Stieltjesscher Inhalt

Der Stieltjes’sche Inhalt, benannt nach dem Mathematiker Thomas Jean Stieltjes, ist ein Inhalt, mit dem man das Riemann-Integral zum Stieltjes’schen Integral verallgemeinern kann.

Der Stieltjes’sche Inhalt wird auf dem Halbring ${\mathcal {J}}:=\{]a,b]:a,b\in \mathbb {R} ,a\leq b\}$ über $\mathbb {R}$ definiert. Da man Inhalte auf einem Halbring eindeutig auf ihrem erzeugten Ring fortsetzen kann (Vgl. Elsrodt II.1.6), kann er auf der Menge

${\mathcal {F}}:=\left\{\left.\bigcup _{j=1}^{n}I_{j}\,\right|\,I_{1},\dotsc ,I_{n}\in {\mathcal {J}},I_{j}\cap I_{k}=\emptyset {\text{ wenn }}j\neq k\right\}$

betrachtet werden.

Definition

Ist $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ eine monoton wachsende Funktion, so nennt man $\mu _{F}:{\mathcal {J}}\rightarrow \mathbb {R} ,\mu _{F}(]a,b]):=F(b)-F(a),(a\leq b)$ den zu $F$ gehörenden Stieltjes’schen Inhalt.

Darstellung von Inhalten

Ist $\mu :{\mathcal {J}}\rightarrow \mathbb {R}$ ein endlicher Inhalt und wird $F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ definiert durch

$F(x):={\begin{cases}\mu (]0,x]),&{\mbox{wenn }}x\geq 0\\-\mu (]x,0]),&{\mbox{wenn }}x<0\end{cases}}$, so gilt $\mu =\mu _{F}$.

Damit lässt sich also jeder endliche Inhalt auf $\mathbb {R}$ als Stieltjes’scher Inhalt darstellen.

Prämaß

Man ist oft daran interessiert, dass ein Inhalt σ-additiv, also ein Prämaß ist. Der Stieltjes’sche Inhalt ist genau dann ein Prämaß, wenn $F$ rechtsstetig ist.

Stieltjes’sches Integral

Mithilfe des Stieltjes’schen Inhalts kann man das Riemann-Integral zum Stieltjes-Integral $\textstyle \int _{a}^{b}g(x)\ \mathrm {d} F(x)$ erweitern. (Vgl. Walter)

Für $F(x)\equiv x$ ist das Stieltjes-Integral gerade gleich dem Riemann-Integral.

Literatur

• Wolfgang Walter: Analysis (= Grundwissen Mathematik. Band 4). Band 2. Springer, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-12781-X. 
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 4., korrigierte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-21390-2, Kapitel II, § 2, S. 37.