Bell-Zustand

Zusammenhang zwischen den beiden korrelierten Basen zweier Qubits im $|\Phi ^{-}\rangle$-Zustand

Bell-Zustände oder EPR-Paare sind bestimmte quantenmechanische Zustände, an denen zwei Teilchen beteiligt sind. Es gibt insgesamt vier Bell-Zustände. Bell-Zustände sind die einfachsten Beispiele für Quantenverschränkung. Bell-Zustände bestehen aus maximal verschränkten Teilchen. Maximale Verschränkung bedeutet, dass die Teilchen keinen eigenen Zustand haben. Es gibt aber einen Zusammenhang zwischen ihren Zuständen. Die Zustände der Teilchen werden im Folgenden durch Qubits beschrieben. Beide Qubits befinden sich in einer gleichmäßigen Superposition. Eine Messung an einem der beiden Qubits liefert mit einer Wahrscheinlichkeit von je 50% das Ergebnis $\left|0\right\rangle$ oder $\left|1\right\rangle$. Obwohl das Ergebnis dieser Messung zufällig ist, bestimmt es das Ergebnis einer zweiten Messung an dem anderen Qubit. Das Ergebnis der zweiten Messung hängt vom Ergebnis der ersten Messung ab und davon, in welchem Bell-Zustand das Paar ursprünglich war. Das No-Communication-Theorem zeigt, dass durch die erste Messung keine Information übertragen wird.

Bell-Zustände werden in der Quanteninformatik benutzt, zum Beispiel bei der Quantenteleportation. Bell-Zustände können auf mehr als zwei Qubits erweitert werden, zum Beispiel auf den GHZ-Zustand mit drei oder mehr Qubits.

Zustände

Bell-Basis

Die Bell-Basis bildet eine Orthonormalbasis des vierdimensionalen Hilbertraums der möglichen Zweiteilchen-Zustände. Wenn Teilchen A die Basiszustände $|0\rangle _{A}$ und $|1\rangle _{A}$ hat, und Teilchen B entsprechend, dann heißen die vier Bell-Zustände wie folgt:

$|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|1\rangle _{B})$

$|\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|0\rangle _{B}-|1\rangle _{A}|1\rangle _{B})$

$|\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}+|1\rangle _{A}|0\rangle _{B})$

$|\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|0\rangle _{A}|1\rangle _{B}-|1\rangle _{A}|0\rangle _{B}).$

Alle vier Bell-Zustände sind paarweise zueinander orthogonal. In jedem der Zustände zeigt sich die Verschränkung darin, dass jedes der Teilchen mit gleicher Wahrscheinlichkeit jeden der beiden Basiszustände besetzt, und dass trotzdem, nachdem das eine Teilchen in einem der Basiszustände nachgewiesen wurde, mit Sicherheit der Basiszustand feststeht, in dem sich das andere Teilchen befindet.

Beispiel Spin-½-Teilchen

Bei Spin-${\tfrac {1}{2}}$-Teilchen bezeichnet man die Basiszustände gewöhnlich mit $\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle$ und $\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle$, was an die beiden Möglichkeiten $m=\pm {\tfrac {1}{2}}$ der Orientierung des Spin längs einer gegebenen Achse erinnert. Der vierte Zustand der Bell-Basis ist dann der Singulett-Zustand, d. h. der Zustand zum Gesamtspin $S=0$:

$|\Psi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{B}-\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{B}).$

Entsprechend ist der dritte Zustand der Bell-Basis der Triplett-Zustand ($S=1$) mit der m-Quantenzahl $M=0$:

$|\Psi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{B}+\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{B}).$

Die ersten beiden Zustände der Bell-Basis sind Alignment-Zustände, d. h. zwei orthogonale Überlagerungen der Triplett-Zustände zu $M=\pm 1$

$|\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{B}+\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{B}).$

$|\Phi ^{-}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\uparrow }}\right\rangle _{B}-\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{A}\;\left|{\mathord {\downarrow }}\right\rangle _{B}).$

Bell-Operator

Ein Bell-Operator ist ein Operator, der die Messung bestimmter Korrelationen zwischen den Teilchen beschreibt. Einige seiner Eigenwerte – also der möglichen Messwerte – liegen außerhalb der Grenzen, die nach klassischen Vorstellungen von Raum, Zeit und Verursachung für solche Korrelationen bestehen müssen. Die oben definierten Bell-Zustände sind Eigenzustände zu einem von Clauser et al. eingeführten Bell-Operator, der (nach den Anfangsbuchstaben der Autorennamen) auch CHSH-Operator genannten wird.

Zur Konstruktion des CSCH-Operators geht man von einem 1-Teilchenoperator aus, der für die beiden Basiszustände die Eigenwerte $\pm 1$ hat. Ein anschauliches Beispiel für ein Photon ist etwa ein vertikaler bzw. horizontaler Polarisationsfilter. Man kann ihn durch ${\hat {o}}=|1\rangle \langle 1|-|0\rangle \langle 0|$ ausdrücken. Für jedes der beiden verschränkten Teilchen wird ein solcher Operator gebildet und mit ${\hat {a}}$ bzw. ${\hat {b}}$ bezeichnet. Zudem betrachtet man für jedes Teilchen eine zweite Basis $|0\rangle ',\;|1\rangle '$ mit entsprechenden Operatoren ${\hat {a}}',\;{\hat {b}}'$ (z. B. um einen Winkel gedrehte Polarisationsfilter). Ein Bell-Operator ist dann

${\hat {B}}={\hat {a}}({\hat {b}}+{\hat {b}}')+{\hat {a}}'({\hat {b}}-{\hat {b}}')$.

Nun wählt man die zweite Basis „komplementär“ zur ersten, d. h. zum Beispiel

$|0\rangle '={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|1\rangle -|0\rangle \right)$

$|1\rangle '={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(|1\rangle +|0\rangle \right)$,

(anstelle des Plus- bzw. Minuszeichens könnten auch komplexe Phasen $\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \alpha },\;-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \alpha }$ gewählt werden). Wenn die Basiszustände $|0\rangle ,\;|1\rangle$ parallel bzw. antiparallel zur z-Achse ausgerichtet sind, dann entspricht die komplementäre Basis $|0\rangle ',\;|1\rangle '$ ohne komplexe Phasenfaktoren einer Orientierung der Spins in x-Richtung, oder, mit Phasenfaktoren, in Richtung einer beliebigen anderen Achse in der x-y-Ebene.

Der CHSH-Operator hat den Eigenwert Null für die beiden Zustände $\Phi ^{\pm }$, und die Eigenwerte $\pm 2{\sqrt {2}}$ für die Zustände $\Psi ^{\pm }$. (Zur Berechnung mit Operatormethoden siehe , alternativ kann man das direkt ausrechnen, indem man die zweite Basis als Linearkombination der ersten ausdrückt.) Die beiden Extremwerte liegen außerhalb des Bereichs $[-2,\;+2]$, auf den nach klassischer Vorstellung (bzw. der Bellschen Ungleichung) die Messwerte der Korrelationen beschränkt bleiben müssen, die mit dem CSCH-Operator gemessen werden.

Maximale Verschränkung

Die Bell-Zustände sind maximal verschränkt, da auf ihnen alle Verschränkungsmaße den (im Hilbertraum $C^{2}\otimes C^{2}$) maximal möglichen Wert annehmen. Insbesondere hat die Verschränkungsentropie des Zustands den Maximalwert 1. Es kann auch deshalb keinen Zustand geben, der stärker verschränkt ist als ein Bell-Zustand, weil sich aus diesem durch lokale Quantenoperationen, die die Verschränkung nicht verstärken können, deterministisch jeder andere Zustand herstellen lässt.