Konvexe Menge

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche
eine konvexe Menge
eine nichtkonvexe Menge

In der Mathematik heißt eine geometrische Figur oder allgemeiner eine Teilmenge eines euklidischen Raums konvex, wenn für je zwei beliebige Punkte, die zur Menge gehören, auch stets deren Verbindungsstrecke ganz in der Menge liegt. Dies garantiert, dass die Menge an keiner Stelle eine (konkave) Einbuchtung hat.

Geschichte und Anwendung[Bearbeiten]

Die Theorie der konvexen Mengen begründete Hermann Minkowski in seinem Werk Geometrie der Zahlen, Leipzig 1910. Anwendung finden konvexe Mengen z.B. in der konvexen Optimierung oder der Computeranimation, wo konvexe Polytope in verschiedener Hinsicht einfacher zu handhaben sind als Nichtkonvexe.

Definition für Vektorräume[Bearbeiten]

Eine Teilmenge M eines reellen oder komplexen Vektorraum V heißt konvex, wenn für alle a,b\in M und für alle \lambda \in \R mit 0\leq\lambda\leq1 stets gilt:

\lambda a+(1-\lambda)b\in M.

Diese Definition basiert auf der Parameterdarstellung der Verbindungsstrecke zwischen a und b:

\overline{ab} := \{ \lambda a+(1-\lambda)b\mid\lambda \in \R,0\leq\lambda\leq1\}.

Tatsächlich schließt obige Definition auch Objekte mit planaren Rändern wie Quadrate mit ein, die man umgangssprachlich nicht unbedingt als konvex bezeichnen würde.

Beispiele[Bearbeiten]

Beispiele für nichtkonvexe Figuren der Ebene

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • Jede konvexe Menge ist sternförmig, derart, dass jeder Punkt als Sternzentrum gewählt werden kann. Insbesondere ist jede nichtleere konvexe Teilmenge eines reellen oder komplexen Vektorraums zusammenhängend und auf einen Punkt kontrahierbar, kann also keinerlei Löcher haben.
  • Der Durchschnitt beliebig (auch unendlich) vieler konvexer Mengen ist konvex. Somit bilden die konvexen Teilmengen eines Vektorraumes ein Hüllensystem. Insbesondere gibt es zu jeder Teilmenge die davon erzeugte konvexe Menge, die sogenannte konvexe Hülle dieser Menge. Das ist nichts anderes als der Durchschnitt aller konvexen Mengen, die die vorgegebene Teilmenge umfassen.
  • Die Vereinigung konvexer Mengen ist im Allgemeinen nicht konvex. Aber die Vereinigung einer aufsteigenden Kette konvexer Mengen ist wieder konvex.

Stabilität unter Operationen[Bearbeiten]

Die Konvexität einer Menge ist Stabil unter gewissen Operationen. Beispiele dafür sind

  • Bilder und Urbilder Konvexer Mengen unter einer affinen Funktion  f(x)=Ax+b mit  A \in \mathbb{R}^{m \times n} und  b \in \mathbb{R}^m sind wieder Konvex.
  • Dies enthält als Spezialfall die Translation um den Vektor  b (Setze  A=E die Einheitsmatrix) und die Skalierung um den Faktor  a (Setze  A=a E, \, b=0 ).
  • Die Summe zweier konvexer Mengen  K_1+K_2=\{x_1+x_2| \, x_1 \in K_1, \, x_2 \in K_2\} ist wieder Konvex
  • Das Kartesische Produkt  K_1 \times K_2 zweier konvexer Mengen ist wieder konvex.
  • Jede Projektion  f(x)=x_i einer konvexen Menge auf eine Koordinatenachse ist wieder konvex.
  • Ist für jedes  x \in K der Term  c^Tx+d>0 , so ist das Bild der Konvexen Menge  K unter der Funktion
 f(x)=\frac{Ax+b}{c^Tx+d}
wieder konvex. Analog ist das Urbild einer konvexen Menge unter dieser Funktion wieder konvex.

Normierte Räume[Bearbeiten]

Konvexitätsbedingungen[Bearbeiten]

In normierten Räumen (V,\|\cdot \|), das heißt in Vektorräumen V mit einer Norm \|\cdot\|, die jedem Vektor x\in V seine Länge \|x\| zuordnet, kann man mittels der Norm konvexe Mengen konstruieren. Die für die Theorie der normierten Räume wichtigste konvexe Menge ist die Einheitskugel B_V := \{x\in V;\,\|x\|\le 1\}.

Gewisse Konvexitätsbedingungen, die man an die Einheitkugel eines normierten Raums stellen kann und die die Konvexität der Einheitskugel verschärfen, definieren zu Raumklassen normierter Räume. Das führt zu Begriffsbildungen wie zum Beispiel strikt konvexer oder gleichmäßg konvexer Räume.

Normale Struktur[Bearbeiten]

Ein Punkt x einer beschränkten, konvexen Mengen M\subset V heißt diametral für M, wenn \sup\{\|x-y\|;\, y\in M\} gleich dem Durchmesser von M ist. In der Einheitkugel sind genau die Randpunkte, das heißt die Vektoren der Länge 1, diametral. Für eine Strecke in einem normierten Raum sind genau die Endpunkte dieser Strecke diametral. In diesen beiden Beispielen gibt es auch stets nicht-diametrale Punkte. Das betrachtet man als eine "normale" Eigenschaft und definiert:

Eine beschränkte, konvexe Menge hat normale Struktur, wenn jede darin enthaltene abgeschlossene und konvexe Teilmenge M mit mindestens zwei Punkten nicht-diametrale Punkte bzgl. M enthält.

Man kann zeigen, dass jede kompakte, konvexe Menge in einem normierten Raum normale Struktur hat.[1] Da beschränkte, abgeschlossene Mengen in endlichdimensionalen Räumen nach dem Satz von Heine-Borel kompakt sind, haben also alle beschränkten, konvexen Mengen in endlichdimensionalen Räumen normale Struktur. Das Auftreten beschränkter, konvexer Mengen ohne normale Struktur ist daher ein rein uendlichdimensionales Phänomen.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Allgemein genügen für die sinnvolle Definition von Konvexität schon erheblich schwächere Voraussetzungen an die Geometrie, die auf M gilt, man braucht aus Hilberts Axiomensystem der euklidischen Geometrie lediglich die Axiome der Verknüpfung und die der Anordnung. Die Konvexität hängt insbesondere von der Definition einer geraden Verbindungsstrecke ab. So ist die Halbebene, die durch \{(x,y)\in\mathbb R^2\mid x+y \leq 0\} definiert wird konvex in der euklidischen Ebene, aber nichtkonvex in der Moulton-Ebene: Beispielsweise läuft die „Gerade“ zwischen (-1,1) und (1,-1) über den (nicht in der Menge enthaltenen) Punkt (0,\tfrac{1}{3}). Siehe auch kollinear.

Je nach mathematischem Kontext werden unterschiedliche Verallgemeinerungen benutzt, die auch teilweise nicht kohärent sind.

Konvexitätsraum[Bearbeiten]

Folgende Axiomatik verallgemeinert die grundlegenden Eigenschaften konvexer Mengen auf einem Niveau, das vergleichbar ist mit dem der Topologie.

Eine Menge X zusammen mit einer Menge von Teilmengen \mathcal{K} \subseteq \mathcal{P}(X) wird Konvexitätsraum genannt, wenn für \mathcal{K} Folgendes gilt:

Dann werden die Mengen aus \mathcal{K} die konvexen Mengen von X genannt.

Metrisch konvexer Raum[Bearbeiten]

Ein Kreis ist metrisch konvex, aber als Teilmenge des euklidischen Raums nichtkonvex.

Ein metrischer Raum (X,d) wird metrisch konvex genannt, wenn zu je zwei Punkten x,y \in X stets ein (dazwischenliegender) Punkt z \in X existiert, so dass in der Dreiecksungleichung Gleichheit gilt:

d(x,y)=d(x,z)+d(z,y)

Hier gilt allerdings nicht mehr, dass der Schnitt von metrisch konvexen Mengen wieder metrisch konvex wäre. So ist die Kreislinie mit der Metrik der Bogenlänge metrisch konvex, zwei abgeschlossenen Halbkreise, die bis auf ihre beiden Endpunkte x,y disjunkt sind, sind auch metrisch konvexe (Teil)mengen, ihr zweielementiger Schnitt \{ x,y \} aber nicht.

Geodätisch konvexe Mannigfaltigkeiten[Bearbeiten]

Semi-Riemannsche Mannigfaltigkeiten (M,g) haben eine innewohnende Metrik, die die Geodäten der Mannigfaltigkeit festlegt. Wenn jedes Paar von Punkten in einer Umgebung durch eine einzige Geodäte der Mannigfaltigkeit verbunden werden kann, die vollständig in dieser Umgebung liegt, nennt man diese Umgebung einfach konvex.

Eine Untermannigfaltigkeit C\subset M einer riemannschen Mannigfaltigkeit (M,g) heißt geodätisch konvex, wenn sich je zwei beliebige Punkten x,y\in C durch eine Kurve in C verbinden lassen, die eine in (M,g) global längenminimierende Geodäte ist.

Beispiele und Unterschiede[Bearbeiten]

  • Die rationalen Zahlen mit dem üblichen Abstand bilden eine metrisch konvexe Teilmenge von \R, die nicht konvex ist.
  • Gleiches gilt für \R^2\backslash \{ 0 \}, was als riemannsche Mannigfaltigkeit auch nicht geodätisch konvex ist.
  • Eine konvexe Teilmenge des euklidischen Raumes ist stets auch metrisch konvex, bezüglich der von der Norm induzierten Metrik. Für abgeschlossene Teilmengen gilt auch die Umkehrung.

Krümmung von Kurven[Bearbeiten]

Eine Funktion ist genau dann konvex, wenn ihr Epigraph, in diesem Bild die grüne Menge über dem blauen Funktionsgraphen, eine konvexe Menge ist.

Im Zweidimensionalen kann die Krümmung einer stetig differenzierbaren Kurve in einem Punkt x_0 in Relation zum Betrachter untersucht werden:

  • Liegen die benachbarten Punkte von x_0 in der gleichen Tangential-Halbebene wie der Betrachter, so ist sie dort für ihn konkav gekrümmt.
  • Existiert eine Umgebung um x_0, so dass alle Punkte daraus in der anderen Tangential-Halbebene liegen, so ist die Kurve in x_0 für den Betrachter konvex gekrümmt.

Ecken werden konvex genannt, wenn alle Innenwinkel höchstens 180° betragen.

Analog kann in höheren Dimensionen die Krümmung von Hyperebenen untersucht werden, dazu muss das Objekt aber orientierbar sein.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Vasile I. Istratescu: Strict Convexity and Complex Strict Convexity, Theory and Applications, Taylor & Francis Inc. (1983), ISBN 0-8247-1796-1, Satz 2.11.20

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: (nicht)konvexe Mengen – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien