Asymptote

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Eine Asymptote (altgr. ἀσύμπτωτος asýmptōtos „nicht übereinstimmend“,^[1] von altgr. πίπτω pípto „ich falle“) ist in der Mathematik eine Funktion, der sich eine andere Funktion im Unendlichen annähert.

Asymptote einer Kurve

Die hier gegebene Darstellung von Asymptoten ist mehr eine Beschreibung als eine formal saubere Definition.

Kurven im hier betrachteten Sinne sind in einem gewissen Sinne „eindimensionale“ Teilmengen eines euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{n}$ , meist der euklidischen Ebene: Mathematisch sauber definierte Beispiele solcher Kurven sind die Bilder von Wegen, algebraische Kurven und Graphen von stetigen Funktionen mit abzählbar vielen Definitionslücken (dies trifft auf die meisten in der Schule betrachteten Funktionen zu). Nähert sich ein Graph einer Geraden an, ohne dass sich beide je im Verlauf berühren, so ist die Gerade eine Asymptote des Graphen.

Eine Asymptote einer solchen Kurve $k$ ist eine Gerade $g$ , der sich die Kurve „im Unendlichen beliebig annähert“. Präziser bedeutet das, dass der Abstand, den ein Punkt $P$ von $g$ zur Kurve $k$ hat, gegen 0 konvergiert, wenn $P$ entlang der Geraden ins Unendliche wandert. Formal könnte man schreiben:

\lim _{P\in g,|P|\to \infty }d(P,k)=0

,

wobei der Abstand $d$ von $P$ zu $k$ definiert ist als das Infimum der Abstände von $P$ zu den Punkten von $k$ :

d(P,k):=\inf _{K\in k}d(P,K)

Für eine algebraische Kurve lässt sich der Asymptotenbegriff aus Sicht der projektiven Geometrie auch so beschreiben:

Eine Asymptote ist eine Tangente im Unendlichen.

Asymptote einer Funktion

Eine Asymptote ist ein Graph (zum Beispiel eine Gerade), der sich dem Graphen einer gegebenen Funktion beliebig weit annähert. Asymptoten von Funktionen betrachtet man insbesondere im Rahmen einer Kurvendiskussion.

Man hat dabei eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ vorgegeben, deren Definitionsbereich $D$ eine Teilmenge von $\mathbb {R}$ ist.

Man unterscheidet zwischen zwei verschiedenen Typen von Asymptoten, da sich eine Funktion entweder in $x$ - oder in $y$ -Richtung annähern kann.

Annäherung in y-Richtung

Hat $f$ an der Stelle $t$ eine Polstelle, d. h. gilt

\lim _{x\nearrow t}f(x)=\pm \infty \,\,

oder

\,\,\lim _{x\searrow t}f(x)=\pm \infty

,

dann nennt man die Gerade $x=t$ eine senkrechte (oder vertikale) Asymptote von $f$ oder eine Polgerade von $f$ .

Annäherung in x-Richtung

Konvergiert $f$ für $x$ gegen $\infty$ gegen eine reelle Zahl $h$ , d. h. gilt

\lim _{x\to \infty }f(x)=h

,

dann nennt man die Gerade $y=h$ eine waagerechte (oder horizontale) Asymptote von $f$ . Analoges gilt für den Grenzwert $x\to -\infty$ .

Ist $p\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ eine Gerade, der sich $f$ beim Grenzübergang nach $+\infty$ oder $-\infty$ beliebig annähert, d. h. gilt

\lim _{x\to \infty }[f(x)-p(x)]=0

oder

\lim _{x\to -\infty }[f(x)-p(x)]=0

,

dann nennt man $p$ eine schräge Asymptote von $f$ .

Diese drei Arten von Asymptoten zusammen ergeben genau die Asymptoten des Graphen von $f$ , aufgefasst als Kurve im Sinne des oberen Abschnittes „Asymptote einer Kurve“.

Der Begriff der schrägen Asymptote wird manchmal dahingehend verallgemeinert, statt Geraden bestimmte „einfache“ Funktionen zuzulassen, die die obige Limes-Bedingung erfüllen (Näherungskurven).

So kann man zum Beispiel beliebige Polynome als schräge Asymptoten zulassen. Ist $f=g/h$ eine rationale Funktion (mit Polynomen $g$ und $h$ ), dann hat $f$ stets eine schräge Asymptote in diesem Sinne. Sie ist das bei Polynomdivision von $g$ durch $h$ entstehende Polynom $p$ . Der senkrechte Abstand von $f$ zu $p$ wird durch die echt gebrochenrationale Restfunktion angegeben, die dieselben senkrechten Asymptoten wie $f$ hat und zusätzlich die waagerechte Asymptote $y=0$ .

Man kann aber auch beliebige andere Klassen von Funktionen zu schrägen Asymptoten erklären, sofern sie die Limes-Bedingung erfüllen. Je nach Verwendungszweck ist die eine oder andere Definition angemessener.