Weierstraßscher Doppelreihensatz

Der weierstraßsche Doppelreihensatz ist ein Resultat aus der Funktionentheorie des Mathematikers Karl Weierstraß. Er beschäftigt sich mit der Frage, wann die Summe unendlich vieler Potenzreihen konvergiert und wenn, welchen Wert sie annimmt.

Formulierung

Wir betrachten eine Folge von Potenzreihen

$$f_{k}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{kn}(z-z_{0})^{n},\ \ k\in \mathbb {N} _{0},\ \ a_{n},z_{0}\in \mathbb {C}$$

mit Konvergenzradius $B_{r}(z_{0}),\ \ r>0$. Ist nun die Reihe

$$\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }|a_{kn}|(|z_{0}|+r)^{n}$$

konvergent, so ist auch $f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }f_{k}(z)$ in $B_{r}(z_{0})$ konvergent und es gilt

$$f(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}(z-z_{0})^{k},$$

wobei $A_{k}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{kn}$.