Wannier-Darstellung

Dreidimensionales Modell der Wannier-Funktion von BaTiO₃.

Die nach dem schweizer Physiker Gregory Hugh Wannier benannte Wannier-Darstellung ist ein Begriff aus der Festkörperphysik. In der Tight-Binding-Näherung ist eine Beschreibung der elektronischen Wellenfunktionen in der gitterperiodischen Bloch-Basis nicht mehr sinnvoll. Eher konstruiert man die Zustandsfunktion aus atomaren Wellenfunktionen. Diese sind aber nicht orthonormiert. Es lässt sich jedoch eine Orthonormal-Basis lokalisierter Zustände aus den Bloch-Funktionen konstruieren.

$\omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{k}e^{-i{\vec {k}}{\vec {R}}_{i}}\psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}}).$

Dabei ist $\psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})$ eine Bloch-Funktion und $\omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i})$ der zugehörige Wannier-Zustand. Die umgekehrte Konstruktion der Bloch-Zustände aus den Wannier-Zuständen heißt dann

$\psi _{n{\vec {k}}}({\vec {r}})={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum _{{\vec {R}}_{i}}e^{i{\vec {k}}{\vec {R}}_{i}}\omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}).$

Je größer die Gitterkonstante ist, desto stärker sind die Wannierzustände lokalisiert. Sie nähern sich immer mehr an die atomaren Zustände an. Statt aber den Wannier-Zustand einfach einem atomaren Zustand gleichzusetzen, nähert man ihn durch eine Linearkombination von atomaren Zuständen (LCAO):

$\omega _{in}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i})=\sum _{n\in U}a_{n}\varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i}).$

Die Menge U stellt dabei einen Unterraum der atomaren Zustände $\varphi _{n}({\vec {r}}-{\vec {R}}_{i})$ dar.

Literatur

• Neil W. Ashcroft, N. David Mermin: Festkörperphysik. 2. Auflage. Oldenbourg, München 2005, ISBN 3-486-57720-4. 
• Konrad Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik. 6. Auflage. Teubner, Wiesbaden 2007, ISBN 3-8351-0144-7.