Konvergenzradius

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Der Konvergenzradius ist in der Analysis eine Eigenschaft einer Potenzreihe der Form

f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n,

die angibt, in welchem Bereich der komplexen Ebene für die Potenzreihe absolute Konvergenz garantiert ist.

Definition[Bearbeiten]

Der Konvergenzradius ist als das Supremum aller Zahlen \rho \geq 0 definiert, für welche die Potenzreihe für alle x mit |x-x_0|< \rho konvergiert:

r:=\sup \left\{ |x-x_{0}|\ \left|\ \sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}\ \text{ist konvergent}\right.\right\}

Falls die Potenzreihe für alle reellen Zahlen bzw. auf der ganzen komplexen Zahlenebene konvergiert, sagt man, der Konvergenzradius ist unendlich: r = \infty.

Ist r der Konvergenzradius, dann zeigt sich, dass die Potenzreihe für alle x mit |x-x_0|> r divergiert.

Wird eine reelle Potenzreihe betrachtet, deren Koeffizienten a_n reelle Zahlen sind, und sind auch x,~x_0 reell, so ist der Konvergenzbereich nach Auflösung der Betragsungleichung das Intervall (x_0-r,~x_0+r) sowie möglicherweise einer der oder beide Randpunkte. Für Potenzreihen im Komplexen, das heißt, alle diese Größen können komplexe Zahlen sein, besteht der Konvergenzbereich dieser Funktionenreihe aus dem Inneren der Kreisscheibe um den Mittelpunkt x_0 und mit Radius r, dem Konvergenzkreis, sowie möglicherweise aus einigen seiner Randpunkte.

Bestimmung des Konvergenzradius[Bearbeiten]

Der Konvergenzradius lässt sich mit der Formel von Cauchy-Hadamard berechnen: Es gilt

r=\frac{1}{\limsup\limits_{n\rightarrow\infty}\left(\sqrt[n]{|a_n|}\right)}.

Dabei gilt r = 0, falls der Limes superior im Nenner gleich +\infty ist, und r = +\infty, falls er gleich 0 ist.

Wenn ab einem bestimmten Index alle a_n von 0 verschieden sind und der folgende Limes existiert, dann kann der Konvergenzradius einfacher durch

r=\lim_{n\rightarrow\infty} \bigg| \frac{a_{n}}{a_{n+1}} \bigg|

berechnet werden. Diese Formel ist aber nicht immer anwendbar, zum Beispiel bei der Koeffizientenfolge a_{2n}=1,~a_{2n+1}=1/n: Die zugehörige Reihe hat den Konvergenzradius 1, aber der angegebene Limes existiert nicht. Die Formel von Cauchy-Hadamard ist dagegen immer anwendbar.

Folgerungen aus dem Konvergenzradius:

  • Ist |x-x_0|<r, so ist die Potenzreihe absolut konvergent.
  • Ist |x-x_0|>r, so ist die Potenzreihe divergent.
  • Ist |x-x_0|=r, so kann keine allgemeine Aussage getroffen werden, in manchen Situationen hilft aber der Abelsche Grenzwertsatz.
  • Ist |x-x_0|\leq r^{\prime}<r, so konvergiert die Potenzreihe gleichmäßig für alle x mit |x-x_0|\leq r^{\prime}. Auf einem inneren Kreis oder Teilintervall liegt also auch immer eine gleichmäßige Konvergenz vor.

Beispiele für unterschiedliches Randverhalten[Bearbeiten]

Die folgenden drei Beispiele haben jeweils Konvergenzradius 1:

  • \sum_{n=0}^\infty x^n konvergiert an keinem der Randpunkte.
  • \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n^2} konvergiert im Reellen an beiden Randpunkten.
  • \sum_{n=1}^\infty\frac{x^n}{n} konvergiert im Reellen nicht am „oberen“ Randpunkt (harmonische Reihe), wohl aber am „unteren“ Randpunkt (alternierende harmonische Reihe).

Einfluss des Entwicklungspunktes auf den Konvergenzradius[Bearbeiten]

Die drei Konvergenzkreise der Funktion f(z) in Abhängigkeit vom Entwicklungspunkt. Sie schneiden sich im Punkt z'=2i da hier die Funktion f eine Singularität besitzt

Der Entwicklungspunkt  z_0 einer Potenzreihe hat einen direkten Einfluss auf die Koeffizientenfolge  (a_n)_{n \in \N} und damit auch auf den Konvergenzradius. Betrachtet man beispielsweise die Analytische Funktion

f(z)=\frac{1}{2i-z}

in ihrer Potenzreihendarstellung

f(z)=\frac{1}{2i} \cdot \frac{1}{1-(\frac{z}{2i})}=\frac{1}{2i} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z}{2i}\right)^n.

Diese Umformungen folgen direkt mittels der geometrischen Reihe. Diese Darstellung entspricht der Potenzreihe um den Entwicklungspunkt z_0=0 und mit dem Wurzelkriterium folgt für den Konvergenzradius r_0=2.

Wählt man dagegen z_1=2 als Entwicklungspunkt, so folgt mit einigen algebraischen Umformungen

f(z)=\frac{1}{-(z-2)-2+2i}=-\frac{1}{2i-2} \cdot \frac{1}{1-(\frac{z-2}{2i-2})}=\frac{1}{2i-2} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-2}{2i-2}\right)^n.

Auch hier folgt mittels des Wurzelkriteriums der Konvergenzradius r_1=\sqrt{8}.

Ein dritter Entwicklungspunkt z_2=3i liefert mit analogem Vorgehen

f(z)=\frac{1}{-(z-3i)-3i+2i}=\frac{1}{-i} \cdot \frac{1}{1-(\frac{z-3i}{i})}=\frac{1}{-i} \cdot \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{z-3i}{i}\right)^n

als Potenzreihendarstellung mit dem Konvergenzradius r_2=1. Zeichnet man diese drei Konvergenzradien um ihre Entwicklungspunkte, so schneiden sie sich alle im Punkt z'=2i da hier die Funktion f eine Singularität besitzt und nicht definiert ist. Anschaulich dehnt sich also der Konvergenzkreis um einen Entwicklungspunkt aus, bis er an eine nicht definierte Stelle der Funktion stößt.

Herleitung[Bearbeiten]

Die Formeln für den Konvergenzradius lassen sich aus den Konvergenzkriterien für Reihen herleiten.

Wurzelkriterium[Bearbeiten]

Die Formel von Cauchy-Hadamard ergibt sich aus dem Wurzelkriterium. Nach diesem Kriterium konvergiert die Potenzreihe

\sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left(x-x_0\right)^n,

absolut wenn

\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\sqrt[n]{\left| a_n\left(x-x_0\right)^n \right|} = \left|x-x_0\right|\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim \sup }}\,\sqrt[n]{|a_n|}<1.

Auflösen nach \left|x-x_0\right| liefert den Konvergenzradius

\left|x-x_{0}\right|<\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\sqrt[n]{|a_{n}|}}=\liminf_{n\rightarrow\infty}\,|a_{n}|^{-1/n}=r.

Quotientenkriterium[Bearbeiten]

Sofern fast alle a_n ungleich Null sind, konvergiert die Potenzreihe \sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left( x-x_0 \right)^n nach dem Quotientenkriterium, wenn folgende Bedingung erfüllt ist:


  \limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}\left(x-x_0\right)^{n+1}}{a_n\left(x-x_0\right)^n} \right|
  =\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\left(x-x_0\right) \right|
  =\left|x-x_0\right|\limsup_{n\rightarrow\infty}\left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|<1.

Auflösen nach \left|x-x_0\right| liefert:

\left|x-x_{0}\right|<\frac{1}{\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|}=\liminf_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|=:r.

Die Potenzreihe konvergiert also für \left|x-x_0\right|<r. Dies ist im Allgemeinen aber nicht der Konvergenzradius. Das liegt daran, dass das Quotientenkriterium im folgenden Sinne echt schwächer ist als das Wurzelkriterium: Ist

\underset{n\to\infty}{\mathop{\lim\sup}}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| > 1,

so kann im Allgemeinen nicht darauf geschlossen werden, dass die Reihe \sum \limits_{n=0}^\infty {b_n} divergiert. Die Divergenz erhält man aber aus

\underset{n\to\infty}{\mathop{\liminf}}\left|\frac{b_{n+1}}{b_{n}}\right| > 1.

Ähnlich wie oben schließt man also, dass die Potenzreihe \sum\limits_{n=0}^{\infty }{a_n}\left( x-x_0 \right)^n für \left|x-x_0\right|>R divergiert, wobei

R := \frac{1}{\liminf_{n\to \infty} {\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|}}.

Man kann im Allgemeinen folglich nur aussagen, dass der Konvergenzradius zwischen r und R liegt.

Daraus folgt aber insbesondere: Aus der Existenz von \lim_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n| folgt r=R und in diesem besonderen Falle ist

r=R=\frac{1}{\lim\limits_{n \to \infty} |a_{n+1}/a_n|} = \lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|

der gesuchte Konvergenzradius.

Literatur[Bearbeiten]