„Variationsmethode (Quantenmechanik)“ – Versionsunterschied
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Die '''Variationsmethode''' ist in der [[Quantenmechanik]] ein [[Näherungsverfahren]], um eine obere Schranke für [[Eigenwert]]e einer quantenmechanischen [[Observable]]n mit diskretem [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] zu finden. Eine Verallgemeinerung der Methode führt auf das [[Min-Max-Prinzip (Quantenmechanik)|Min-Max-Prinzip]]. |
Die '''Variationsmethode''' ist in der [[Quantenmechanik]] ein [[Näherungsverfahren]], um eine obere Schranke für [[Eigenwert]]e einer quantenmechanischen [[Observable]]n mit diskretem [[Spektrum (Operatortheorie)|Spektrum]] zu finden.<ref>{{Literatur |Autor=P. Gombás |Titel=Theorie und Lösungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik |Verlag=Birkhäuser Basel |Ort=Basel |Datum=1950 |ISBN=978-3-0348-6957-7 |DOI=10.1007/978-3-0348-6956-0 |Online=http://link.springer.com/10.1007/978-3-0348-6956-0 |Abruf=2023-01-24}}</ref> Eine Verallgemeinerung der Methode führt auf das [[Min-Max-Prinzip (Quantenmechanik)|Min-Max-Prinzip]]. |
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* ''Alberto Galindo, Pedro Pascual: Quantum Mechanics II. Kapitel 10.9; Springer, 1991'' |
* ''Alberto Galindo, Pedro Pascual: Quantum Mechanics II. Kapitel 10.9; Springer, 1991'' |
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* ''Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Kapitel 44; Spektrum, 2008'' |
* ''Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Kapitel 44; Spektrum, 2008'' |
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Version vom 24. Januar 2023, 17:21 Uhr
Die Variationsmethode ist in der Quantenmechanik ein Näherungsverfahren, um eine obere Schranke für Eigenwerte einer quantenmechanischen Observablen mit diskretem Spektrum zu finden.[1] Eine Verallgemeinerung der Methode führt auf das Min-Max-Prinzip.
Verfahren
Grundzustand
Das Verfahren basiert darauf, dass der Eigenwert des Grundzustands eine untere Schranke für den Erwartungswert der Messung der Observablen ist: Ist die Entartung eines Eigenwertes , so lässt sich ein beliebiger Zustand als
schreiben, wobei die ein vollständiges Orthonormalsystem bilden. Für den Erwartungswert des Zustands bei Messung einer Observablen mit Eigenwerten gilt dann
- .
Es lässt sich demnach eine obere Schranke für finden, wenn man für eine Schar von Zuständen den Erwartungswert berechnet und das Infimum sucht:
- .
Angeregte Zustände
Ist die Eigenfunktion zu einem (nicht entarteten) Grundzustand mit Eigenwert , so lässt sich für einen beliebigen Zustand schreiben
- ,
wo . Zerlegt man wie oben in Eigenzustände, erhält man unter der Nebenbedingung
- ,
da in der Summe der Wert fehlt.
Die Suche nach weiteren Eigenzuständen erfolgt analog, wobei dann unter Orthogonalität zu mehreren Teilräumen, die die niedrigeren Eigenwerte aufspannen, zu minimieren ist.
Literatur
- P. Gombás: Theorie und Lösungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik. Birkhäuser Basel, Basel 1950, ISBN 978-3-0348-6957-7, doi:10.1007/978-3-0348-6956-0.
- Alberto Galindo, Pedro Pascual: Quantum Mechanics II. Kapitel 10.9; Springer, 1991
- Torsten Fließbach: Quantenmechanik, Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. Kapitel 44; Spektrum, 2008
Einzelnachweise
- ↑ P. Gombás: Theorie und Lösungsmethoden des Mehrteilchenproblems der Wellenmechanik. Birkhäuser Basel, Basel 1950, ISBN 978-3-0348-6957-7, doi:10.1007/978-3-0348-6956-0 (springer.com [abgerufen am 24. Januar 2023]).