Stützhyperebene

Stützhyperebene (gestrichelte Linie) und zugehöriger Stützhalbraum (hellblau) einer Menge S (lila)

Eine Stützhyperebene ist in der Mathematik eine Hyperebene, die den Rand einer gegebenen Menge im euklidischen Raum so schneidet, dass die Menge vollständig in einem der beiden durch die Hyperebene definierten abgeschlossenen Halbräume liegt. Im zwei- und drei-dimensionalen Raum spricht man entsprechend auch von einer Stützgerade beziehungsweise einer Stützebene. Bei einer konvexen Menge existiert für jeden Randpunkt eine Stützhyperebene, die jedoch nicht eindeutig sein muss.

Definition

Ist $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine Menge im $n$-dimensionalen euklidischen Raum mit Rand $\partial S$, dann heißt eine Hyperebene $H\subset \mathbb {R} ^{n}$ Stützhyperebene von $S$, wenn

$H\cap \partial S\neq \emptyset$

und

$S\subseteq H^{+}$   oder   $S\subseteq H^{-}$

gelten, wobei $H^{+}$ und $H^{-}$ die beiden abgeschlossenen Halbräume zu $H$ sind. Derjenige Halbraum, der die zweite Bedingung erfüllt, heißt dann Stützhalbraum von $S$. Ein Randpunkt von $S$, der auf einer Stützhyperebene liegt, wird auch Stützpunkt von $S$ genannt. Eine Stützhyperebene heißt eigentlich, wenn $S\not \subset H$ ist, ansonsten uneigentlich.

Darstellung

Die Stützhyperebene durch einen gegebenen Stützpunkt muss nicht eindeutig sein

Bezeichnet $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das Standardskalarprodukt im $\mathbb {R} ^{n}$ und ist $r\in \partial S$ ein Randpunkt von $S$, dann ist die Hyperebene

$H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \langle n,x\rangle =\langle n,r\rangle \}$

mit Normalenvektor $n\in \mathbb {R} ^{n}$ genau dann eine Stützhyperebene von $S$ durch den Stützpunkt $r$, wenn

$\langle n,s\rangle \geq \langle n,r\rangle$   oder   $\langle n,s\rangle \leq \langle n,r\rangle$

für alle Punkte $s\in S$ gilt.

Die Stützhyperebene durch einen gegebenen Stützpunkt muss jedoch nicht notwendigerweise eindeutig bestimmt sein, wie das Beispiel in der nebenstehenden Abbildung zeigt.

Existenzsatz für konvexe Mengen

Bei einer nichtkonvexen Menge gibt es Randpunkte, an denen keine Stützhyperebene existiert

Aussage

Ist $S\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere konvexe Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$, dann ist jeder Randpunkt $r\in \partial S$ ein Stützpunkt und besitzt damit mindestens eine Stützhyperebene. Das bedeutet, dass zu jedem Randpunkt $r$ von $S$ ein Vektor $n\in \mathbb {R} ^{n}$ existiert, sodass

$\langle n,s\rangle \geq \langle n,r\rangle$

für alle $s\in S$ gilt.

Beweis

Sei $(r_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ mit $r_{k}\not \in {\bar {S}}$ eine Folge von Punkten außerhalb von $S$, die gegen den Randpunkt $r$ konvergiert ($r_{k}\to r$). Nach dem Trennungssatz existiert nun durch jeden Punkt $r_{k}$ eine Hyperebene

$H_{k}=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \langle n_{k},x\rangle =\langle n_{k},r_{k}\rangle \}$,

sodass $S\subset H_{k}^{+}$. Werden nun die Vektoren $n_{k}$ auf Eins normiert, dann ist die Folge $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ beschränkt und enthält damit nach dem Satz von Bolzano-Weierstraß eine konvergente Teilfolge $({\tilde {n}}_{k})_{k\in \mathbb {N} }$. Ist $n$ der Grenzwert einer solchen Teilfolge, dann ergibt sich

$\langle n,r\rangle =\lim _{k\to \infty }\langle {\tilde {n}}_{k},r_{k}\rangle \leq \lim _{k\to \infty }\langle {\tilde {n}}_{k},s\rangle =\langle n,s\rangle$

für alle $s\in S$. Damit ist die Hyperebene

$H=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \langle n,x\rangle =\langle n,r\rangle \}$

eine Stützhyperebene im Stützpunkt $r$ mit zugehörigen Stützhalbraum $H^{+}$.

Literatur

• Rainer E. Burkard, Uwe T. Zimmermann: Einführung in die Mathematische Optimierung. Springer, 2012, ISBN 978-3-642-28673-5. 
• Peter Gritzmann: Grundlagen der mathematischen Optimierung. Springer, 2013, ISBN 978-3-8348-2011-2, S. 261. 
• Dieter Jungnickel: Optimierungsmethoden: Eine Einführung. Springer, 2014, ISBN 978-3-642-54821-5, S. 35. 

Weblinks

• Supporting hyperplane. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).