Jordan-Brouwer-Zerlegungssatz

Die Invarianzsätze von Brouwer sind Lehrsätze der Mathematik aus dem Teilgebiet der Topologie. Sie gehen auf den großen niederländischen Mathematiker Luitzen Egbertus Jan Brouwer zurück. Sie behandlen topologische Erhaltungseigenschaften des n-dimensionalen Euklidischen Raums.

Der Satz von der Invarianz offener Mengen

Sei   $U\,$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}\,$ und $f\colon \,U\to \mathbb {R} ^{n}\,$ eine injektive stetige Abbildung. Dann ist $f(U)\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$ ebenfalls eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}\,$ und $f\colon \,U\to f(U)\,$ sogar ein Homöomorphismus.

Der Satz von der Invarianz der Dimension

Sei   $\emptyset \neq U\,$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}\,$ und sei   $\emptyset \neq V\,$ eine offene Teilmenge des $\mathbb {R} ^{m}\,$ . Sind   $U\,$ und   $V\,$ homöomorph, so gilt $n=m\,$ .

Insbesondere sind für $n\neq m\,$   $\mathbb {R} ^{n}\,$ und   $\mathbb {R} ^{m}\,$ niemals homöomorph.

Der Zerlegungssatz

Die beiden obigen Invarianzsätze ergeben sich als Folgerungen aus dem sogenannten Zerlegungssatz, welcher ebenfalls Brouwer zugeschrieben wird:

Seien   $K\,$ und   $L\,$ homöomorphe kompakte Teilmengen des $\mathbb {R} ^{n}\,$ . Dann haben die Komplemente $\mathbb {R} ^{n}\setminus K$ und   $\mathbb {R} ^{n}\setminus L$ dieselbe Anzahl von Wegkomponenten.

Der Zerlegungssatz zieht noch weitere Sätze der Topologie des n-dimensionalen Euklidischen Raums nach sich wie etwa den Jordanschen Kurvensatz. Dies gibt einen Hinweis auf seine fundamentale Bedeutung .

Literatur

Originalarbeiten

• L. E. J. Brouwer: Beweis der Invarianz der Dimensionenzahl. In: Math. Ann. 70. Jahrgang, 1911, S. 161–165. 

• L. E. J. Brouwer: Über Abbildung von Mannigfaltigkeiten. In: Math. Ann. 71. Jahrgang, 1912, S. 97–115. 

• L. E. J. Brouwer: Beweis der Invarianz des n-dimensionalen Gebiets. In: Math. Ann. 71. Jahrgang, 1912, S. 305–313. 

• L. E. J. Brouwer: Beweis des Jordanschen Satzes für den n-dimensionalen Raum. In: Math. Ann. 71. Jahrgang, 1912, S. 314–319. 

• L. E. J. Brouwer: Zur Invarianz des n-dimensionalen Gebiets. In: Math. Ann. 72. Jahrgang, 1912, S. 55–56. 

Monographien

• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 

• Egbert Harzheim: Einführung in die kombinatorische Topologie. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X. 

• Karl Heinz Mayer: Algebraische Topologie. Birkhäuser, Basel [u.a.] 1989, ISBN 3-7643-2229-2. 

• Tammo tom Dieck: Topologie. 2., völlig neu bearbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin [u.a.] 2000, ISBN 3-11-016236-9.