Stieltjesintegral

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In der Integralrechnung bezeichnet das Stieltjesintegral eine wesentliche Verallgemeinerung des Riemannintegrals oder eine Konkretisierung des Integralbegriffs von Lebesgue. Benannt wurde es nach dem niederländischen Mathematiker Thomas Jean Stieltjes (1856–1894). Das Stieltjesintegral, für den der Begriff des Integrators grundlegend ist, findet Anwendung auf vielen Feldern, insbesondere in der Physik und der Stochastik.

Das Riemann-Stieltjes-Integral für monotone Integratoren[Bearbeiten]

Es seien  [a,b] \ne \emptyset ein reelles Intervall und  f,h\colon [a,b] \to \R zwei Funktionen. Dabei wird vorausgesetzt, dass f, der Integrand, beschränkt ist und h, der Integrator, (nicht notwendigerweise streng) monoton wächst. Das dazugehörige Riemann-Stieltjes-Integral von f bezüglich h auf dem Intervall [a,b] wird wie das Riemannintegral über feine Zerlegungen des Intervalls oder über Ober- und Untersummen (siehe dort) definiert. Jedoch lauten die Formeln für die Ober- und Untersumme bei Stieltjes-Integralen statt

\overline{S_N} = \sum_{i=1}^N \sup \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1}) (Obersumme) und
\underline{S_N} = \sum_{i=1}^N \inf \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(t_i-t_{i-1}) (Untersumme)

nun

\overline{S_N} = \sum_{i=1}^N \sup \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\} \cdot(h(t_i)-h(t_{i-1})) (Stieltjes-Obersumme) und
\underline{S_N} = \sum_{i=1}^N \inf \Big\{ f(t):t \in [t_{i-1},t_i] \Big\}\cdot(h(t_i)-h(t_{i-1})) (Stieltjes-Untersumme).

Konvergieren Ober- und Untersumme für hinreichend feine Zerlegungen gegen denselben Wert, so heißt f\!\, bezüglich h\!\, auf [a,b]\!\, Riemann-Stieltjes-integrierbar und der gemeinsame Grenzwert wird als Wert des Integrals bezeichnet. Die Schreibweise hierfür ist

\int_a^b f\,\mathrm dh\quad\text{oder}\quad\int_a^b f(t)\,\mathrm dh(t).

Der Integrator h regelt also, wie stark f an verschiedenen Stellen gewichtet wird. Statt Integrator ist deshalb auch die Bezeichnung Gewichtsfunktion üblich. Offensichtlich kann das gewöhnliche Riemannintegral nun als Spezialfall des Riemann-Stieltjes-Integrals mit h(x)=x für alle x (Identität) aufgefasst werden.

Das Riemann-Stieltjes-Integral existiert z. B. bei stetiger Funktion f selbst mit der Cantor-Funktion als Integrator (das ist eine monoton von 0 auf 1 wachsende Funktion, die fast überall konstant ist, nämlich bis auf eine überabzählbare Nullmenge).

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral[Bearbeiten]

Das Lebesgue-Stieltjes-Integral ist ein Spezialfall des Lebesgue-Integrals. Hierbei wird über ein Borel-Maß \mu integriert, das im Fall des Lebesgue-Stieltjes-Integrals durch die monotone Funktion h definiert wird und im Folgenden mit \mu_h bezeichnet wird. Das Maß \mu_h ist festgelegt durch seine Werte auf Intervallen:

\begin{align}
  \mu_h([x,y[)& =h(y-)-h(x-),\\
  \mu_h([x,y])& =h(y+)-h(x-),\\
  \mu_h(]x,y])& =h(y+)-h(x+)
\end{align}

Hier bezeichnet h(y-) den linksseitigen und h(y+) den rechtsseitigen Grenzwert der Funktion h an der Stelle y. Ist h die Identität, so handelt es sich um das Lebesgue-Maß. Ist f bezüglich dieses Maßes \mu_h Lebesgue-integrierbar, so definiert man das zugehörige Lebesgue-Stieltjes-Integral als

\int_a^b f\,\mathrm dh =\int_a^b f\,\mathrm d\mu_h,

wobei die rechte Seite als gewöhnliches Lebesgue-Integral aufzufassen ist.

Nicht-monotone Integratoren[Bearbeiten]

Für eine eingeschränkte Menge nicht monoton wachsender Integratoren kann das Stieltjes-Integral ebenfalls sinnvoll definiert werden, nämlich für solche mit endlicher Variation auf [a,b]. Funktionen endlicher Variation können nämlich stets als Differenz zweier monoton wachsender Funktionen dargestellt werden, also  h=h_1 - h_2 wobei h_1, h_2\colon [a,b] \to \R monoton wachsend sind. Das zugehörige Stieltjes-Integral (wahlweise im Riemannschen oder Lebesgueschen Sinne) ist dann definiert als

\int_a^b f\,\mathrm dh := \int_a^b f\,\mathrm dh_1 - \int_a^b f\,\mathrm dh_2.

Es kann gezeigt werden, dass diese Definition sinnvoll, d. h. wohldefiniert (also unabhängig von der speziellen Wahl der Zerlegung) ist.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Wie das Riemann- und das Lebesgue-Integral ist auch das Stieltjes-Integral linear im Integranden:
    \int_a^b (\alpha f + \beta g) \, \mathrm dh =  \alpha \int_a^b f\,\mathrm dh + \beta \int_a^b g \,\mathrm dh
für Konstanten \alpha,\beta \in \R, falls die betrachteten Integrale existieren.
  • Weiterhin ist das Stieltjes-Integral auch linear im Integrator, also
    \int_a^b f\,\mathrm d(\alpha g + \beta h) = \alpha \int_a^b f\,\mathrm dg + \beta \int_a^b f\,\mathrm dh
für Konstanten \alpha,\beta \in \R und Funktionen g,h endlicher Variation.
  • Das Integral ist invariant unter Translationen des Integrators, also
    \int_a^b f\,\mathrm d(h+c) =\int_a^b f\,\mathrm dh
für Konstanten c.
  • Treppenfunktionen als Integratoren: Ist f stetig und h eine Treppenfunktion, die in den Punkten t_1, \ldots, t_n \in\,]a,b[ Sprünge der Höhe \Delta h_1, \ldots, \Delta h_n \in \R besitzt, so gilt
    \int_a^b f\,\mathrm dh = \sum_{i=1}^n f(t_i) \Delta h_i.
(Im Lebesgueschen Sinne: h\!\,' ist die Dichte von \mu_h.)
  • Ist h absolut stetig, so ist h fast überall differenzierbar, die Ableitung h' ist integrierbar und es gilt auch hier:
    \int_a^b f(x)\,\mathrm dh(x) = \int_a^b f(x) h'(x)\,\mathrm dx.

Literatur[Bearbeiten]

  • Isidor P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Thun u. a. 1981, ISBN 3-87-144-217-8.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Wolfgang Walter: Analysis. Band 2. 5., erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-42953-0, S. 193 f.