Lorentz-Kovarianz

Die Lorentz-Kovarianz ist eine Eigenschaft der zugrunde liegenden Mannigfaltigkeit eines Systems, die im Rahmen der Relativitätstheorie untersucht wird.

Definition

Unter Lorentz-Kovarianz versteht man zwei verschiedene, aber eng miteinander verbundene, Bedeutungen:

• Eine physikalische Größe heißt Lorentz-Kovariant, wenn sie sich unter einer gegebenen Darstellung der Lorentz-Gruppe transformiert. Nach der Darstellungstheorie der Lorentz-Gruppe sind diese Größen aus Skalaren, Vierervektoren, Vierertensoren und Spinoren aufgebaut. Insbesondere nennen wir einen Lorentz-kovarianten Skalar, der auch unter Lorentz-Transformationen invariant ist, Lorentz-Skalar.

• Eine Gleichung wird als Lorentz-Kovariant bezeichnet, wenn sie in Lorentz-kovarianten Größen ausgedrückt werden kann. Die Schlüsseleigenschaft solcher Gleichungen ist, dass, wenn sie in einem Inertialsystem gültig sind, sie in einem beliebigen Inertialsystem gültig sind. Dies folgt aus dem Ergebnis, dass wenn alle Komponenten eines Tensors in einem Inertialsystem verschwinden, sie in jedem Inertialsystem verschwinden. Diese Bedingung ist eine Voraussetzung nach dem Relativitätsprinzip.

Kovariante Größen

Skalare

• Die Eigenzeit ist ein Lorentz-Skalar: $\mathrm {d} \tau ^{2}={\frac {\mathrm {d} s^{2}}{c^{2}}}$.

Vierervektoren

• Der Viererort $x^{\alpha }$ ist ein Lorentz-kovarianter Vierervektor: $x^{\alpha }=(ct,x,y,z)$.
• Die Vierergeschwindigkeit $u^{\mu }$ ist auch ein kovarianter Vierervektor: $u^{\mu }={\frac {\mathrm {d} x^{\mu }}{\mathrm {d} \tau }}$.
• Der Vierergradient $\partial ^{\alpha }$ ist ein Lorentz-kovarianter Vierervektor: $\partial ^{\alpha }=\left(-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right).$
• Das Viererpotential der Eektrodynamik ist ein kovarianter-Vierervektor: $A^{\mu }=\left({\frac {\phi }{c}},{\vec {A}}\right)$.

Vierertensoren

Neben Viererskalaren und Vierervektoren gibt es auch Lorentz-kovariante Vierertensoren. Beispiele dafür sind:

• Die Minkowskimetrik (die Metrik eines flachen Raumes): $\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$.
• Der Feldstärketensor der Elektrodynamik: $F_{\mu \nu }:=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }$.
• Der Duale Feldstärketensor der Elektrodynamik: ${\hat {F}}^{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\mu \nu }$.

Kovariante Gleichungen

• Bereits vor der Formulierung der Speziellen Relativitätstheorie durch Albert Einstein im Jahr 1905 hat der Physiker H. A. Lorentz mit dem Mathematiker H. Pointcare die Kovarianz der Maxwell-Gleichungen (unter Lorentz-Transformationen) gezeigt. Denn die vier Maxwell-Gleichungen lassen sich mit dem Feldstärketensor durch $$\partial _{\mu }F^{\mu \nu }=j^{\nu }\qquad \partial _{\mu }{\hat {F}}^{\mu \nu }=0$$formulieren. Wir nennen die Maxwellgleichungen kovariant, da sich sowohl die linke als auch die rechte Seite auf die gleiche Weise transformieren.
• Die Newtonschen Bewegungsgleichungen und die gesamte klassische Mechanik sind kovariant bezüglich der Gruppe der Galilei-Transformationen.
• Die Einsteinschen Feldgleichungen der Gravitation sind kovariant unter beliebigen (nichtlinearen glatten) Koordinatentransformationen.