Satz von Clement

Der Satz von Clement ist ein von dem Mathematiker Paul Arnold Clement im Jahre 1949 vorgelegter Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie, der sich mit der Untersuchung von charakteristischen Teilbarkeitseigenschaften bei Primzahlzwillingen befasst. Er ist verwandt mit dem Satz von Wilson und wie dieser mit elementaren Methoden beweisbar, wobei sich sogar zeigt, dass der Clement'sche Satz eine Verallgemeinerung gestattet, welche den Wilson'schen Satz miteinschließt.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich folgendermaßen angeben:

Für eine gegebene natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ ist das Paar $(n,n+2)$ genau dann ein Primzahlzwilling, wenn die zugehörige natürliche Zahl ${4\cdot {\bigl (}(n-1)!+1{\bigr )}}+n$ durch $n\cdot (n+2)$ teilbar ist.

Beispiele

1. $(n_{1},n_{1}+2)=(3,5)$ ist ein Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{1}-1)!+1{\bigr )}}+n_{1}=15$ von $n_{1}\cdot (n_{1}+2)=15$ geteilt wird.
2. $(n_{2},n_{2}+2)=(5,7)$ ist ein Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{2}-1)!+1{\bigr )}}+n_{2}=105$ von $n_{2}\cdot (n_{2}+2)=35$ geteilt wird.
3. $(n_{3},n_{3}+2)=(7,9)$ ist KEIN Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{3}-1)!+1{\bigr )}}+n_{3}=2.891$ von $n_{3}\cdot (n_{3}+2)=63$ NICHT geteilt wird.
4. $(n_{4},n_{4}+2)=(9,11)$ ist KEIN Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{4}-1)!+1{\bigr )}}+n_{4}=161.293$ von $n_{4}\cdot (n_{4}+2)=99$ NICHT geteilt wird.
5. $(n_{5},n_{5}+2)=(11,13)$ ist ein Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{5}-1)!+1{\bigr )}}+n_{5}=14.515.215$ von $n_{5}\cdot (n_{5}+2)=143$ geteilt wird.
6. $(n_{6},n_{6}+2)=(13,15)$ ist KEIN Primzahlzwilling, da ${4\cdot {\bigl (}(n_{6}-1)!+1{\bigr )}}+n_{6}=1.916.006.417$ von $n_{6}\cdot (n_{6}+2)=195$ NICHT geteilt wird.

Literatur

• P. A. Clement: Congruences for sets of primes. In: American Mathematical Monthly. Band 56, 1949, S. 23–25 (MR0027771). 
• Valeriu Popa: On a generalization of Clement's theorem. In: Studii şi Cercetări Matematice. Band 24, 1972, S. 1435–1440 (MR0354518). 
• Wacław Sierpiński: Elementary Theory of Numbers. Edited and with a preface by Andrzej Schinzel (= North-Holland Mathematical Library. Band 31). 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. North-Holland (u.a.), Amsterdam (u. a.) 1988, ISBN 0-444-86662-0 (MR0930670). 
• Rebecca Waldecker, Lasse Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger: Zahlentheorie–Algorithmik–Kryptographie. 2. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-11216-5, doi:10.1007/978-3-658-11217-2.