Ring (Mengensystem)

In der Mathematik ist ein (Mengen-)Ring ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und differenzstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Ringes in der abstrakten Algebra einen Mengenverband „Ring“,, unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie üblicherweise lediglich die hier definierten Mengensysteme.

Der hier verwendete Begriff des Ringes unterscheidet sich außerdem von dem eines Ringes im Sinne der Algebra, beide stehen aber in einem Zusammenhang.

Definition

Sei Ω eine beliebige Menge. Ein System $\mathcal R$ von Teilmengen von Ω heißt ein Mengenring oder Ring über Ω, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. $\mathcal R \neq \emptyset$ ($\mathcal R$ ist nicht leer).
2. $A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cup B \in \mathcal R$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
3. $A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Differenz).

Beispiele

• Über jeder beliebigen Menge Ω ist $\{\emptyset\}$ der kleinste und die Potenzmenge $\mathcal P(\Omega)$ der größte mögliche Mengenring.
• Jede σ-Algebra ist ein Mengenring (aber nicht jeder Mengenring ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften

• Jeder Mengenring $\mathcal R$ enthält die leere Menge $\emptyset$, denn $\mathcal R$ enthält mindestens ein Element A und damit ist $\emptyset = A \setminus A \in \mathcal R.$
• Das Tripel $(\mathcal R,\triangle,\cap)$ mit dem Mengenring $\mathcal R \subseteq \mathcal P(\Omega)$ ist ein Ring im Sinne der Algebra, wobei $A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) \in \mathcal R$ und $A \cap B = A \setminus (A \setminus B) \in \mathcal R$ für alle $A,B \in \mathcal R$ (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich symmetrischer Differenz und Durchschnitt). Die leere Menge $\emptyset$ entspricht dem Nullelement und Ω dem Einselement. Ein Mengenring muss ein Nullelement enthalten, muss aber nicht ein Einselement enthalten.

Ist umgekehrt $\mathcal R \subseteq \mathcal P(\Omega)$ ein Mengensystem, so dass $(\mathcal R,\triangle,\cap)$ ein Ring im Sinne der Algebra ist, dann ist $\mathcal R$ wegen $A \cup B = (A \triangle B) \triangle (A \cap B) \in \mathcal R$ und $A \setminus B = A \triangle (A \cap B) \in \mathcal R$ für alle $A,B \in \mathcal R$ auch immer ein Mengenring.

Damit sich jeder Mengenring $\mathcal R$ als Ring im Sinne der Algebra darstellen lässt, darf $\mathcal R$ nicht leer sein, denn die leere Menge $\emptyset$ kann kein Nullelement enthalten und daher keine Trägermenge eines Ringes im Sinne der Algebra sein.

• Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenringes $\mathcal R$ in ihm enthalten ist, d. h. für alle $n \in \mathbb N$ gilt:

$A_1, \dots, A_n \in \mathcal R \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal R$ und $A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal R,$ sowie $\bigcup\emptyset = \emptyset \in \mathcal R.$

Äquivalente Definitionen

Wenn $\mathcal R$ ein System von Teilmengen von Ω ist und wenn A,B Mengen sind, dann sind wegen $A \cap B = A \setminus (A \setminus B)$ und $A \setminus B = A \setminus (A \cap B)$ folgende zwei Aussagen äquivalent:

• $A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R.$
• $A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R$ und falls $B \subseteq A$ auch $A \setminus B \in \mathcal R.$

Ist außerdem $\mathcal R \neq \emptyset$, so sind wegen $A \setminus B = (A \cup B) \triangle B$ und $A \cup B = (A \setminus B) \cup B$ sowie $A \cup B = C \setminus ((C \setminus A) \cap (C \setminus B))$ für jede Menge C mit $A \cup B \subseteq C$ ebenso äquivalent:

• $\mathcal R$ ist ein Mengenring.
• $\mathcal R$ ist ein Mengenverband und es gilt: $A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R.$
• $\mathcal R$ ist ein Mengenhalbring und es gilt: $A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \cup B \in \mathcal R.$
• $A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \triangle B \in \mathcal R$ und $A \cap B \in \mathcal R.$
• $(\mathcal R,\triangle)$ ist eine abelsche Gruppe und $(\mathcal R,\cap)$ ist eine Halbgruppe im Sinne der Algebra.
• $(\mathcal R,\triangle,\cap)$ ist ein Ring im Sinne der Algebra.
• $(\mathcal R,\triangle,\cap)$ ist ein idempotenter (kommutativer) Ring im Sinne der Algebra.
• $A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \triangle B \in \mathcal R$ und $A \cup B \in \mathcal R.$
• $A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R$ und falls $A \cap B = \emptyset$ existiert ein $C \in \mathcal R$ mit $A \cup B \subseteq C.$
• $A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R$ und es existiert ein $C \in \mathcal R$ mit $A \cup B \subseteq C.$

Verwandte Strukturen

• Ein Mengenring über Ω, der Ω enthält, ist eine Mengenalgebra über Ω und umgekehrt.
• Wenn ein Mengenring sogar bezüglich der Vereinigung abzählbar unendlich vieler seiner Elemente abgeschlossen ist, dann erhält man einen σ-(Mengen-)Ring. Ein σ-Ring über Ω, der Ω enthält, ist eine σ-(Mengen-)Algebra über Ω und umgekehrt.

Siehe auch

• Mengenlehre
• Mengensystem

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. überarb. Aufl.. W. de Gruyter, Berlin–New York 1992. ISBN 3-11-013626-0
• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. ISBN 3-540-15307-1
• Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Aufl.. Bibliographisches Institut, Zürich 1985. ISBN 3-411-03102-6
• Guido Walz (Red.): Lexikon der Mathematik. Band 3. Inp bis Mon. Spektrum Akad. Verl., Heidelberg 2001. ISBN 3-8274-0435-5 (teilweise sehr fehlerhaft)