folglich sollte weder oberhalb noch unterhalb der Wertschätzung geboten werden, weil man damit niemals einen höheren, mitunter aber einen niedrigeren Gewinn realisiert.

Die nachfolgenden graphischen Darstellungen illustrieren dies. Dargestellt ist der Payoff von i in Abhängigkeit vom höchsten nichteigenen Gebot, gegeben die drei Situationen, dass das eigene Gebot der eigenen Wertschätzung entspricht, darunter oder darüber liegt. Betrachtet man die Fläche unterhalb der Kurve, ist unmittelbar ersichtlich, dass diese im ersten Fall am höchsten ist.

Gebot in Höhe der eigenen Wertschätzung

Gebot unterhalb der eigenen Wertschätzung

Gebot oberhalb der eigenen Wertschätzung

Bewertung

Die Tatsache, dass genau in Höhe der eigenen Wertschätzung geboten werden sollte, vereinfacht den Bietprozess aus Sicht des Bieters, weil es zur Festlegung des eigenen Gebots keiner Verteilungsannahmen über die Gebotshöhen anderer Bieter bedarf. Im Vergleich zu der im Fall privater Wertschätzungen strategisch äquivalenten aufsteigenden Auktion (auch: Englischen Auktion) bietet die Zweitpreisauktion den Vorteil, dass es für die Bieter nicht erforderlich ist, über längere Zeit dem Bietprozess beizuwohnen („mitzubieten“), da dieser in einem einstufigen Sealed-Bid-Format ja bereits durch die einmalige Gebotsabgabe abgeschlossen ist. So war es beispielsweise in dem ursprünglich auf der Internetauktionsplattform Ebay verwendeten Format der Englischen Auktion für einen Payoff-optimierenden Kunden erforderlich, etwa über die Anstellung eines Agenten, spezielle Software oder eigene Präsenz sicherzustellen, dass man zum Ende der Auktion hin auch tatsächlich sich noch aktiv am Bietprozess beteiligt; dieser Aufwand entfällt beim hier vorgestellten Format.

Rothkopf, Teisberg und Kahn (1990) führen zwei Gründe an, weshalb Zweitpreisauktionen in der Praxis selten anzutreffen sind. Zum einen sei dies darauf zurückzuführen, dass die Bieter befürchten, betrogen zu werden. Da der Höchstbietende das zweithöchste Gebot bezahlt, ist er davon abhängig, dass der Auktionator dieses auch korrekt beziffert und nicht etwa noch ein eigenes Gebot einfügt, um den Preis in die Höhe zu treiben. Zum anderen sei gerade die Tatsache, dass es optimal ist, seine eigene Wertschätzung offenzulegen, für Bieter abschreckend. Eine Teilnehmerin an einer Zweitpreisauktion hat regelmäßig einen erheblichen Anreiz, andere Bieter bzw. einen Auktionator nicht über die tatsächliche Wertschätzung zu informieren. Zu denken ist auch an Situationen, in denen Auktionsergebnisse nachverhandelt werden; hier würde potenziell etwa die Verhandlungsmacht eines Unternehmens darunter leiden, dass zuvor durch das strategiekonforme Gebot faktisch die Kostenstruktur offengelegt wurde. Dieser Punkt lässt sich in der Praxis auch auf dem bereits angesprochenen Sammlermarkt für Briefmarken nachvollziehen. Abhilfe liefern möglicherweise technologische Innovationen, die den Preisbildungsprozess transparenter und weniger anfällig für Manipulation machen.

Strategische Verwandtschaft

Theorie

Strategische Äquivalenz

Eine Zweitpreisauktion (und allgemein eine Auktion) lässt sich in der Tradition von Vickrey (1961) und Harsanyi (1967, 1968) als Spezialfall eines Bayesianischen Spiels modellieren. Sei nun also mit ${\mathcal {I}}=\{1,\ldots ,n\}$ die Indexmenge aller Spieler gegeben und sei $S_{i}$ die Menge aller Strategien, zwischen denen i wählen kann. Sei ferner $u_{i}:\prod _{i\in {\mathcal {I}}}S_{i}\rightarrow \mathbb {R}$ die allgemeine Payoff-Funktion von i. Dann ist durch

$G=\left\langle {\mathcal {I}},\left\{S_{i}\right\}_{i\in {\mathcal {I}}},\left\{u_{i}\right\}_{i\in {\mathcal {I}}}\right\rangle$

ein allgemeines nichtkooperatives Spiel gegeben.

Anwendung: Im Falle einer Zweitpreisauktion erscheinen für den Strategieraum etwa die nichtnegativen reellen Zahlen denkbar, $S_{i}=[0,\infty )$. Die Payoff-Funktion muss wiederum allgemein eine Funktion der [reinen] Strategien der Spieler sein, weshalb die obige Darstellung noch einer Umformulierung bedarf. Sei $s_{-i}:=(s_{1},\ldots ,s_{i-1},s_{i+1},\ldots ,s_{n})$ das Strategieprofil aller anderen Spieler außer i. Dann notiert man die Payoff-Funktion von i mittels einer Funktion $h_{i}(s_{-i}):=\max _{j\neq i}s_{j}$ als

$u_{i}(s_{i},s_{-i})={\begin{cases}v_{i}-h_{i}(s_{-i})&{\textrm {wenn}}s_{i}>h_{i}(s_{-i})\\0&{\textrm {wenn}}s_{i}<h_{i}(s_{-i})\end{cases}}$

Betrachte nun zwei Spiele

$G^{'}=\left\langle {\mathcal {I}},\left\{S_{i}\right\}_{i\in {\mathcal {I}}},\left\{u_{i}^{'}\right\}_{i\in {\mathcal {I}}}\right\rangle$

$G^{''}=\left\langle {\mathcal {I}},\left\{S_{i}\right\}_{i\in {\mathcal {I}}},\left\{u_{i}^{''}\right\}_{i\in {\mathcal {I}}}\right\rangle$,

die sich ausschließlich durch ihre Payoff-Funktionen unterscheiden. Man bezeichnet die beiden Spiele als strategisch äquivalent, wenn es ein reelles $k>0$ sowie ein reelles Tupel $(c_{1},\ldots ,c_{n})$ gibt, sodass

$u_{i}^{'}(s_{i},s_{-i})=k\cdot u_{i}^{''}(s_{i},s_{-i})+c_{i}$

für jedes Tupel $(s_{i},s_{-i})$.

Strategische Äquivalenz bedeutet also, dass die beiden Spiele identischen Spielern identische Strategieräume zuweisen; sie unterscheiden sich indes in der individuellen Anfangsausstattung sowie der relativen Einheit, in der die Payoffs ausgezahlt werden. Naheliegenderweise gilt für strategisch äquivalente Spiele, dass ihre Nash-Gleichgewichte identisch sind.

Anwendung auf Zweitpreisauktionen

Zweitpreisauktionen sind in enger strategischer Verwandtschaft zur Englischen Auktion. Man vergegenwärtige sich dies etwa mithilfe folgender Überlegung: In einer Zweitpreisauktion bietet ein Spieler wie oben gezeigt optimalerweise in Höhe der eigenen Wertschätzung und, falls er Höchstbietender ist, zahlt das nächsthöhere Gebot. In einer aufsteigenden Auktion werden sich die Bieter so lange gegenseitig überbieten, bis es keine zwei Bieter mehr gibt, deren Wertschätzung über der aktuellen Gebotshöhe liegen; das letzte Gebot ist dementsprechend bei optimalem Bietverhalten gerade marginal höher als das zweitletzte Gebot (und insofern also approximativ gleich). Damit schließt sich der Kreis zur Zweitpreisauktion: Bei beiden Auktionstypen gewinnt im (eindeutigen) Gleichgewicht derjenige mit der höchsten Wertschätzung und in beiden Fällen entstehen ihm Ausgaben in Höhe der zweithöchsten Wertschätzung unter allen Bietern.

Anders als die Erstpreisauktion und die Holländische (absteigende) Auktion sind Zweitpreisauktion und Englische Auktion jedoch nicht generell strategisch äquivalent. Illustrativ kann man sich etwa in der vorangehenden Überlegung vorstellen, dass einer der Bieter seine eigene Wertschätzung nicht kennt. Ein Beispiel wäre etwa, dass die Lizenz zum Betrieb einer Koltanmine im Wege einer Auktion versteigert werden soll; dabei ist die Bewertung der erwarteten Erträge (und damit auch die Wertschätzung der Lizenz) mit Unsicherheit behaftet, weil Qualität und Quantität des abgebauten Koltans ex ante der unmittelbaren Einsicht verborgen sind. Milgrom und Weber (1982) zeigen, dass in einer solchen Situation mit Ungewissheit über die Wertschätzungen eine Englische Auktion höhere (erwartete) Preise mit sich bringt als eine Zweitpreisauktion.

Experimentelle Ergebnisse

In der experimentellen Literatur ist immer wieder festgestellt worden, dass die strategische Äquivalenz zwischen Zweitpreis- und Englischer Auktion bei privaten Wertschätzungen nicht vollständig repliziert werden kann. Kagel, Harstad und Levin (1987) stellen (verglichen mit ihrer tatsächlichen dominanten Strategie) übermäßig hohe Gebote in Zweitpreisauktionen fest (durchschnittlich 11 Prozent zu hoch), während das Ergebnis bei einer Englischen Auktion mit der dominanten Strategie kompatibel war. Die Autoren vermuten als Ursache, dass dies von der falschen Wahrnehmung herrührt, die Gewinnwahrscheinlichkeit würde dadurch steigen, ohne dass hierfür (wegen des Zweitpreisformates) wirkliche Kosten entstehen. Harstadt (2000) bestätigt dieses Ergebnis. Er beobachtet ebenso wie schon Kagel und Levin (1993), dass sich das übermäßige Bieten bei wiederholtem Durchführen einer Zweitpreisauktion nicht wesentlich ändert und erklärt den so erwachsenden Unterschied zwischen Englischer Auktion und Zweitpreisauktion bei wiederholten Zweitpreisauktionen damit, dass den Bietern ein negativer Feedbackmechnismus bei überhöhten Geboten fehlt, weil sie auch bei zu hohen Geboten noch einen positiven Gewinn realisieren können, was sie fälschlicherweise als Bestätigung ihrer strategischen Wahl auffassen.

Morgan, Steiglitz und Reis (2003) rationalisieren überhöhte Gebote auf theoretischer Ebene durch die Annahme, dass die Bieter einen Negativnutzen durch Gewinne ihrer Mitstreiter realisieren (mithin also boshaft agieren). Erst in jüngerer Zeit wurden experimentelle Studien zur Überprüfung von Erklärungs(hypo)thesen durchgeführt. Andreaonia, Cheb und Kimc (2007) teilen Bieter von Runde zu Runde randomisiert in Gruppen ein und untersuchen Unterschiede im Bietverhalten von Bietern mit der jeweils höchsten Wertschätzung und solchen, die davon überzeugt sind, zu verlieren. Die Autoren finden Evidenz dafür, dass sich Bieter grundsätzlich an ihre schwach dominante Strategie halten, jedoch dann davon (nach oben) abweichen, wenn sie zu der Überzeugung gelangen, ohnehin zu verlieren und in der Lage sind, den Verkaufspreis zu beeinflussen. Das Ergebnis ist soweit konsistent mit dem Boshaftigkeitsmotiv von Morgan, Steiglitz und Reis (2003).

Cooper und Fang (2008) untersuchen experimentell die empirische Konsistenz einer Reihe potenzieller Erklärung, namentlich dem Boshaftigkeitsmotiv von Morgan, Steiglitz und Reis (2003) (Hypothese 1), dem an die oben kurz referierte Erklärung von Kagel, Harstad und Levin (1987) angelehnten Vorliegen beschränkter Rationalität (Hypothese 2) sowie einem neuen Motiv, der joy of winning hypothesis („Freude am Sieg“) (Hypothese 3). Hypothese 2 wird von den Autoren so konstruiert, dass Bieter bei der Festlegung ihres Gebotes die Bedeutung einer Gebotserhöhung für den erwarteten Payoff im Fall eines Sieges unterschätzen, während sie ihre Bedeutung für die Gewinnwahrscheinlichkeit vollständig berücksichtigen; dies würde den Unterschied zur Englischen Auktion erklären, weil dort für jedermann leicht ersichtlich ist, wie sich eine Gebotserhöhung auf den Payoff im Fall eines Sieges auswirkt, sodass in der Englischen Auktion die (hohe Gebote befördernde) Wahrnehmungsverzerrung geringer ausgeprägt sein müsste. Hypothese 3 hat zum Inhalt, dass Bieter über monetäre Faktoren hinausgehend einen positiven Nutzen aus dem Gewinn erfahren, wodurch sich ihre Wertschätzung (und damit das optimale Gebot) entsprechend erhöht. Die Autoren finden Evidenz für die Hypothesen 2 und 3 und – im Widerspruch zu Morgan, Steiglitz und Reis (2003) – gegen Hypothese 1.

Siehe auch

• Erlös-Äquivalenz-Theorem

Weblinks

• Benedikt Fehr: Zweitpreis-Auktionen: Von Goethe erdacht, von Ebay genutzt. FAZ.net, 22. Dezember 2007, abgerufen am 11. Juli 2013. 

Literatur

• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
• Vijay Krishna: Auction Theory. 2. Aufl. Academic Press, San Diego u.a. 2010, ISBN 978-0-12-374507-1.
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
• Paul Milgrom: Putting Auction Theory to Work. Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0-521-55194-6.
• Nikolaĭ N. Vorob’ev: Game Theory. Lectures for Economists and Systems Scientists. Übersetzt von Samuel Kotz. Springer, New York u.a. 1977, ISBN 0-387-90238-4.