Filtrierung (Mathematik)

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Definition

Eine (aufsteigende) Filtrierung ${\mathcal {F}}$ einer algebraischen Struktur $S$ ist eine Familie $(S_{i})_{i\in I}$ von Subobjekten, $I$ eine total geordnete Indexmenge, sodass

wenn $i\leq j$ in $I$, dann ist $S_{i}\subset S_{j}$.

Es gibt auch den Begriff der absteigenden Filtrierung, das heißt $S_{i}\supset S_{j}$ für $i\leq j$.

Manchmal werden auch noch andere Eigenschaften gefordert, wie beispielsweise bei der Filtrierung einer Algebra, siehe Filtrierung und Algebra.

Filtrierungen in verschiedenen algebraischen Strukturen

Gruppen

Eine absteigende Filtrierung einer Gruppe $G$ besteht aus Untergruppen ${\textstyle F^{i}G}$ für alle $i\in \mathbb {Z}$, sodass ${\textstyle F^{i+1}G\subset F^{i}G}$ für alle $i$. Die Filtrierung heißt erschöpfend, falls ${\textstyle G=\cup _{i\in \mathbb {Z} }F^{i}G}$ und Hausdorff oder separat, wenn ${\textstyle \cap _{i\in \mathbb {Z} }F^{i}G=0}$. Sie ist nach oben beschränkt, wenn es ein $i\in \mathbb {Z}$ gibt mit ${\textstyle F^{i}G=G}$ und sie ist ist nach unten beschränkt, wenn es ein $i\in \mathbb {Z}$ gibt mit ${\textstyle F^{i}G=0}$

Algebra

Eine aufsteigende Filtrierung einer Algebra $A$ über einem Körper $K$ ist eine aufsteigende Sequenz

$\{0\}\subseteq F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{i}\subseteq \cdots \subseteq A$ von Untermoduln von $A$, sodass

$A=\bigcup _{i\in \mathbb {N} }F_{i}$,

und die mit der Multiplikation kompatibel ist:

$\forall m,n\in \mathbb {N} ,\qquad F_{m}\cdot F_{n}\subseteq F_{n+m}$.

Literatur

• John Michael Boardman, M.D.: Homotopy Invariant Algebraic Structures, AMS SpecialsSession: A Conference in Honor of Mike Boardman (Contemporary Mathematics). American Mathematical Soc.]. 
• John McCleary: A User's Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9