Satz vom Minimum und Maximum

Eine auf [a,b] definierte stetige Funktion, die ihr Maximum und Minimum annimmt

Der Satz vom Maximum und Minimum ist ein mathematischer Lehrsatz aus dem Gebiet der Analysis, der dem deutschen Mathematiker Karl Weierstraß zugerechnet wird. Der Satz besagt, dass jede auf einem kompakten reellen Intervall definierte, reellwertige und stetige Funktion beschränkt ist und im Definitionsbereich ihr Maximum sowie Minimum annimmt. Er ist einer der Hauptsätze der Analysis und stellt ein wichtiges Instrument zum Beweis der Existenz von Extremwerten solcher Funktionen dar.

Satz vom Minimum und Maximum

Jede auf einem abgeschlossenen Intervall $[a,b]$ mit $a<b$ definierte stetige Funktion ist beschränkt und nimmt ihr Maximum und Minimum an.

Das bedeutet: Ist $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion, so gibt es stets Argumente ${\tilde {x}},{\hat {x}}\in [a,b]$ derart, dass für jedes andere Argument $x\in [a,b]$ die Ungleichung $f({\hat {x}})\leq f(x)\leq f({\tilde {x}})$ erfüllt ist.

Oder kurz (unter Einbeziehung des Zwischenwertsatzes): Für jede stetige Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ existieren Argumente ${\tilde {x}},{\hat {x}}\in [a,b]$ mit $f([a,b])=[f({\hat {x}}),f({\tilde {x}})]$ .

Beweis

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ eine stetige Funktion mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$. Zunächst werden wir beweisen, dass $f$ nach oben beschränkt ist und sein Maximum annimmt. Auf analoge Art und Weise kann die Beschränktheit nach unten und die Annahme des Minimums als Funktionswert gezeigt werden.

Hierzu betrachten wir das Bild $f([a,b])$. Dies ist die Menge aller Funktionswerte, die $f$ annimmt. Nun nehmen wir das Supremum $\sup f([a,b])$ der Menge $f([a,b])$, wobei wir das uneigentliche Supremum $\sup f([a,b])=\infty$ explizit erlauben. Wenn $f$ nach oben unbeschränkt ist, dann ist $\sup f([a,b])=\infty$ und ansonsten ist $\sup([a,b])\in \mathbb {R}$ (weil $f([a,b])\neq \emptyset$ ist, kann der Fall $\sup \emptyset =-\infty$ nicht auftreten).

Nun wissen wir, dass es eine Folge in $f([a,b])$ gibt, die gegen $\sup f([a,b])$ konvergiert, denn für jede nicht leere Menge $M$ gibt es eine Folge aus $M$, die gegen $\sup M$ konvergiert. Damit gibt es eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ von Argumenten aus $[a,b]$ mit $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=\sup f([a,b])$.

Nun können wir den Satz von Bolzano-Weierstraß anwenden. Dieser besagt, dass jede Folge aus einem Intervall der Form $[a,b]$ mit $a,b\in \mathbb {R}$ und $a<b$ eine konvergente Teilfolge besitzt. Damit besitzt auch $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Teilfolge $\left(x_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$. Sei ${\tilde {x}}$ der Grenzwert der konvergenten Teilfolge $\left(x_{n_{k}}\right)_{k\in \mathbb {N} }$. Wegen $a\leq x_{n_{k}}\leq b$ für alle $k\in \mathbb {N}$ ist auch $a\leq {\tilde {x}}\leq b$ und damit ${\tilde {x}}\in [a,b]$. Also ist ${\tilde {x}}$ ein Argument der Funktion $f$. Weil die Funktion $f$ stetig ist, gilt nach dem Folgenkriterium der Stetigkeit

$f\left({\tilde {x}}\right)=f\left(\lim _{k\to \infty }x_{n_{k}}\right)=\lim _{k\to \infty }f\left(x_{n_{k}}\right)=\sup f([a,b])$

$\sup f([a,b])$ ist ein Funktionswert von $f$ und damit eine reelle Zahl. Dies zeigt, dass $f$ nach oben beschränkt ist. Außerdem haben wir gezeigt, dass $f$ den Wert $\sup f([a,b])$ an der Stelle ${\tilde {x}}$ annimmt. Damit ist $f(x)\leq f({\tilde {x}})$ für alle $x\in [a,b]$ und somit $f({\tilde {x}})$ das Maximum aller Funktionswerte von $f$.

Bemerkung

Dieser Satz ist ein reiner Existenzsatz. Er ist nicht konstruktiv. Das heißt, er liefert kein Verfahren, die Extremalstellen tatsächlich zu bestimmen. Bei differenzierbaren Funktionen können die Methoden der Kurvendiskussion genutzt werden, um die Extrema einer Funktion zu bestimmen.

Verallgemeinerung

Der gleiche Satz gilt auf jedem quasikompakten topologischen Raum.

Quellen und Hintergrundliteratur

• Otto Forster: Analysis 2 (= Grundkurs Mathematik). 8., aktualisierte Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-9541-7. 
• Horst Schubert: Topologie. Eine Einführung (= Mathematische Leitfäden). 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.  MR0423277

Weblinks

• 

  Wikibooks: Mathe für Nicht-Freaks: Satz vom Minimum und Maximum – Lern- und Lehrmaterialien