Wellenfunktion

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Die Wellenfunktion \psi\,\! beschreibt den quantenmechanischen Zustand eines Elementarteilchens oder eines Systems von Elementarteilchen im Ortsraum. Ihr Betragsquadrat bestimmt die Aufenthaltswahrscheinlichkeit des Teilchens. Nach der Kopenhagener Deutung der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion eine Beschreibung aller Informationen einer Entität oder eines ganzen Systems.

Eine Wellenfunktion ist die Funktion, die die Schrödingergleichung (im Ortsraum) löst. Lösungen dieser Wellengleichungen können sowohl gebundene Teilchen (wie Elektronen in den Schalen eines Atoms ) oder freie Teilchen (z. B. ein α- oder β-Teilchen als Wellenpaket) beschreiben. Die Wellenfunktion ist in der Regel eine komplexe Funktion.

Bei Teilchensystemen (z. B. mit mehreren gleichen Teilchen) bezeichnet man eine solche Lösung als Vielteilchen-Wellenfunktion. Wegen der Wechselwirkung der Teilchen untereinander lassen sich diese Lösungen jedoch meist nicht mehr ohne die modernere Methodik der Quantenfeldtheorie berechnen.

Quantenteilchen als Welle[Bearbeiten]

In der schrödingerschen Quantenmechanik ergeben sich Wellenfunktionen als Lösung der Schrödingergleichung. Eine Funktion muss, um eine Wellenfunktion der Schrödingergleichung zu sein, die Gleichung lösen.

Dass die Wellenfunktion nicht reell, sondern komplexwertig ist, spiegelt u. a. wider, dass \psi(\mathbf{r},t) nicht unbedingt eine reale physikalische Bedeutung zukommt. Sie ist in der Regel nicht messbar, sondern dient nur der mathematischen Beschreibung des quantenmechanischen Zustands eines physikalischen Systems. Aus ihr lässt sich jedoch das zu erwartende Ergebnis einer Messung durch komplexe Konjugation berechnen. Dass die Wellenfunktion komplex ist, folgt wiederum aus der Schrödingergleichung, denn diese ist im komplexen Raum definiert. Daher benötigt sie zur allgemeinen Lösung in der Regel eine Funktion, deren Funktionswerte im komplexen Raum liegen.

Zum Vergleich: auch die elektrische Feldstärke \mathbf{\Epsilon}(\mathbf{r},t) einer Radiowelle ist die Lösung einer (klassischen) elektrodynamischen Wellengleichung. Diese elektrische Feldstärke ist jedoch z. B. durch eine Antenne und einen Radioempfänger messbar.

Teilchen mit inneren Eigenschaften (wie zum Beispiel dem Spin eines gebundenen Elektrons oder dem Drehimpuls eines Photons) werden durch Wellenfunktionen mit mehreren Komponenten beschrieben. Je nach dem Transformationsverhalten der Wellenfunktionen bei Lorentztransformationen unterscheidet man in der relativistischen Quantenfeldtheorie skalare, tensorielle und spinorielle Wellenfunktionen bzw. Felder.

Normierungsbedingung und Aufenthaltswahrscheinlichkeit[Bearbeiten]

Im Unterschied zur Klassischen Physik ist eine exakte Aussage über den Aufenthaltsort \mathbf{r} eines Teilchens im Allgemeinen nicht möglich (Heisenbergsche Unschärferelation). Wenn das Quantenteilchen existiert, muss es sich jedoch zu jeder Zeit irgendwo aufhalten. Seine Wellenfunktion muss deshalb die räumliche Normierungsbedingung

 \int_{\text{Raum}}^{} \psi\left(\mathbf{r}\right)\psi^*\left(\mathbf{r}\right)\, \mathrm dV=1

erfüllen (\psi^*\left(\mathbf{r}\right) ist die komplex konjugierte Funktion zu \psi\left(\mathbf{r}\right)).

Dies führt zur differentiellen Wahrscheinlichkeit \mathrm dP, das Teilchen am Ort \mathbf{r}=(x, y, z) im Volumenelement \mathrm dV\, =\, \mathrm dx\, \mathrm dy\, \mathrm dz anzutreffen: \mathrm dP(x, y, z)=\psi\psi^*\, \mathrm dV.

Für eine normierte Wellenfunktion gibt das Betragsquadrat |\psi|^2\left(\mathbf{r},t\right)=\psi\left(\mathbf{r},t\right)\psi^*\left(\mathbf{r},t\right) also die Wahrscheinlichkeitsdichte für den Aufenthalt am Ort \mathbf{r} zur Zeit t an. Für Teilchen-Wellenfunktionen im Ortsraum ergibt die Integration der Wahrscheinlichkeitsdichte über einen Ortsbereich (ein Intervall im Raum) die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen (z. B. Elektron) in diesem Raumbereich zu finden.

Einfache Wellenfunktion[Bearbeiten]

Wellenfunktion[Bearbeiten]

Die Wellenfunktion \psi\left(\mathbf{r},t\right) eines quantenmechanischen freien Teilchens kann z. B. die Form einer ebenen Welle mit einem (mathematisch) reellen und einem (mathematisch) imaginären Teil besitzen:

\psi(\mathbf{r},t) = A_0 \cos\left(\omega t - \mathbf{k}\mathbf{r} \right) = A_R\cos\left(\omega t - \mathbf{k}\mathbf{r} \right) + i A_I\cos\left(\omega t - \mathbf{k}\mathbf{r} \right) ,

wobei

Messung[Bearbeiten]

Die Wellenfunktion multipliziert mit ihrer komplexen Konjugation \psi^*\left(\mathbf{r},t\right) ergibt das Betragsquadrat der Wellenfunktion: |\psi|^2\left(\mathbf{r},t\right) = \psi\left(\mathbf{r},t\right)\psi^*\left(\mathbf{r},t\right). Diese Funktion gibt die differentielle Aufenthaltswahrscheinlichkeit p(\mathbf{r},t) des Teilchens als Funktion des Ortes und der Zeit an:

p(\mathbf{r},t) \approx  \psi(\mathbf{r},t)\psi^*(\mathbf{r},t) = A_0A_0^*\cos^2\left(\omega t - \mathbf{k}\mathbf{r} \right) = (A_R^2+A_I^2)\cos^2\left(\omega t - \mathbf{k}\mathbf{r} \right)

Das Betragsquadrat der Wellenfunktion beschreibt in diesem Fall jedoch nicht direkt die Wahrscheinlichtkeit, ein Teilchen im Ortsraum anzutreffen, da die Funktion |\psi|^2 nicht normiert ist.

Normierung[Bearbeiten]

Die Aufenthaltswahrscheinlichkeit p \left(\mathbf{r},t \right) muss über den Ortsraum integriert 1 ergeben. Dadurch kann sie so interpretiert werden, dass im gesamten Raum genau ein Teilchen zu finden ist. Dazu berechnet man das Integral über |\psi|^2\left(\mathbf{r},t\right) und teilt die Wellenfunktion durch die Wurzel dieses Integrals, um sie zu normieren. Aus der normierten Wellenfunktion erhält man damit die korrekte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion.

p\left(\mathbf{r},t\right) = \frac{ |\psi|^2 \left( \mathbf{r},t \right) }{ \int_\text{Raum}|\psi|^2\left(\mathbf{r},t\right) dV }

Das Integral über eine ebene Welle ist jedoch nicht definiert. Aus diesem Grund multipliziert man die Wellenfunktion \psi\left(\mathbf{r},t\right) mit einer einhüllenden Funktion (z. B. einer Gaussfunktion). Die entstehende Funktion kann ein berechenbares endliches Integral haben. Zudem kann sie für alle anderen Anwendungen praktisch gleiche Eigenschaften wie \psi haben. In diesem Fall spricht man von einem Wellenpaket.

Definition[Bearbeiten]

Eine Wellenfunktion bezieht sich auf jeden Vektor oder jede Funktion, die den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt, indem sie es als Entwicklung nach anderen Zuständen desselben Systems darstellt.

Typische Wellenfunktionen sind entweder:

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix},
\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix},
  • oder eine komplexwertige Funktion einer oder mehrerer stetig veränderlicher reeller Variablen:
\psi(x_1, \, \ldots \, x_n).

In allen Fällen liefert die Wellenfunktion eine vollständige Beschreibung des betreffenden physikalischen Systems. Es ist allerdings wichtig anzumerken, dass eine einem bestimmten System zugeordnete Wellenfunktion das System nicht eindeutig bestimmt; vielmehr können viele verschiedene Wellenfunktionen das gleiche physikalische System beschreiben.

Teilcheninterpretation[Bearbeiten]

Die physikalische Interpretation einer Wellenfunktion ist kontextabhängig. Mehrere Beispiele werden unten angeführt, gefolgt von einer Interpretation der oben beschriebenen drei Fälle.

Ein Teilchen in einer Raumdimension[Bearbeiten]

Die Wellenfunktion eines Teilchens im eindimensionalen Raum ist eine komplexe Funktion \psi(x)\, über der Menge der reellen Zahlen. Das Betragsquadrat der Wellenfunktion, |\psi|^2\,, wird als Wahrscheinlichkeitsdichte der Teilchenposition interpretiert.

Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Intervall [a, b] zu finden, ist folglich

\int_{a}^{b} |\psi(x)|^2\, \mathrm dx \quad .

Dies führt zu der Normierungsbedingung

 \int_{-\infty}^{\infty} |\psi(x)|^2\, \mathrm dx \,\stackrel{!}{=}\, 1 \quad

da eine Messung der Teilchenposition eine reelle Zahl ergeben muss. Das heißt: Die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen an irgendeinem Ort zu finden, ist gleich 1.

Ein Teilchen in drei Raumdimensionen[Bearbeiten]

Der dreidimensionale Fall ist analog zum Eindimensionalen; Die Wellenfunktion ist eine komplexe Funktion \psi(x, y, z)\, definiert über dem dreidimensionalen Raum, und ihr Betragsquadrat wird als dreidimensionale Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, bei einer Messung das Teilchen im Volumen R zu finden, ist deshalb

\int_R |\psi(x, y, z)|^2\, \mathrm dV.

Die Normierungsbedingung ist analog zum eindimensionalen Fall

 \int |\psi(x, y, z)|^2\, \mathrm dV = 1

wobei das Integral sich über den gesamten Raum erstreckt.

Zwei unterscheidbare Teilchen in drei Raumdimensionen[Bearbeiten]

In diesem Fall ist die Wellenfunktion eine komplexe Funktion von sechs Raumvariablen,

\psi(x_1, y_1, z_1, x_2, y_2, z_2)\,,

und |\psi|^2\, ist die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Positionen beider Teilchen. Die Wahrscheinlichkeit einer Positionsmessung beider Teilchen in den beiden jeweiligen Regionen R und S ist dann

\int_R \int_S |\psi|^2 \, \mathrm dV_2\,\mathrm dV_1

wobei \mathrm dV_1 = \mathrm dx_1 \mathrm dy_1 \mathrm dz_1 und ebenso für \mathrm dV_2. Die Normierungsbedingung ist deshalb

\int |\psi|^2 \, \mathrm dV_2\,\mathrm dV_1 = 1,

wobei das vorgestellte Integral über den gesamten Bereich aller sechs Variablen reicht.

Dabei ist von entscheidender Bedeutung, dass im Fall von Zwei-Teilchen-Systemen nur das System, das aus beiden Teilchen besteht, eine wohldefinierte Wellenfunktion haben muss. Daraus ergibt sich, dass es unmöglich sein kann, eine Wahrscheinlichkeitsdichte für Teilchen EINS zu definieren, welche nicht ausdrücklich von der Position von Teilchen ZWEI abhängt. Die Moderne Physik nennt dieses Phänomen Quantenverschränkung bzw. Quanten-Nichtlokalität.

Ein Teilchen im eindimensionalen Impulsraum[Bearbeiten]

Die Wellenfunktion eines eindimensionalen Teilchens im Impulsraum ist eine komplexe Funktion \psi(p)\, definiert auf der Menge der reellen Zahlen. Die Größe |\psi|^2\, wird als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Impulsraum interpretiert. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Impulsmessung einen Wert im Intervall [a, b] ergibt, ist folglich

\int_{a}^{b} |\psi(p)|^2\, \mathrm dp\quad .

Dies führt zur Normierungsbedingung

\int_{-\infty}^{\infty} |\psi(p)|^2\, \mathrm dp = 1 ,

weil eine Messung des Teilchenimpulses immer eine reelle Zahl ergibt.

Spin 1/2- Teilchen (z. B. Elektron)[Bearbeiten]

Die Wellenfunktion eines Teilchens mit Spin 1/2 (ohne Berücksichtigung seiner räumlichen Freiheitsgrade) ist ein Spalten-Vektor

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ c_2 \end{bmatrix}.

Die Bedeutung der Komponenten des Vektors hängt von der verwendeten Basis ab, typischerweise entsprechen c_1 und c_2 den Koeffizienten für eine Ausrichtung des Spins in z-Richtung (spin up) und entgegen der z-Richtung (spin down). In der Dirac-Notation ist dies:

| \psi \rangle = c_1 | \uparrow_z \rangle + c_2 | \downarrow_z \rangle

Die Werte |c_1|^2 \, und |c_2|^2 \, werden dann als die Wahrscheinlichkeiten interpretiert, dass der Spin bei einer Messung in z-Richtung oder entgegen der z-Richtung orientiert ist.

Dies führt zur Normierungsbedingung

|c_1|^2 + |c_2|^2 = 1\,.

Grundsätzliche Interpretation der Vektor-Darstellung[Bearbeiten]

Wellenfunktionen lassen sich als Elemente eines Vektorraums auffassen (Hilbertraum). Eine Wellenfunktion, die den Zustand eines physikalischen Systems beschreibt, kann durch Linearkombination von anderen Zuständen desselben Systems beschrieben werden. Wir bezeichnen den Zustand des betrachteten Systems als | \psi \rangle\, und die Zustände, in die es entwickelt wird, als | \phi_i \rangle. Die letzteren Zustände sollen eine Basis des Vektorraums darstellen. Im Folgenden werden alle Wellenfunktionen als normiert angenommen.

Endliche Vektoren[Bearbeiten]

Eine vektorielle Wellenfunktion \vec \psi mit n Komponenten beschreibt, wie man den Zustand des physikalischen Systems | \psi \rangle als lineare Kombination endlich vieler Grundelemente | \phi_i \rangle, welche i von 1 zu n laufen, ausdrückt. Insbesondere ist die Gleichung

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix},

welche eine Relation zwischen Spaltenvektoren ist, gleichwertig mit der Basiszerlegung

|\psi \rangle = \sum_{i = 1}^n c_i | \phi_i \rangle,

welche eine Relation zwischen den Zuständen eines physikalischen Systems ist. Zu beachten ist, dass man beim Wechsel zwischen diesen Ausdrücken die verwendete Basis kennen muss, und folglich zwei Spaltenvektoren mit den gleichen Komponenten zwei verschiedene Systemzustände repräsentieren, wenn die zugrundegelegten Basiszustände verschieden sind. Ein Beispiel einer endlichen, vektoriellen Wellenfunktion ist gegeben durch den Spinzustand eines Teilchens mit Spin 1/2, wie oben beschrieben.

Die physikalische Bedeutung der Komponenten von \vec \psi ist durch das Postulat des Zusammenbruchs der Wellenfunktion gegeben:

Wenn den Zuständen | \phi_i \rangle eindeutige, endliche Werte \lambda_i diskret-wertiger dynamischer Variablen entsprechen (z. B. Komponenten von Bahndrehimpuls \vec{\mathcal L}, Spindrehimpuls \vec{\mathcal S} und Gesamtdrehimpuls \vec{\mathcal J}:=\vec{\mathcal L}+\vec{\mathcal S}), und diese Variablen in einem System im Zustand |\psi \rangle = \sum_i c_i | \phi_i \rangle gemessen werden,
dann ist die Wahrscheinlichkeit, den Wert \lambda_k zu messen, gegeben durch |c_k|^2, und wenn die Messung den Wert \lambda_k ergibt, dann nimmt das System unmittelbar danach den Zustand | \phi_k \rangle an.

(Impuls- und Ortsvariable haben dagegen ein kontinuierliches Spektrum. Bei ihnen ist die Basiszerlegung durch ein Integral gegeben, das heißt, die obige Summendarstellung für |\psi\rangle ist durch ein Integral |\psi\rangle =\int {\rm d}\kappa\, c(\kappa )\,|\kappa\rangle zu ersetzen, und die Wahrscheinlichkeiten |c_k|^2 durch Ausdrücke der Form \mathrm d\kappa |c(\kappa ) |^2  .)

Unendliche Vektoren[Bearbeiten]

Der Fall unendlicher Vektoren mit diskretem Index wird genauso behandelt wie ein endlicher Vektor, mit der Ausnahme dass die Summe über alle (unendlich viele) Basiselemente ausgedehnt wird. Folglich ist

\vec \psi = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \\ \vdots \end{bmatrix}

äquivalent zu

|\psi \rangle = \sum_{i} c_i | \phi_i \rangle,

wobei in der obenstehenden Summe alle Komponenten von \vec \psi berücksichtigt sind. Die Interpretation der Komponenten ist die gleiche wie im endlichen Fall (der Messvorgang wird ebenso wie für Vektoren aus einem endlichdimensionalen Hilbertraum interpretiert: vergleiche Kollaps der Wellenfunktion).

Stetig indizierte Vektoren (Funktionen)[Bearbeiten]

Falls der Index nicht diskret, sondern stetig ist, wird die Summe durch ein Integral ersetzt; ein Beispiel dafür ist die örtliche Darstellung der Wellenfunktion eines Teilchens in einer Dimension, welche den (abstrakten) Zustand des Teilchens |\psi \rangle in einer speziellen Ortsbasis |x\rangle darstellt:

| \psi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x)\,| x \rangle\,\mathrm dx.

Dabei ist der Zustandsvektor |\psi\rangle nicht zu verwechseln mit seiner „Komponenten-Darstellung“ \psi(x)=\langle x|\psi\rangle im Ortsraum. Der erstere Ausdruck bezeichnet den Zustand des Teilchens abstrakt, und ohne Bezug auf eine spezielle Basisdarstellung, während der letztere die Wellenfunktion im Ortsraum bezeichnet, welche als Superposition der Basiszustände mit definierten Positionen interpretiert wird. Die Basiszustände können auch als Integral

|x\rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \,\delta(x - x')\, |x'\rangle\,\mathrm dx'

formuliert werden. Damit kann eine zu |x_0\rangle gehörende Wellenfunktion im Ortsraum auch als Delta-Distribution \delta(x-x_0) geschrieben werden. Man beachte, dass letztere jedoch nicht als gewöhnliche Wellenfunktion im Hilbertraum der quadratintegrablen Funktionen enthalten ist.

Formalismus[Bearbeiten]

Bei einem gegebenen isolierten physikalischen System sind die erlaubten Zustände (also die Zustände, die das System einnehmen kann, ohne die Gesetze der Physik zu verletzen) eine Teilmenge eines Vektorraums H, des Hilbert-Raums. Konkret ist diese Teilmenge die Menge aller Vektoren mit der Länge 1, also die Einheitskugel um den Ursprung. Dies folgt aus der Tatsache, dass alle physikalisch erlaubten Zustände normiert sind. Daraus folgt:

  • Wenn | \psi \rangle und | \phi \rangle zwei erlaubte Zustände sind, dann ist \alpha | \psi \rangle + \beta | \phi \rangle ebenfalls ein erlaubter Zustand genau dann wenn |\alpha|^2 + |\beta|^2 =1 gilt (Normierung).
  • Wegen der Normierung kann für den Vektorraum H stets eine Orthonormalbasis aus physikalisch erlaubten Zuständen gefunden werden.

In diesem Zusammenhang kann die Wellenfunktion eines bestimmten Zustands als Entwicklung des Zustandes auf einer Basis des Vektorraums H betrachtet werden. Zum Beispiel ist

\{ |\uparrow_z \rangle, |\downarrow_z \rangle \}

eine Basis des Raums, der ein Teilchen mit Spin 1/2 beschreibt, und daraus folgt, dass der Spinzustand eines solchen Teilchens durch

a|\uparrow_z \rangle + b|\downarrow_z \rangle eindeutig beschrieben wird.

Es ist üblich, H mit einem inneren Produkt (Skalarprodukt) zu versehen, wobei die Art des inneren Produkts von der verwendeten Basis abhängt. Wenn es abzählbar viele Basiselemente \{ | \phi_i \rangle \}\,, welche alle zu H gehören, gibt, dann ist H mit dem eindeutigen inneren Produkt, welches diese Basis orthonormal macht, versehen, z. B.:

\langle \phi_i | \phi_j \rangle = \delta_{ij}.

Wenn das geschehen ist, ist das innere Produkt von | \phi_i \rangle mit der Entwicklung eines beliebigen Vektors

\langle \phi_i | \sum_j c_j | \phi_j \rangle = c_i.

Der Koeffizient c_i der Entwicklung des Zustandes | \psi \rangle in die Basis \{ | \phi_i \rangle \}\, ergibt sich also durch Projektion auf den Basisvektor | \phi_i \rangle.

Wenn die Eigenwerte ein Kontinuum bilden, was zum Beispiel bei der Orts- oder Koordinaten-Basis der Fall ist, lässt sich aus den entsprechenden Eigenzuständen kein Hilbertraum aufbauen, da diese Eigenzustände nicht quadratintegrabel sind. Durch Verwendung der Dirac'schen Delta-Distribution lässt sich jedoch für diese Basiszustände eine verallgemeinerte Orthonormalisierungsbedingung formulieren. Derartige Basen werden auch als uneigentliche Basen bezeichnet. Ein Beispiel dafür ist die oben erwähnte Entwicklung der räumlichen Wellenfunktion eines Teilchens in Zustände \{ | x \rangle \} mit bestimmter Position x, mit der Dirac-Normalisierung

\langle x | x' \rangle = \delta(x - x')

so dass die analoge Identität

\langle x | \int \psi(x') | x' \rangle \,\mathrm dx' = \int \psi(x') \delta(x - x')\,\mathrm dx' = \psi(x)

erfüllt ist.

Siehe auch[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]