Triangulierung offener Mengen in ℝn

Als Triangulierung offener Mengen in $\mathbb {R} ^{n}$ werden Zerlegungen von Gebieten bezeichnet. Dabei werden Triangulierungen weiter klassifiziert und sind vor allem in den Numerischen Brechung (wie zum Beispiel Finite Elemente Methode) wichtig.

Zulässige Triangulierung

Eine zulässige Triangulierung wird folgendermassen Definiert:
Eine Triangulierung ${\mathcal {T}}=\left\{{\mathit {T}}_{1},{\mathit {T}}_{2},...,{\mathit {T}}_{M}\right\}$ heisst zulässig fals gilt:

1. Besteht der Durchschnitt ${\mathit {T}}_{i}\cap {\mathit {T}}_{j}$ genau aus einem Punkt, so ist dieser Punkt ein Eckpunkt von ${\mathit {T}}_{i}$ und von ${\mathit {T}}_{j}$
2. Besteht der Durchschnitt ${\mathit {T}}_{i}\cap {\mathit {T}}_{j}$ für $i\neq j$ aus mehr als einem Punkt, so ist ${\mathit {T}}_{i}\cap {\mathit {T}}_{j}$ eine Kante von ${\mathit {T}}_{i}$ und ${\mathit {T}}_{j}$.

Alternativ gibt es auch folgende Definition:
Eine Zerlegung ${\mathcal {T}}=\left\{{\mathit {T}}_{1},{\mathit {T}}_{2},...,{\mathit {T}}_{M}\right\}$ des Gebiets $\Omega$ heisst zulässig wenn folgendes erfüllt ist:

1. ${\overline {\Omega }}=\bigcup _{i=1}^{M}{\mathit {T}}_{i}$
2. Besteht der Durchschnitt ${\mathit {T}}_{i}\cap {\mathit {T}}_{j}$ genau aus einem Punkt, so ist dieser Punkt ein Eckpunkt von ${\mathit {T}}_{i}$ und von ${\mathit {T}}_{j}$
3. Besteht der Durchschnitt ${\mathit {T}}_{i}\cap {\mathit {T}}_{j}$ für $i\neq j$ aus mehr als einem Punkt, so ist ${\mathit {T}}_{i}\cap {\mathit {T}}_{j}$ eine Kante von ${\mathit {T}}_{i}$ und ${\mathit {T}}_{j}$.

Dabei ist ${\overline {\Omega }}$ der Abschluss von $\Omega$ und $\textstyle \bigcup _{i=1}^{M}{\mathit {T}}_{i}$ die Vereinigung der Elemente ${\mathit {T}}_{i}$ von $i=1$ bis $M$ ist.

Quasiuniforme Triangulierung

Die Familie von Triangulerungen ${\mathcal {T}}_{h}$ heisst quasiuniform, wenn es eine Zahl $\mathrm {K} >0$ gibt so dass jedes ${\mathit {T}}\in {\mathcal {T}}_{h}$ gilt $\mathrm {K} \geq {\tfrac {h_{T}}{\rho _{T}}}$. Dabei sind $h_{T}$ der halbe Durchmessers von ${\mathit {T}}$ und $\rho _{T}$ der Innendurchmesser des Elements ${\mathit {T}}$. ${\mathcal {T}}_{h}$ darf höchstens eine Durchmesser $2h$ haben (wobei $h$ die Gitterweite ist).

Uniforme Triangulierung

Die Familie von Triangulerungen ${\mathcal {T}}_{h}$ heisst uniform, wenn es eine Zahl $\mathrm {K} >0$ gibt so dass jedes ${\mathit {T}}\in {\mathcal {T}}_{h}$ gilt $\mathrm {K} \geq {\tfrac {h}{\rho _{T}}}$. ${\mathcal {T}}_{h}$ darf höchstens eine Durchmesser $2h$ haben.