Satz von Pappos

Satz von Pappos: projektive Form

Satz von Pappos: affine Form

Der Satz von Pappos (Pappus), gelegentlich auch Satz von Pappos-Pascal genannt, ist ein zentraler Satz in der affinen und projektiven Geometrie. Er taucht erstmals als Proposition 139 im VII. Buch der Mathematischen Sammlungen des antiken griechischen Mathematikers Pappos von Alexandria auf. Blaise Pascal fand im 17. Jahrhundert eine Verallgemeinerung des Satzes, den nach ihm benannten Satz von Pascal, bei dem die sechs Grundpunkte des Satzes auf einem Kegelschnitt liegen.

Der Satz lautet in seiner allgemeineren projektiven Form:

Liegen 6 Punkte $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5},P_{6}$ einer projektiven Ebene abwechselnd auf zwei Geraden g,h, so sind die Punkte

$P_{7}:={\overline {P_{1}P_{2}}}\cap {\overline {P_{4}P_{5}}},$

$P_{8}:={\overline {P_{6}P_{1}}}\cap {\overline {P_{3}P_{4}}},$

$P_{9}:={\overline {P_{2}P_{3}}}\cap {\overline {P_{5}P_{6}}}$

kollinear, d.h. sie liegen auf einer Gerade u (s. Bild).

Sind die beiden Geraden g,h durch die Sechseckpunkte und die Gerade u kopunktal, so spricht man auch vom kleinen Satz von Pappos.

Da sich zwei Geraden in einer affinen Ebene nicht unbedingt schneiden, wird der Satz zusätzlich noch in einer spezielleren affinen Form formuliert:

Liegen 6 Punkte $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4},P_{5},P_{6}$ einer affinen Ebene abwechselnd auf zwei Geraden g,h, und sind sowohl das

Geradenpaar ${\overline {P_{1}P_{2}}},{\overline {P_{4}P_{5}}}$ als auch das

Geradenpaar ${\overline {P_{2}P_{3}}},{\overline {P_{5}P_{6}}}$ parallel,

so sind auch ${\overline {P_{3}P_{4}}}$ und ${\overline {P_{6}P_{1}}}$ parallel (s. Bild).

Im projektiven Abschluss der zu grunde liegenden affinen Ebene schneiden sich die 3 parallelen Geradenpaare auf der uneigentlichen Gerade u und es entsteht die projektive Form des Satzes von Pappos.

Bedeutung

Der Satz von Pappos gilt nicht in jeder projektiven Ebene. Er gilt nur in solchen Ebenen, die sich mit Hilfe eines (kommutativen) Körpers koordinatisieren lassen. Umgekehrt folgt aus der Gültigkeit des Satzes von Pappus die Koordinatisierbarkeit der Ebene mit einem Koordinatenkörper. Solche Ebenen, affin oder projektiv, sind also durch den Satz von Pappos gekennzeichnet und heißen pappossche Ebenen.

Für einen Überblick über affine und projektive Ebenen, in denen der Satz von Pappus oder schwächere Schließungssätze allgemein gelten und die Folgerungen, die sich damit jeweils für die algebraische Struktur des Koordinatenbereiches ergeben, siehe die Artikel „Ternärkörper“ und „Klassifikation projektiver Ebenen“.

Zusammenhang mit dem Satz von Desargues: Satz von Hessenberg

Als Satz von Hessenberg wird in der projektiven Geometrie die Aussage

In einer projektive Ebene, in der der Satz von Pappos allgemeingültig ist, ist auch der Satz von Desargues allgemeingültig.

bezeichnet. Dieser Satz wurde Gerhard Hessenberg, nach dem er benannt ist, in den 20er Jahren des 20. Jahrhunderts (lückenhaft) bewiesen. Er ist von fundamentaler Bedeutung für die synthetische Geometrie. Ein vollständiger Beweis (über verschiedene Hilfssätze) findet sich im Lehrbuch von Lüneburg.

Folgerungen aus dem Satz von Hessenberg

1. Mit dem Satz von Wedderburn folgt, dass für endliche projektive oder affine Ebenen der Satz von Pappos und der Satz von Desargues äquivalent sind.
2. Allgemeiner sind die Aussagen

• $\Pi$ ist pappossch und
• $\Pi$ ist desarguessch und der Koordinatenschiefkörper von $\Pi$ ist kommutativ

für eine projektive Ebene $\Pi$ gleichwertig.

Literatur

Zur Geschichte des Satzes von Pappos

• Harold Scott MacDonald Coxeter mit S. L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0. 
• Carl Immanuel Gerhardt: A History of Greek Mathematics. Dover, New York 1921 (Erstausgabe), 1981. 
• Thomas Heath: Die Sammlung des Pappus von Alexandrien, griechisch und deutsch. H. W. Schmidt, Halle und Eisleben 1871, 1875. 

Lehrbücher

• Harold Scott MacDonald Coxeter: Introduction to Geometry. 2. Auflage. John Wiley & Sons], New York 1969, ISBN 978-0-471-50458-0. 
• Helmut Karzel, Kay Sörensen und Dirk Windelberg: Einführung in die Geometrie. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1973, ISBN 3-525-03406-7. 
• Heinz Lüneburg: Die euklidische Ebene und ihre Verwandten. Birkhäuser, Basel/Boston/Berlin 1999, ISBN 3-7643-5685-5, III: Papossche Ebenen (Digitalisierte Leseprobe bei google-books [abgerufen am 30. Juli 2013] Ausführliche Diskussion und Beweis des Satzes von Hessenberg, Erläuterungen, wie der Satz von Pappos die algebraische Struktur des Koordinatenkörpers bestimmt). 
• Hanfried Lenz: Vorlesungen über projektive Geometrie. Akad. Verl., Leipzig 1965. 
• Rolf Lingenberg: Grundlagen der Geometrie I. Bibliographisches Institut, Mannheim 1969. 

Weblink

• Projektive Geometrie, Kurzskript, Uni Darmstadt