Möbius-Inversion

Die Möbiussche Umkehrformel geht auf August Ferdinand Möbius zurück und erlaubt es, eine zahlentheoretische Funktion aus ihrer summatorischen Funktion zu rekonstruieren.

Gegeben seien eine zahlentheoretische Funktion

$f:\mathbb {N} \to \mathbb {C}$

und ihre summatorische Funktion

$F:\mathbb {N} \to \mathbb {C} ,\quad F(n)=\sum _{d\mid n}f(d).$

Dann gilt für jede natürliche Zahl n

$f(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)F\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)F(d),$

wobei $\mu$ die Möbiusfunktion bezeichnet.

Literatur

G. Wüstholz: Algebra: Für Studierende der Mathematik, Physik, Informatik. Vieweg+Teubner, 2004, ISBN 978-3-528-07291-9.