„Mittlere absolute Abweichung vom Median“ – Versionsunterschied

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Die mittlere absolute Abweichung vom Median ist ein Streuungsmaß in der deskriptiven Statistik und gibt an, wie weit eine Stichprobe im Durchschnitt vom Median abweicht.

Definition

Gegeben sei eine Stichprobe

x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})

mit $n$ Elementen. Es sei ${\tilde {x}}$ der Median der Stichprobe. Dann heißt

{\tilde {d}}_{0{,}5}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-{\tilde {x}}|

die mittlere absolute Abweichung vom Median.^[1]. Ebenso findet sich die Notation als $\operatorname {MAD}$ .^[2]

Beispiel

Gegeben sei die Stichprobe

x=(10;9;13;15;16)

,

es ist also $n=5$ . Als sortierte Stichprobe erhält man

x_{\text{sort}}=(9,10,13,15,16)

,

somit ist der Median

{\tilde {x}}=13

.

Daraus folgt

{\begin{aligned}{\tilde {d}}_{0{,}5}&={\frac {1}{5}}\left(|10-13|+|9-13|+|13-13|+|15-13|+|16-13|\right)\\&={\frac {1}{5}}\left(|-3|+|-4|+0+|2|+|3|\right)\\&={\frac {1}{5}}(3+4+2+3)\\&={\frac {12}{5}}=2{,}4\end{aligned}}

Insbesondere unterscheidet sich die mittlere absolute Abweichung vom Median beinahe immer von der mittleren absoluten Abweichung vom arithmetischen Mittel. Diese liefert bei der selben Stichprobe den Wert

d_{\overline {x}}=2{,}48

,

siehe dieses Beispiel.

Eigenschaften

Betrachtet man die mittlere absolute Abweichung von einem beliebigen Wert $m$ , also

A(m)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-m|

,

so ist $A(m)$ genau dann minimal, wenn $m$ der Median ist.^[3] Ein analoges Resultat gilt auch für die mittlere quadratische Abweichung von einem Wert $m$ : sie wird genau dann minimal, wenn $m$ das arithmetische Mittel ist. In diesem Sinne ist die mittlere absolute Abweichung ein natürliches Streumaß um den Median, ebenso wie die mittlere quadratische Abweichung ein natürliches Streumaß um das arithmetische Mittel ist.

Einzelnachweise

↑ Helge Toutenburg, Christian Heumann: Deskriptive Statistik. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77787-8, S. 74, doi:10.1007/978-3-540-77788-5.
↑ Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.
↑ Ehrhard Behrends: Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0, S. 275, doi:10.1007/978-3-8348-2331-1.

[Toutenburg74-1] Helge Toutenburg, Christian Heumann: Deskriptive Statistik. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-77787-8, S. 74, doi:10.1007/978-3-540-77788-5.

[Cleff55-2] Thomas Cleff: Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse. Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA. 3., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer Gabler, Wiesbaden 2015, ISBN 978-3-8349-4747-5, doi:10.1007/978-3-8349-4748-2.

[Behrends275-3] Ehrhard Behrends: Elementare Stochastik. Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-8348-1939-0, S. 275, doi:10.1007/978-3-8348-2331-1.

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+Die '''mittlere absolute Abweichung vom Median''' ist ein [[Streuung (Statistik)|Streuungsmaß]] in der [[Deskriptive Statistik|deskriptiven Statistik]] und gibt an, wie weit eine [[Stichprobe]] im Durchschnitt vom [[Median]] abweicht.
+== Definition ==
-behrends 275 Cleff 255 Toutenburg 74
+Gegeben sei eine Stichprobe
+:<math> x=(x_1, x_2, \dots, x_n ) </math>
+mit <math> n </math> Elementen. Es sei <math> \tilde x </math> der [[Median]] der Stichprobe. Dann heißt
+:<math> \tilde{d}_{0{,}5}=\frac 1n \sum_{i=1}^n |x_i- \tilde x| </math>
+die mittlere absolute Abweichung vom Median.<ref name="Toutenburg74" />. Ebenso findet sich die Notation als <math> \operatorname{MAD} </math>.<ref name="Cleff55" />
+== Beispiel ==
+Gegeben sei die Stichprobe
+:<math> x=( 10;   9;  13;   15;   16 )</math>,
+es ist also <math> n=5 </math>. Als sortierte Stichprobe erhält man
+:<math> x_\text{sort}=(9,10,13,15,16) </math>,
+somit ist der Median
+:<math> \tilde x = 13 </math>.
+Daraus folgt
+:<math> \begin{align} \tilde{d}_{0{,}5} &= \frac 15 \left( |10-13| + |9-13|+|13-13|+|15-13|+|16-13|\right)\\
+ &= \frac 15 \left( |-3| + |-4|+ 0 + |2|+|3|\right) \\
+ &= \frac 15 (3+4+2+3)\\
+ &= \frac {12}{5} = 2{,}4 \end{align} </math>
+Insbesondere unterscheidet sich die mittlere absolute Abweichung vom Median beinahe immer von der [[Mittlere absolute Abweichung vom arithmetischen Mittel|mittleren absoluten Abweichung vom arithmetischen Mittel]]. Diese liefert bei der selben Stichprobe den Wert
+:<math>  d_{\overline x}= 2{,}48 </math>,
+siehe [[Mittlere_absolute_Abweichung_vom_arithmetischen_Mittel#Beispiel|dieses Beispiel]].
+== Eigenschaften ==
+Betrachtet man die mittlere absolute Abweichung von einem beliebigen Wert <math> m </math>, also
+:<math> A(m)=  \frac 1n \sum_{i=1}^n |x_i-m| </math>,
+so ist <math> A(m) </math> genau dann minimal, wenn <math> m </math> der Median ist.<ref name="Behrends275" /> Ein analoges Resultat gilt auch für die mittlere quadratische Abweichung von einem Wert <math> m </math>: sie wird genau dann minimal, wenn <math> m </math> das [[arithmetisches Mittel|arithmetische Mittel]] ist. In diesem Sinne ist die mittlere absolute Abweichung ein natürliches Streumaß um den Median, ebenso wie die mittlere quadratische Abweichung ein natürliches Streumaß um das arithmetische Mittel ist.
+== Einzelnachweise ==
+<references>
+<ref name="Cleff55" >{{Literatur |Autor=Thomas Cleff |Titel=Deskriptive Statistik und Explorative Datenanalyse |TitelErg=Eine computergestützte Einführung mit Excel, SPSS und STATA |Auflage=3., überarbeitete und erweiterte |Verlag=Springer Gabler |Ort=Wiesbaden |Datum=2015 |ISBN=978-3-8349-4747-5 |DOI=10.1007/978-3-8349-4748-2}} </ref>
+<ref name="Toutenburg74" >{{Literatur |Autor=Helge Toutenburg, Christian Heumann |Titel=Deskriptive Statistik |Auflage=6. |Verlag=Springer-Verlag |Ort=Berlin/Heidelberg |Datum=2008 |ISBN=978-3-540-77787-8 |Seiten=74|DOI=10.1007/978-3-540-77788-5}}</ref>
+<ref name="Behrends275" > {{Literatur|Autor=Ehrhard Behrends|Titel=Elementare Stochastik|TitelErg=Ein Lernbuch – von Studierenden mitentwickelt|Verlag=Springer Spektrum|Ort=Wiesbaden|Datum=2013|ISBN=978-3-8348-1939-0|Seiten=275|DOI=10.1007/978-3-8348-2331-1}} </ref>
+</references>

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