Krümmung

Krümmung ist ein Begriff aus der Mathematik, der in seiner einfachsten Bedeutung die Abweichung einer Kurve von einer Geraden bezeichnet. Der gleiche Begriff steht auch für das Krümmungsmaß, welches für jeden Punkt der Kurve quantitativ angibt, wie stark diese Abweichung ist.

Aufbauend auf dem Krümmungsbegriff für Kurven lässt sich die Krümmung einer Fläche im dreidimensionalen Raum beschreiben, indem man die Krümmung von Kurven in dieser Fläche untersucht. Ein gewisser Teil der Krümmungsinformation einer Fläche, die Gaußsche Krümmung, hängt nur von der inneren Geometrie der Fläche ab, d. h. von der ersten Fundamentalform (bzw. dem metrischem Tensor), die festlegt, wie die Bogenlänge von Kurven berechnet wird. Dieser intrinsische Krümmungsbegriff lässt sich verallgemeinern auf Mannigfaltigkeiten beliebiger Dimension mit einem metrischen Tensor. Auf solchen Mannigfaltigkeiten ist der Paralleltransport längs Kurven erklärt und die Krümmungsgrößen geben an, wie groß die Richtungsänderung von Vektoren beim Paralleltransport längs geschlossener Kurven nach einem Umlauf ist. Eine Anwendung ist die Allgemeine Relativitätstheorie, welche Gravitation als eine Krümmung der Raumzeit beschreibt. Noch allgemeiner lässt sich dieser Begriff auf Hauptfaserbündel mit Zusammenhang übertragen. Diese finden Anwendung in der Eichtheorie, in welcher die Krümmungsgrößen die Stärke der fundamentalen Wechselwirkungen (z. B. des elektromagnetischen Feldes) beschreiben.

Krümmung einer Kurve

Unter der Krümmung einer Kurve versteht man in der Geometrie die Richtungsänderung beim Durchlaufen der Kurven.

Die Krümmung einer Geraden ist überall gleich null, weil sich ihre Richtung nicht ändert. Ein Kreis(bogen) mit dem Radius r hat überall gleiche Krümmung (nämlich $\tfrac 1r$), denn seine Richtung ändert sich überall gleich stark. Bei allen andersformigen Kurven in der Ebene wechselt die Krümmung von Kurvenpunkt zu Kurvenpunkt.

Definitionen

$\vec{r}(s)\in \R^p$ sei der Ortsvektor eines Punktes auf der Kurve als Funktion der Bogenlänge s. Die Krümmung ${\kappa\,}$ der Kurve ist dann definiert als

$\kappa = \left|\frac{\mathrm{d}^2\vec{r}}{\mathrm{d}s^2}\right| .$

Die Krümmung ist also durch die Norm der Ableitung des Einheitstangentenvektors $\vec t=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}s}$ nach der Bogenlänge gegeben und gibt damit an, wie schnell sich beim Durchlaufen der Kurve die Tangentenrichtung in Abhängigkeit von der Bogenlänge ändert. Die Krümmung in einem Punkt der Kurve ist unabhängig von der gewählten Parametrisierung nach der Bogenlänge.

Für ebene Kurven kann man die Krümmung mit Vorzeichen bezüglicher einer Orientierung der Ebene definieren. Dazu sei $\vec n(s)$ der Einheitsnormalenvektor, so dass die geordnete Basis $(\vec t(s),\vec n(s))$ positiv orientiert ist. Die Krümmung mit Vorzeichen ist dann durch die Gleichung

$\frac{\mathrm{d}\vec{t}}{\mathrm{d}s} = \kappa \vec n$

definiert. Damit ist das Vorzeichen der Krümmung abhängig vom Durchlaufsinn der gewählten Parametrisierung nach der Bogenlänge.

Eigenschaften

Ist die Krümmung ungleich null, dann bezeichnet man den Kehrwert der Krümmung einer ebenen Kurve als Krümmungsradius; dies ist der Radius des Kreises (Krümmungskreis), der in einer Umgebung des Berührpunkts die beste Näherung darstellt, d. h. der eindeutig bestimmte Kreis, dessen Kontaktordnung mit der Kurve im Berührungspunkt $\geq 2$ ist. Die Krümmung in einem Punkt ist genau dann gleich null, wenn dort die Kontaktordnung mit der Tangente $\geq 2$ ist.

Die Krümmung einer Raumkurve ist wie die Windung eine bewegungsinvariante Größe, die den lokalen Verlauf einer Kurve beschreibt. Beide Größen kommen als Koeffizienten in den frenetschen Formeln vor.

Für eine Kurve in der orientierten Ebene ist die Krümmung mit Vorzeichen

$\kappa = \frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}s},$

wobei $\varphi\in\R$ der Winkel des Tangentenvektors zu einer festen Richtung ist und wachsend im positiven Drehsinn gemessen wird. In einer Linkskurve ist κ positiv und in einer Rechtskurve negativ.

Schränkt man die Parametrisierung einer ebenen Kurve in der Umgebung eines Kurvenpunktes p so ein, dass sie injektiv ist, dann kann man jedem Kurvenpunkt $q=\vec r(s)$ eindeutig den Normalenvektor $\vec n(s)$ zuordnen. Diese Zuordnung kann man als Abbildung von der Kurve in den Einheitskreis auffassen, indem man den Normalenvektor an den Ursprung des Koordinatensystems anheftet. Zu einem Kurvenstück der Länge Δs, das den Punkt p enthält, gehört dann ein Kurvenstück auf dem Einheitskreis der Länge $\Delta\tilde s$. Für die Krümmung im Punkt p gilt dann

$\kappa = \lim_{\Delta s\rightarrow 0}\frac{\Delta\tilde s}{\Delta s}.$

Diese Idee kann auf Flächen im Raum übertragen werden, indem man ein Einheitsnormalenvektorfeld auf der Fläche als Abbildung in die Einheitskugel auffasst. Diese Abbildung bezeichnet man als Gauß-Abbildung. Betrachtet man das Verhältnis von Flächeninhalten anstelle der Bogenlängen und versieht dabei das Flächenstück in der Einheitskugel mit einem Vorzeichen, abhängig davon, ob die Gauß-Abbildung die Orientierung bewahrt oder umkehrt, dann liefert das die ursprüngliche Definition der Gaußschen Krümmung durch Gauß.

Berechnung der Krümmung für parametrisierte Kurven

Die oben gegebene Definition setzt eine Parametrisierung der Kurve nach der Bogenlänge voraus. Durch Umparametrisierung erhält man daraus eine Formel für beliebige reguläre Parametrisierungen $t\mapsto\vec r(t)\in\R^p$. Fasst man die ersten beiden Ableitungen von $\vec r$ als Spalten einer Matrix $A(t)=(\vec r'(t),\vec r''(t))$ zusammen, dann lautet die Formel

$\kappa = \frac{\sqrt{\det(A^T\cdot A)}}{|\vec r'|^3}$.

Für ebene Kurven ist A(t) eine quadratische Matrix und die Formel vereinfacht sich mit Hilfe der Produktregel für Determinanten zu

$\kappa = \frac{|\det A|}{|\vec r'|^3}$.

Ist die Ebene durch den $\R^2$ mit der Standardorientierung gegeben, dann erhält man die Formel für die Krümmung mit Vorzeichen durch Weglassen der Betragsstriche im Zähler.

Ebene Kurven

Ist die Parametrisierung durch die Komponentenfunktionen x und y gegeben, dann liefert die Formel für die Krümmung mit Vorzeichen im Punkt $\vec r(t)=(x(t),y(t))$ den Ausdruck

$\kappa(t) = \frac{\dot x(t) \ddot y(t) - \ddot x(t) \dot y(t)}{\big(\dot x(t)^2 + \dot y(t)^2\big)^{3/2}}$.

(Die Punkte bezeichnen dabei Ableitungen nach t.)

Das liefert die folgenden Spezialfälle:

Fall 1

Die Kurve ist der Graph einer Funktion f. Die Krümmung im Punkt $\vec r(x)=\left(x,f(x)\right)$ ergibt sich aus

$\kappa(x) = \frac{f''(x)}{\left(1 + f'(x)^2\right)^{3/2}}$.

Fall 2

Die Kurve ist in Polarkoordinaten gegeben, also durch eine Gleichung $r = f(\varphi)$. In diesem Fall erhält man für die Krümmung im Punkt $\vec r(\varphi)=f(\varphi)\cdot(\cos\varphi,\sin\varphi)$ die Formel

$\kappa(\varphi) = \frac{(f(\varphi))^2 + 2 (f'(\varphi))^2 - f(\varphi) f''(\varphi)} {\left[(f(\varphi))^2 + (f'(\varphi))^2\right]^{3/2}}$.

Ist die Kurve als Nullstellenmenge f ^{− 1}(0) einer Funktion $f:\R^2\to\R,\;(x,y)\mapsto f(x,y)$ mit regulärem Wert $0\in\R$ gegeben, dann berechnet sich die Krümmung mit der Formel

$\kappa=\frac{|f_y^2f_{xx}-2f_xf_yf_{xy}+f_x^2f_{yy}|}{(f_x^2+f_y^2)^{3/2}}.$

Dabei bezeichnet z. B. f_x die partielle Ableitung von f nach dem ersten Argument.

Raumkurven

Für Kurvem im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^3$ kann man die allgemeine Formel mit Hilfe des Kreuzproduktes folgendermaßen ausdrücken:

$\kappa(t) = \frac{|\vec{r}\,'(t) \times \vec{r}\,''(t)|}{|\vec{r}\,'(t)|^3}$

Krümmung einer Fläche

→ Hauptartikel: Gaußsche Krümmung und Mittlere Krümmung

Einer gewölbten regulären Fläche merkt man ihre Krümmung an einer nach außen quadratisch zunehmenden Abweichung der Fläche von ihrer Tangentialebene an. Eine verstärkte Krümmung macht sich dann als stärkere Abweichung von der Ebene bemerkbar.

In der Differentialgeometrie betrachtet man an jedem Punkt p die Krümmungsradien der Schnittkurven mit den in p errichteten Normalebenen (d. h. die Fläche senkrecht schneidenden Ebenen). Dabei wird den Krümmungsradien und Krümmungen das Vorzeichen bezüglich der durch den Tangentialvektor der parametrisierten Kurve und dem Normalenvektor der Fläche in dieser Reihenfolge festgelegten Orientierung zugeordnet. Unter diesen Krümmungsradien gibt es einen maximalen (R₁) und einen minimalen (R₂). Die Kehrwerte $k_1 = \tfrac1{R_1}$ und $k_2 = \tfrac1{R_2}$ werden als Hauptkrümmungen bezeichnet. Die entsprechenden Krümmungsrichtungen stehen senkrecht aufeinander.

Die gaußsche Krümmung K und die mittlere Krümmung H einer regulären Flache in einem Punkt p berechnen sich wie folgt:

$K = \frac{1}{R_1} \cdot \frac{1}{R_2} = k_{1} \cdot k_{2}$

$H = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right) = \frac{1}{2} (k_{1} + k_{2})$

Die Gesamtkrümmung oder auch totale Krümmung einer Fläche ist das Integral der gaußschen Krümmung über diese Fläche:

$C = \int K\, dA = \int k_{1} k_{2}\, dA$

Krümmung in der riemannschen Geometrie

→ Hauptartikel: Riemannscher Krümmungstensor und Schnittkrümmung

Da riemannsche Mannigfaltigkeiten im Allgemeinen in keinen Raum eingebettet sind, wird in diesem Teilgebiet der Differentialgeometrie eine Krümmungsgröße gebraucht, die unabhängig von einem umgebenden Raum ist. Dazu wurde der riemannsche Krümmungstensor eingeführt. Dieser misst, inwieweit die lokale Geometrie der Mannigfaltigkeit von den Gesetzen der euklidischen Geometrie abweicht. Aus dem Krümmungstensor werden weitere Krümmungsgrößen abgeleitet. Die wichtigste Krümmung der riemannschen Geometrie ist die Schnittkrümmung. Diese abgeleitete Größe enthält alle Informationen, die auch im riemannschen Krümmungstensor enthalten sind. Andere einfachere abgeleitete Größen sind die Ricci-Krümmung und die Skalarkrümmung.

Eine Krümmung auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit zeigt sich beispielsweise, wenn man das Verhältnis zwischen Kreisumfang und Radius innerhalb der Mannigfaltigkeit ermittelt und zu dem Wert 2π, den man in einem euklidischen Raum erhält, in Verhältnis setzt.

Bemerkenswert ist, dass man zum Beispiel auf der Oberfläche eines Torus eine Metrik definieren kann, die keine Krümmung aufweist. Dies lässt sich aus der Tatsache ableiten, dass man einen Torus als Quotientenraum aus einer ebenen Fläche bilden kann.

Anwendung in der Relativitätstheorie

→ Hauptartikel: Raumkrümmung

In der allgemeinen Relativitätstheorie wird die Gravitation durch eine Krümmung der Raum-Zeit beschrieben, die von den Massen der Himmelskörper verursacht wird. Körper und Lichtstrahlen bewegen sich auf den durch diese Krümmung bestimmten geodätischen Bahnen. Diese Bahnen erwecken den Anschein, dass eine Kraft auf die entsprechenden Körper ausgeübt werde.

Literatur

• Wolfgang Walter: Analysis II. Springer, 1991, 2. Auflage, ISBN 3-540-54566-2, S. 171-174
• Konrad Köngisberger: Analysis 1. 2-te Auflage, Springer, 1992, ISBN 3-540-55116-6, S. 238-41, 257
• Ilja Nikolajewitsch Bronstein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch, 7. Auflage 2008, ISBN 9783817120079, S. 251ff (eingeschränkte Online-Version in der Google Buchsuche)
• Matthias Richter: Grundwissen Mathematik für Ingenieure. Vieweg+Teubner 2001, 2. Auflage 2008, ISBN 9783834807298, S. 230 (eingeschränkte Online-Version in der Google Buchsuche)
• A. Albert Klaf: Calculus Refresher. Dover 1956, ISBN 9780486203706, S. 151-168 (eingeschränkte Online-Version in der Google Buchsuche-USA)
• James Casey: Exploring Curvature. Vieweg+Teubner, 1996. ISBN 9783528064754

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Curvature. In: MathWorld. (englisch)
• Curvature in der Encyclopaedia of Mathematics
• The History of Curvature (englisch)
• Curvature, Intrinsic and Extrinsic auf MathPages.com (englisch)