Membrangleichung (Statik)

Die Membrangleichung beschreibt statisch eine Membran als Partielle Differentialgleichung.

Herleitung

Eine Last $p$ wirkt auf eine Membran, die vollständig Biegsam ist. Die dadurch entstandene Krümmung wird von einer Membranzugkraft $H$ aufgenommen. Teilt man diese Membran in zwei senkrechte Streifen in x-Richtung und in y-Richtung, und unter der Annahme das die Druchbiegung $w$ klein ist, lassen sich folgende Beziehungen aufstellen:

$H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}=-p_{x}$

und

$H{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}=-p_{y}$

Dabei sind ${\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial x^{2}}}$ und ${\frac {\partial ^{2}\cdot }{\partial y^{2}}}$ die zweiten Ableitungen in x- und y-Richtung. $p_{x}$ und $p_{y}$, sind die Anteile der Last $p$ in x- und y-Richtung.

Mit der Gleichgewichtsbedingung $p=p_{x}+p_{y}$ erhält man nun die Membrangleichung:

$\Delta w={\frac {p}{H}}$

wobei $\Delta$ der Laplaceoperator ist.

Als Randbedingung nimmt man $w=0$ an. Dass heisst der Rand ist gestützt und erfährt keine Durchbiegung.

Das Problem stellt damit eine Poissongleichung dar.

Anwendung

Eine Anwendung mit der Membrananalogie der Torsion hat Ludwig Prandtl 1903 veröffentlichte und sie mit der Saint-Venantsche Torsion verknüpft.