Brahmasphutasiddhanta

Brahmasphutasiddhanta (Brāhmasphuṭasiddhānta: Sanskrit, ब्राह्मस्फुटसिद्धान्तः = „Vervollkommnung der Lehre Brahmas”) ist das bekannteste Werk des indischen Mathematikers Brahmagupta. Erstellt wurde das in Versform geschriebene Buch ungefähr im Jahr 628.

Das Buch besteht aus 24 Kapiteln, die vor allem der Astronomie gewidmet sind. Zwei Kapitel behandeln mathematische Themen und sind eine deutliche Weiterentwicklung der Mathematik, wie sie im Werk Aryabhatiya des Mathematikers Aryabhata dargelegt ist: In den 66 Versen von Kapitel 12 und den 101 Versen von Kapitel 18 werden arithmetische und algebraische Rechenmethoden ohne Beweise äußerst knapp beschreiben. Dabei handelt es sich um die älteste bekannte systematische Beschreibung der Eigenschaften der Null, der positiven und negativen Zahlen, wobei eine Vorstellung von Eigentum und Schuld zugrunde liegt:

„„[Die Summe] von zwei Positiven ist positiv, von zwei Negativen negativ; von einer Positiven und einer Negativen ist [die Summe] ihre Differenz; wenn sie gleich sind, ist sie null. Die Summe einer Negativen und null ist negativ, von einer Positiven und null positiv und von zwei Nullen null. [Wenn] eine kleinere Positive subtrahiert wird von einer größeren Positiven, [dann] ist [das Ergebnis] positiv; [wenn] eine kleinere Negative von einer größeren Negativen, [so] ist [das Ergebnis] negativ; … Das Produkt einer Negativen und einer Positiven ist negativ, von zwei Negativen positiv, von zwei Positiven positiv; das Produkt von null und einer Negativen, von null und einer Positiven oder von zwei Nullen ist null ...“

– Brahmagupta: Brāhmasphuṭasiddhānta, Kapitel XVIII, Verse 30 bis 33

Die Zulässigkeit negativer Zahlen verwendete Brahmagupta dazu, quadratische Gleichungen in allgemeiner Form ohne Fallunterscheidungen zu lösen. Konkret beschrieb er die Berechnung einer Lösung der quadratischen Gleichung, die man heute in der Form

$a{x}^{2}+bx=c$  mit $a,b,c\in \mathbb {R}$ und $a>0$

notiert, in verbaler Weise, d. h. ohne Formeln:

„Verringere mit der mittleren [Zahl] [gemeint: der Koeffizient der Unbekannten, also $b$] die Quadratwurzel des Absolutwertes multipliziert mit dem Vierfachen des Quadrats [gemeint: Koeffizient $a$ des Quadrats der Unbekannten] und erhöht um das Quadrat der mittleren Zahl; teile den Rest durch das doppelte des Quadrats [gemeint: Koeffizient $a$ des Quadrats der Unbekannten]. [Das Ergebnis] ist die mittlere [Zahl] [gemeint: die Unbekannte $x$]“

– Brahmagupta: Brāhmasphuṭasiddhānta, Kapitel XVIII, Vers 44

Das entspricht der Lösungsformel

$x={\frac {{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b}{2a}}\ .$

Die Werke Brahmaguptas und seiner Zeitgenossen, insbesondere betreffend Astronomie und die indisch-arabische Ziffernschreibweise, haben mittels Übersetzungen ins Arabische die Entwicklung der islamischen Mathematik maßgeblich beeinflusst, wobei dort allerdings die Verwendung negativer Zahlen nicht aufgegriffen wurde.

Literatur

• Kim Plofker: Mathematics in India. In: Victor J. Katz: A sourcebook in the mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam, Princeton 2007. S. 385–514. 
• Acharya Ramswarup Sharma, Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research (Hrsg.): The Brāhma-sphut a-siddhānta. New Dehli 1966 (archive.org – Vier Bände).