Basisauswahlsatz

Basisauswahlsatz

Der Basisauswahlsatz ist ein elementarer Lehrsatz der Linearen Algebra, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er ist verwandt mit dem Austauschlemma von Steinitz, dem Basisergänzungssatz und dem Schranken-Lemma.

Formulierung des Satzes

Der Satz lautet wie folgt:

In jedem Vektorraum $V$ über einem beliebigen Körper $K$ lässt sich aus einem endlichen Erzeugendensystem stets eine Basis auswählen.

Insbesondere hat jeder endlich erzeugte Vektorraum eine endliche Basis.

Beweisskizze

Für eine Teilmenge $E\subset V$ des Vektorraums bezeichne $\operatorname {span} (E)$ deren lineare Hülle.

Sei nun $E$ ein endliches Erzeugendensystem von $V$. Ist $E$ schon linear unabhängig, so ist man fertig, denn damit ist $E$ ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, also eine Basis von $V$.

Ist andererseits $E$ selbst linear abhängig, so lässt sich darin ein Element $e\in E$ auswählen mit $e\in \operatorname {span} (E\setminus \{e\})$ . Dann ist $\operatorname {span} (E)=\operatorname {span} (E\setminus \{e\})$, also $E\setminus \{e\}$ selbst auch ein endliches Erzeugendensystem von $V$, dessen Anzahl gegenüber $E$ allerdings um $1$ vermindert ist.

Ist $E\setminus \{e\}$ nun linear unabhängig, also eine Basis, so ist man fertig. Anderenfalls wiederholt man das Verfahren.

Man gelangt auf diese Weise nach endlich vielen Schritten zu einer endlichen Teilmenge $E^{*}\subseteq E$, welche eine Basis von $V$ darstellt.

Verwandtes Theorem

Mit dem Basisauswahlsatz verknüpft ist das folgende grundlegende Theorem der Linearen Algebra:

Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Der Beweis dieses Theorems benötigt im Falle, dass der zugrundeliegende Vektorraum nicht endlich erzeugt ist, den Einsatz eines der Maximalitätsprinzipien der Mengenlehre. Üblicherweise wird der Beweis heute mit Hilfe des zornschen Lemmas geführt.

Verallgemeinerung

Wie die Beweisskizze zeigt, lässt sich auf die gleiche Art und Weise zeigen, dass sich aus einem endlichen Erzeugendensystem eines Matroids stets eine Basis auswählen lässt.

Weblink

Auszug aus einem Skript der Universität Bielefeld

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 17., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner , Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-0996-4.