Konvergenzradius

Der Konvergenzradius ist in der Analysis eine Eigenschaft einer Potenzreihe der Form

$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n$.

Der Konvergenzradius ist als das Supremum aller Zahlen $\rho \geq 0$ definiert, für welche die Potenzreihe für alle $x$ mit $|x-x_0|< \rho$ konvergiert:

$r:=\sup \left\{ |x-x_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}\ \text{ist konvergent}\right.\right\}$

Falls die Potenzreihe für alle reellen Zahlen bzw. auf der ganzen komplexen Zahlenebene konvergiert, sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich: $r = \infty$.

Wird eine reelle Potenzreihe betrachtet, deren Koeffizienten $a_n$ reelle Zahlen sind, und sind auch $x,~x_0$ reell, so ist der Konvergenzbereich nach Auflösung der Betragsungleichung das Intervall $(x_0-r,~x_0+r)$ sowie möglicherweise einer der oder beide Randpunkte. Für Potenzreihen im Komplexen, das heißt, alle diese Größen können komplexe Zahlen sein, besteht der Konvergenzbereich dieser Funktionenreihe aus dem Inneren der Kreisscheibe um den Mittelpunkt $x_0$ und mit Radius $r$, dem Konvergenzkreis, sowie möglicherweise aus einigen seiner Randpunkten.

Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen: Es gilt

$r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.$

Dabei gilt $r = 0$, falls der Limes superior im Nenner gleich $+\infty$ ist, und $r = +\infty$, falls er gleich $0$ ist.

Wenn ab einem bestimmten Index alle $a_n$ von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch

$r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|$

berechnet werden. Diese Formel ist aber nicht immer anwendbar, zum Beispiel bei der Koeffizientenfolge $a_{2n}=1,~a_{2n+1}=1/n$: Die zugehörige Reihe hat den Konvergenzradius 1, aber der angegebene Limes existiert nicht. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist dagegen immer anwendbar.

Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

• Ist $|x-x_0|<r$, so ist die Potenzreihe absolut konvergent.
• Ist $|x-x_0|>r$, so ist die Potenzreihe divergent.
• Ist $|x-x_0|=r$, so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Situationen hilft aber der Abelsche Grenzwertsatz.
• Ist $|x-x_0|\leq r^{\prime}<r$, so konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig für alle x mit $|x-x_0|\leq r^{\prime}$. Auf einem inneren Kreis oder Teilintervall liegt also auch immer eine gleichmäßige Konvergenz vor.

Beispiele für unterschiedliches Randverhalten

Die folgenden drei Beispiele haben jeweils Konvergenzradius 1:

• $\sum_{n=0}^\infty x^n$ konvergiert an keinem der Randpunkte.
• $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2}$ konvergiert im Reellen an beiden Randpunkten.
• $\sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n}$ konvergiert im Reellen nicht am „oberen“ Randpunkt (harmonische Reihe), wohl aber am „unteren“ Randpunkt (alternierende harmonische Reihe).

Herleitung

Die Formeln für den Konvergenzradius lassen sich aus den Konvergenzkriterien für Reihen herleiten.

Wurzelkriterium

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt sich aus dem Wurzelkriterium. Nach diesem Kriterium konvergiert die Potenzreihe

$\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left(x-x_0\right)^n,$

absolut wenn

$\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\sqrt[n]{\left| a_n\left(x-x_0\right)^n \right|} = \left|x-x_0\right|\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\sqrt[n]{|a_n|}<1.$

Auflösen nach $\left|x-x_0\right|$ liefert den Konvergenzradius

$\left|x-x_{0}\right|<\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\sqrt[n]{|a_{n}|}}=\liminf_{n\rightarrow\infty}\,|a_{n}|^{-1/n}=r.$

Quotientenkriterium

Sofern fast alle $a_n$ ungleich Null sind, konvergiert die Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left( x-x_0 \right)^n$ nach dem Quotientenkriterium, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:

$\begin{align} &\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}\left(x-x_0\right)^{n+1}}{a_n\left(x-x_0\right)^n} \right|\\ &=\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\left(x-x_0\right) \right|\\ &=\left|x-x_0\right|\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|<1. \end{align}$

Auflösen nach $\left|x-x_0\right|$ liefert:

$\left|x-x_{0}\right|<\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\liminf_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=:r.$

Die Potenzreihe konvergiert also für $\left|x-x_0\right|<r$. Dies ist im Allgemeinen aber nicht der Konvergenzradius. Das liegt daran, dass das Quotientenkriterium im folgenden Sinne echt schwächer ist als das Wurzelkriterium: Ist

$\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| > 1$,

so kann im Allgemeinen nicht darauf geschlossen werden, dass die Reihe $\sum \limits_{n=0}^\infty {b_n}$ divergiert. Die Divergenz erhält man aber aus

$\underset{n\to\infty}{\mathop{\liminf}}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| > 1$.

Ähnlich wie oben schließt man also, dass die Potenzreihe $\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left( x-x_0 \right)^n$ für $\left|x-x_0\right|>R$ divergiert, wobei

$R := \frac{1}{\liminf_{n\to \infty} {\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}}$.

Man kann im Allgemeinen folglich nur aussagen, dass der Konvergenzradius zwischen $r$ und $R$ liegt.

Daraus folgt aber insbesondere: Aus der Existenz von $\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|$ folgt $r=R$ und in diesem besonderen Falle ist

$r=R=\frac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|} = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$

der gesuchte Konvergenzradius.

Literatur

• E. Freitag, R. Busam: Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin 1995, ISBN 3-540-58650-4.
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis - Teil 1, 6-te Auflage, Teubner 1989, ISBN 3-519-42221-2, S. 542-561
• Klaus Jänich: Funktionentheorie – eine Einführung. 6. Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2004, ISBN 3540203923.