arg max

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Die Funktion arg max (argumentum maximi, dt. Argument des Maximums) ist eine in der Analysis verwendete Funktion zur Bestimmung der Stelle, an der eine Funktion ihr Maximum annimmt. Analog dazu wird die Funktion arg min benutzt.

Definition[Bearbeiten]

Ist D der Definitionsbereich einer Funktion f, dann ist \arg\max von f die Stelle x_\mathrm{max}, an der die Funktion ihr Maximum annimmt, das heißt,

 x_\mathrm{max}=\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,max}} f(x) \Leftrightarrow f(x_\mathrm{max})= \max_{x \in D} f(x).

Es geht also nicht um den Wert des Maximums selbst, sondern um einen Wert aus dem Definitionsbereich. Dieser Wert ist nicht wohldefiniert, falls die Funktion ihr Maximum an mehreren Stellen annimmt.

Beispiel[Bearbeiten]

\underset{x\in\R}{\operatorname{arg\,max}} (x(10-x)) = 5,

da die Funktion f(x)=x(10-x) den maximalen Wert 25 besitzt, der an der Stelle x_\mathrm{max}=5 angenommen wird.

Alternative Definitionen[Bearbeiten]

Um das Problem der Wohldefiniertheit zu beseitigen, kann man alternativ \arg\max als mengenwertige Funktion erklären:

\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,max}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ maximal}\} \equiv \{x \in D\ |\ \forall y \in D : f(y) \le f(x)\} \equiv f^{-1}\left(\left\{ \max_{x \in D} f(x) \right\}\right)

Analog dazu wird

\underset{x \in D}{\operatorname{arg\,min}}\, f(x) := \{x \in D\ |\ f(x)\text{ minimal}\} \equiv \{x \in D\ |\ \forall y \in D : f(y) \ge f(x)\} \equiv f^{-1}\left(\left\{ \min_{x \in D} f(x) \right\}\right)

definiert.

Beispiel[Bearbeiten]

\underset{x \in [0,4\pi]}{\operatorname{arg\,max}}\, \cos(x) = \{0,2\pi,4\pi\}.