Hyperbel (Mathematik)

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Die Hyperbel ist einer der Kegelschnitte.
Hyperbel in der Architektur: Kathedrale von Brasilia

In der ebenen Geometrie versteht man unter einer Hyperbel eine spezielle Kurve, die aus zwei zueinander symmetrischen, sich ins Unendliche erstreckenden Ästen besteht. Sie zählt neben dem Kreis, der Parabel und der Ellipse zu den Kegelschnitten, die beim Schnitt einer Ebene mit einem geraden Kreiskegel entstehen (s. Bild).

Wie Ellipse und Parabel lassen sich Hyperbeln als Ortskurven in der Ebene definieren (s. Abschnitt Definition).

Die Hyperbel wurde von Menaichmos entdeckt. Die von Apollonios von Perge eingeführte Bezeichnung kommt aus dem Griechischen und bezieht sich auf die Übertreibung (ὑπερβολή, hyperbolé, von altgriechisch βάλλειν bállein „werfen“, ὑπερβάλλειν hyperballein „über das Ziel hinaus werfen“) des Schnittwinkels (oder der numerischen Exzentrizität \varepsilon, s. unten) beim Kegelschnitt: Mit steigendem Schnittwinkel verwandelt sich der Kreis (\varepsilon = 0) erst zu immer länglicheren Ellipsen und dann über die Parabel (\varepsilon ist 1 und die schneidende Ebene parallel zu einer Tangentialebene des Kegels) zu Hyperbeln mit \varepsilon > 1.[1]

Definition einer Hyperbel als Ortskurve[Bearbeiten]

Hyperbel: Definition und Asymptoten

Eine Hyperbel ist definiert als die Menge aller Punkte P der Zeichenebene E^2 , für die die absolute Differenz der Abstände zu zwei gegebenen Punkten, den so genannten Brennpunkten F_1 und F_2, konstant gleich 2a ist:

 H = \{P \in E^2 \mid  ||PF_2| - |PF_1 || = 2a \}.

Der Mittelpunkt M der Brennpunkte heißt Mittelpunkt der Hyperbel. Die Verbindungsgerade der Brennpunkte ist die Hauptachse der Hyperbel. Die beiden Hyperbelpunkte S_1,S_2 auf der Hauptachse sind die Scheitel und haben den Abstand a vom Mittelpunkt. Der Abstand der Brennpunkte vom Mittelpunkt heißt Brennweite oder lineare Exzentrizität und wird üblicherweise mit e bezeichnet. Die in der Einleitung erwähnte, dimensionslose numerische Exzentrizität \varepsilon ist \tfrac e a.

Dass der Schnitt eines geraden Kreiskegels mit einer Ebene, die a) steiler ist als die Mantellinien des Kegels und b) die Kegelspitze nicht enthält, tatsächlich eine Hyperbel ist, zeigt man, indem man die obige definierende Eigenschaft mit Hilfe der Dandelinschen Kugeln nachweist (s. Abschnitt Hyperbel als Kegelschnitt).

Bemerkung: Die Gleichung ||PF_2| - |PF_1 || = 2a lässt sich auch so interpretieren:

Ist c_2 der Kreis um F_2 mit Radius 2a, so hat P vom Kreis c_2 denselben Abstand wie vom Brennpunkt F_1:
 |Pc_2|=|PF_1| .
Man nennt c_2 einen Leitkreis der Hyperbel.

Hyperbel in 1. Hauptlage[Bearbeiten]

Gleichung[Bearbeiten]

Die Gleichung der Hyperbel erhält eine besonders einfache Form, wenn sie in 1. Hauptlage liegt, das heißt, dass die beiden Brennpunkte auf der x-Achse symmetrisch zum Ursprung liegen; bei einer Hyperbel in 1. Hauptlage haben also die Brennpunkte die Koordinaten (e, 0) und (-e, 0), und die Scheitel haben die Koordinaten (a, 0) und (-a, 0).

Für einen beliebigen Punkt (x,y) in der Ebene ist der Abstand zum Brennpunkt (e,0) gleich \sqrt{ (x-e)^2 + y^2 } und zum anderen Brennpunkt \sqrt{ (x+e)^2 + y^2 }. Der Punkt (x,y) liegt also genau dann auf der Hyperbel, wenn die Differenz dieser beiden Ausdrücke gleich 2a oder gleich -2a ist.

Durch algebraische Umformungen und mit der Abkürzung b^2 = e^2-a^2 kann man zeigen, dass die Gleichung

\sqrt{(x-e)^2 + y^2} - \sqrt{(x+e)^2 + y^2} = \pm 2a

zur Gleichung

\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}= 1

äquivalent ist. Letztere Gleichung nennt man die Gleichung der Hyperbel in 1. Hauptlage.

Scheitel[Bearbeiten]

Eine Hyperbel besitzt nur zwei Scheitel: (a,0) und (-a,0). Im Gegensatz zur Ellipse sind hier (0,b) und (0,-b) keine Kurvenpunkte. Letztere werden deswegen auch imaginäre Nebenscheitel genannt. Die Gerade durch die Nebenscheitel heißt Nebenachse. Die Hyperbel liegt symmetrisch zur Haupt- und Nebenachse.

Asymptoten[Bearbeiten]

Hyperbel: Halbachsen a,b , lin. Exzentrizität e, Halbparameter p

Löst man die Hyperbelgleichung nach y auf, so erhält man

y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1} .

Hier erkennt man, dass sich die Hyperbel für betragsmäßig große x an die Geraden

y=\pm \frac{b}{a}x

beliebig dicht annähert. Diese Geraden gehen durch den Mittelpunkt und heißen die Asymptoten der Hyperbel \tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}= 1 .

Halbparameter p[Bearbeiten]

Die halbe Länge einer Hyperbelsehne, die durch einen Brennpunkt geht und zur Hauptachse senkrecht verläuft, nennt man den Halbparameter (manchmal auch Quermaß oder nur Parameter) p der Hyperbel. Er lässt sich berechnen durch

p = \frac{b^2}a.

Weitere Bedeutung von p:

p ist der Scheitelkrümmungskreisradius,

d. h. p ist der Radius desjenigen Kreises durch einen Scheitel, der sich an die Hyperbel im Scheitel am besten anschmiegt. (Siehe unten: Formelsammlung/Scheitelgleichung)

Tangente[Bearbeiten]

Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt (x_B,y_B) findet man am einfachsten durch implizites Differenzieren der Hyperbelgleichung \tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}= 1:

\frac{2x}{a^2}-\frac{2yy'}{b^2}= 0 \ \rightarrow \ y'=\frac{x}{y}\frac{b^2}{a^2}\  \rightarrow \ y=\frac{x_B}{y_B}\frac{b^2}{a^2}(x-x_B) +y_B\ .

Unter Berücksichtigung von \tfrac{x_B^2}{a^2}-\tfrac{y_B^2}{b^2}= 1 ergibt sich:

\frac{x_B}{a^2}x-\frac{y_B}{b^2}y = 1 \ .

gleichseitige Hyperbel[Bearbeiten]

Eine Hyperbel, für die a = b gilt, heißt gleichseitige Hyperbel. Ihre Asymptoten stehen senkrecht aufeinander. Die lineare Exzentrizität ist e=\sqrt{2}a, die numerische Exzentrizität \varepsilon=\sqrt{2} und der Halbparameter ist p=a.

Parameterdarstellung mit Hyperbelfunktionen[Bearbeiten]

Mit den Hyperbelfunktionen \cosh,\sinh ergibt sich eine (zur Ellipse analoge) Parameterdarstellung der Hyperbel \tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}= 1 :

(\pm a \cosh t, b \sinh t),\, t \in \R.

Hyperbel in 2. Hauptlage[Bearbeiten]

Vertauscht man x und y, so erhält man Hyperbeln in 2. Hauptlage:

\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}= 1.

Hyperbel als Kegelschnitt[Bearbeiten]

Hyperbel (rot): Auf- und Seitenriss eines Kegels mit Dandelinschen Kugeln d1,d2

Schneidet man einen senkrechten Kreiskegel mit einer Ebene \pi, deren Neigung größer als die Neigung der Mantellinien des Kegels ist und die nicht durch die Kegelspitze geht, so ergibt sich eine Hyperbel als Schnittkurve (s. Bild, rote Kurve). Den Nachweis der definierenden Eigenschaft bzgl. der Brennpunkte (s. oben) führt man mit Hilfe zweier Dandelin'schen Kugeln d_1, d_2, das sind Kugeln, die den Kegel in Kreisen c_1 bzw. c_2 und die Hyperbel-Ebene in Punkten F_1 bzw. F_2 berühren. Es stellt sich heraus, dass F_1,F_2 die Brennpunkte der Schnitthyperbel sind.

  1. P sei ein beliebiger Punkt der Schnittkurve.
  2. Die Mantellinie durch P schneidet den Kreis c_1 in einem Punkt A und den Kreis c_2 in einem Punkt B.
  3. Die Strecken \overline{PF_1} und \overline{PA} sind tangential zur Kugel d_1 und damit gleich lang.
  4. Die Strecken \overline{PF_2} und \overline{PB} sind tangential zur Kugel d_2 und damit auch gleich lang.
  5. Also ist  |PF_1|-|PF_2|=|PA|-|PB|=|AB| und damit unabhängig vom Hyperbelpunkt P.

Tangente als Winkelhalbierende[Bearbeiten]

Hyperbel: Tangente als Winkelhalbierende der Brennstrahlen

Für eine Hyperbel gilt:

  • Die Tangente in einem Punkt P ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen \overline{PF_1}, \overline{PF_2}\ .

Zum Beweis verwendet man den Hilfspunkt  L auf dem Brennstrahl \overline{PF_2}, der von F_2 den Abstand 2a hat (s. Bild, a ist die Halbachse der Hyperbel). Die Gerade w ist die Winkelhalbierende der Brennstrahlen. Um nachzuweisen, dass w die Tangente im Punkt P ist, zeigt man, dass jeder von P verschiedene Punkt Q von w nicht auf der Hyperbel liegen kann. Also kann w die Hyperbel nur im Punkt P schneiden und ist damit die Tangente in P. Aus der Zeichnung ist ersichtlich (Dreiecksungleichung), dass |QF_2|<|LF_2|+|QL|=2a+|QF_1| ist, d. h. es ist |QF_2|-|QF_1|<2a. Wenn Q ein Hyperbelpunkt wäre, müsste die Differenz gleich 2a sein.

Leitlinien-Eigenschaft[Bearbeiten]

Hyperbel: Leitlinien-Eigenschaft

Mit dem Begriff Direktrix oder Leitlinie bezeichnet man die beiden Parallelen zur Nebenachse im Abstand d = \tfrac{a^2}e. Für einen beliebigen Punkt P der Hyperbel ist das Verhältnis zwischen den Abständen zu einem Brennpunkt und zur zugehörigen Leitlinie gleich der numerischen Exzentrizität:

  • \frac{|PF_1|}{|Pl_1|} = \frac{|PF_2|}{|Pl_2|} = \varepsilon= \frac{e}{a}.

Zum Beweis zeigt man, dass für |PF_1|^2=(x-e)^2+y^2,\ |Pl_1|^2=(x-\tfrac{a^2}{e})^2 und  y^2=\tfrac{b^2}{a^2}x^2-b^2 die Gleichung

|PF_1|^2-\tfrac{e^2}{a^2}|Pl_1|^2=0 erfüllt ist.

Umgekehrt kann man einen Punkt (als Brennpunkt) und eine Gerade (als Leitlinie) sowie eine reelle Zahl \varepsilon mit \varepsilon > 1 vorgeben und eine Hyperbel definieren als

  • Menge aller Punkte der Ebene, für die das Verhältnis der Abstände zu dem Punkt und zu der Geraden gleich \varepsilon ist.

(Wählt man \varepsilon = 1, so erhält man eine Parabel. Für \varepsilon < 1 ergibt sich eine Ellipse.)

Zum Beweis geht man von F_1=(f,0) , \varepsilon >0 und der Vorgabe, dass (0,0) ein Kurvenpunkt ist, aus. Die Leitlinie l_1 wird dann durch die Gleichung x=-\tfrac{f}{\varepsilon} beschrieben. Für P=(x,y) folgt aus |PF_1|^2=\varepsilon^2|Pl_1|^2 \ :

(x-f)^2+y^2=\varepsilon^2(x+\tfrac{f}{e})^2=(\varepsilon x+f)^2 und hieraus x^2(\varepsilon^2-1)+2xf(1+\varepsilon)-y^2=0 \ .

Mit der Abkürzung p=f(1+\varepsilon) erhält man

x^2(\varepsilon^2-1)+2px-y^2=0 \ .

Dies ist die Scheitelgleichung einer Ellipse (\varepsilon<1), einer Parabel (\varepsilon=1) oder einer Hyperbel (\varepsilon>1). Siehe Abschnitt Formelsammlung.
Führt man im Fall \varepsilon>1 neue Konstanten a,b so ein, dass \varepsilon^2-1 =\tfrac{b^2}{a^2},\ p=\tfrac{b^2}{a} ist, so geht die Scheitelgleichung in

\tfrac{(x+a)^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1 über.

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel mit Mittelpunkt (-a,0), x-Achse als Hauptachse und Halbachsen a,b.

Steiner-Erzeugung einer Hyperbel[Bearbeiten]

Hyperbel: Steiner-Erzeugung
Hyperbel y=1/x: Steiner-Erzeugung

Die folgende Idee, einzelne Punkte einer Hyperbel zu konstruieren, beruht auf der Steiner-Erzeugung eines Kegelschnitts (nach dem Schweizer Mathematiker Jakob Steiner):

Hat man für zwei Geradenbüschel in zwei Punkten S_1,S_2 (alle Geraden durch den Punkt S_1 bzw. S_2) eine projektive, aber nicht perspektive Abbildung \pi des einen Büschels auf das andere, so bilden die Schnittpunkte zugeordneter Geraden einen nichtausgearteten Kegelschnitt.[2][3]

Für die Erzeugung einzelner Punkte der Hyperbel \tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}=1 gehen wir von den Geradenbüscheln in den Scheiteln S_1,S_2 aus. Seien nun P=(x_0,y_0) ein Punkt der Hyperbel und A=(a,y_0), B=(x_0,0). Wir unterteilen die Rechteckseite \overline{BP} in n gleiche Stücke und übertragen diese Unterteilung mittels einer Parallelprojektion in Richtung der Diagonalen AB auf die Strecke \overline{AP} (s. Bild). Die benutzte Parallelprojektion vermittelt die nötige projektive Abbildung der Büschel in S_1 und S_2. Die Schnittpunkte der zugeordneten Geraden S_1A_i und S_2B_i liegen dann auf der durch die Vorgaben eindeutig bestimmten Hyperbel.

Bemerkung: Die Unterteilungen lassen sich jenseits der Punkte A bzw. B fortsetzen, um weitere Punkte zu konstruieren. Da aber dann schleifende Schnitte und eine sehr ungleiche Punkteverteilung auftreten, ist es besser, die Konstruktion der obigen Punkte symmetrisch auf die anderen Hyperbelteile zu übertragen (s. Animation).

Bemerkung:

  1. Auch für Ellipsen und Parabeln gibt es die Steiner-Erzeugung. Im Parabelfall lässt sich die Behauptung leicht nachrechnen.
  2. Die Steiner-Erzeugung wird auch Parallelogramm-Methode genannt, da man statt der Scheitel auch andere Hyperbelpunkte auf einem Hyperbeldurchmesser verwenden kann. Dann tritt ein Parallelogramm statt eines Rechtecks auf.

Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel[Bearbeiten]

Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel

Eine andere Definition der Hyperbel benutzt eine spezielle geometrische Abbildung, nämlich die Affinität. Hier ist die Hyperbel als affines Bild der Einheitshyperbel x^2-y^2=1 definiert. Eine affine Abbildung in der reellen Ebene hat die Form \vec x \to \vec f_0+A\vec x, wobei A eine reguläre Matrix (Determinante nicht 0) und \vec f_0 ein beliebiger Vektor ist. Sind \vec f_1, \vec f_2 die Spaltenvektoren der Matrix A, so wird die Einheitshyperbel (\pm\cosh t,\sinh t), t \in\R, auf die Hyperbel

\vec x = \vec p(t)=\vec f_0 \pm\vec f_1 \cosh t +\vec f_2 \sinh t

abgebildet. \vec f_0 ist der Mittelpunkt, \vec f_0+ \vec f_1 ein Punkt der Hyperbel und \vec f_2 Tangentenvektor in diesem Punkt. \vec f_1, \vec f_2 stehen i.a. nicht senkrecht aufeinander. D. h. \vec f_0\pm \vec f_1 sind i.a. nicht die Scheitel der Hyperbel. Aber \vec f_1\pm \vec f_2 sind die Richtungsvektoren der Asymptoten. Diese Definition einer Hyperbel liefert eine einfache Parameterdarstellung einer beliebigen Hyperbel.

Da in einem Scheitel die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht steht und die Tangentenrichtung in einem Hyperbelpunkt \vec p'(t) = \vec f_1\sinh t  + \vec f_2\cosh t ist, ergibt sich der Parameter t_0 eines Scheitels aus der Gleichung

\vec p'(t)\cdot (\vec p(t) -\vec f_0) = 
(\vec f_1\sinh t  + \vec f_2\cosh t)\cdot(\vec f_1 \cosh t +\vec f_2 \sinh t) =0

und damit aus  \coth (2t_0)= -\tfrac{\vec f_1^{\, 2}+\vec f_2^{\, 2}}{2\vec f_1 \cdot \vec f_2} zu

t_0=\tfrac{1}{4}\ln\tfrac{(\vec f_1-\vec f_2)^2}{(\vec f_1+\vec f_2)^2} \ .

(Es wurden die Formeln \cosh^2 x +\sinh^2 x=\cosh 2x,\ 2\sinh x \cosh x = \sinh 2x,\ \mathrm{arcoth}\,x = \tfrac{1}{2}\ln\tfrac{x+1}{x-1} benutzt.)

Falls \vec f_1 \cdot \vec f_2=0\ ist, ist t_0=0 und die Parameterdarstellung schon in Scheitelform !

Die 2 Scheitel der Hyperbel sind \vec f_0\pm(\vec f_1\cosh t_0 +\vec f_2 \sinh t_0)\ .

Aus

\vec x = \vec p(t)= \vec p(t-t_0+t_0)=\vec f_0\pm\vec f_1\cosh((t-t_0)+t_0) + \vec f_2\sinh ((t-t_0)-t_0)

und den Additionstheoremen für die Hyperbelfunktionen ergibt sich die Scheitelform der Parameterdarstellung der Hyperbel:

  \vec x = \vec p(t) =\vec f_0\pm(\vec f_1\cosh t_0 +\vec f_2 \sinh t_0)\cosh (t-t_0)+ (\vec f_1\sinh t_0 +\vec f_2 \cosh t_0)\sinh (t-t_0) \ .


Beispiele:

Hyperbel als Graph der Funktion y=1/x (Beispiel 3)
Hyperbel: Transformation auf Scheitelform (Beispiel 5)
  1.  \vec f_0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} a \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} 0 \\ b \end{pmatrix} liefert die übliche Parameterdarstellung der Hyperbel mit der Gleichung \tfrac{x^2}{a^2} - \tfrac{y^2}{b^2} = 1 :\quad 
\vec x=\vec p(t)=\begin{pmatrix} a\cosh t \\ b\sinh t \end{pmatrix}\ .
  2. \vec f_0=\begin{pmatrix} x_0 \\ y_0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} a\cos \varphi \\ a\sin \varphi\end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} -b\sin \varphi \\ b \cos \varphi\end{pmatrix} liefert die Parameterdarstellung der Hyperbel, die aus der Hyperbel \tfrac{x^2}{a^2} - \tfrac{y^2}{b^2} = 1 durch Drehung um den Winkel \varphi und anschließende Verschiebung um \vec f_0 hervorgeht. Die Parameterdarstellung ist schon in Scheitelform. D. h. \vec f_0\pm \vec f_1 sind die Scheitel der Hyperbel.
  3.  \vec f_0=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix},\ \vec f_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},\ \vec f_2=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} liefert die Hyperbel mit der Gleichung  y= \tfrac{1}{x} \ . (Beim Nachweis von xy=1 verwende man \cosh^2 t-\sinh^2 t=1 \ . )
  4. Bildet man die Hyperbel  y= \tfrac{1}{x} mit affinen Abbildungen der Form (x,y) \to (x+x_0,ay+y_0), a\ne 0, ab, so erhält man die Schar y=\tfrac{a}{x-x_0}+y_0 aller Hyperbeln mit achsenparallelen Asymptoten. Der Mittelpunkt solch einer Hyperbel ist (x_0,y_0) \ . Die Besonderheit dieser Hyperbelschar ist, dass sie sich als Funktionsgraphen darstellen lassen.
  5. Die Parameterdarstellung
\vec x=\vec p(t)=\pm \begin{pmatrix}  30 \\ 0 \end{pmatrix}\cosh t+\begin{pmatrix} -30 \\ 3\sqrt 5\end{pmatrix}\sinh t einer Hyperbel ist nicht in Scheitelform.
Der Scheitelparameter ergibt sich aus t_0=\tfrac{1}{4}\ln\tfrac{(\vec f_1-\vec f_2)^2}{(\vec f_1+\vec f_2)^2} zu t_0=\ln 3 \ .
Die Scheitelform der Parameterdarstellung ist:
\vec x=\vec p(t)=\pm \begin{pmatrix}  \ 10 \\ 4\sqrt 5 \end{pmatrix}\cosh (t-\ln 3)+
\begin{pmatrix} -10 \\ 5\sqrt 5 \end{pmatrix}\sinh (t-\ln 3) \ .
Die Scheitel sind: (10,4\sqrt 5),(-10,-4\sqrt 5) und
die Halbachsen: a=6\sqrt{5},\ b=15\ .

Bemerkung: Sind die Vektoren \vec f_0, \vec f_1, \vec f_2 aus dem \R^3, so erhält man eine Parameterdarstellung einer Hyperbel im Raum.

Hyperbel als affines Bild der Hyperbel y=1/x[Bearbeiten]

Da die Einheitshyperbel x^2-y^2=1 zur Hyperbel y=1/x äquivalent ist (s.o.), kann man eine beliebige Hyperbel auch als affines Bild der Hyperbel y=1/x auffassen:

\vec x= \vec p(t)=\vec f_0 + \vec f_1 t+ \vec f_2 \tfrac{1}{t}, \ t\ne 0 .

M: \vec f_0 ist der Mittelpunkt der Hyperbel, \vec f_1 , \vec f_2 zeigen in Richtung der Asymptoten und \vec f_1 + \vec f_2 ist ein Punkt der Hyperbel.

Für den Tangentenvektor ergibt sich

\vec p'(t)=\vec f_1 - \vec f_2 \tfrac{1}{t^2}, \ .

In einem Scheitel steht die Tangente zum zugehörigen Hyperbeldurchmesser senkrecht, d. h. es ist

\vec p'(t)\cdot (\vec p(t) -\vec f_0) = 
(\vec f_1 - \vec f_2 \tfrac{1}{t^2})\cdot(\vec f_1 t+ \vec f_2 \tfrac{1}{t}) = \vec f_1^2t-\vec f_2^2 \tfrac{1}{t^3} = 0 .

Also ist der Scheitelparameter

t_0= \pm \sqrt[4]{\frac{\vec f_2^2}{\vec f_1^2}}\quad  . Für |\vec f_1|=|\vec f_2| ist t_0=\pm 1 und \vec f_0\pm(\vec f_1+\vec f_2) sind die Scheitel der Hyperbel.

Tangentenkonstruktion[Bearbeiten]

Tangenten-Konstruktion: Asymptoten und P gegeben -> Tangente

Der Tangentenvektor kann durch Ausklammern von \tfrac{1}{t} so geschrieben werden:

\vec p'(t)=\tfrac{1}{t}(\vec f_1t - \vec f_2 \tfrac{1}{t}), \ .

D. h. in dem Parallelogramm M: \vec f_0, A:\vec f_0+\vec f_1t, B:\vec f_0+ \vec f_2 \tfrac{1}{t}, P:\vec f_0+\vec f_1t+\vec f_2 \tfrac{1}{t} ist die Diagonale AB parallel zur Tangente im Hyperbelpunkt P (s. Bild). Diese Eigenschaft bietet eine einfache Möglichkeit die Tangente in einem Hyperbelpunkt zu konstruieren.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 3-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.[4]

Punktkonstruktion[Bearbeiten]

Punkt-Konstruktion: Asymptoten und P1 gegeben -> P2

Eine weitere Eigenschaft einer Hyperbel erlaubt die Konstruktion von Hyperbelpunkten, falls die Asymptoten und ein Punkt der Hyperbel bekannt sind:

Für eine Hyperbel mit der Parameterdarstellung \vec x= \vec p(t)=\vec f_1 t+ \vec f_2 \tfrac{1}{t} (Der Mittelpunkt wurde der Einfachheit halber als Nullpunkt angenommen) gilt:

Sind  P_1: \vec f_1 t_1+ \vec f_2 \tfrac{1}{t_1},\ P_2:\vec f_1 t_2+ \vec f_2 \tfrac{1}{t_2} zwei Hyperbelpunkte, so liegen die Punkte

A: \vec a =\vec f_1 t_2+ \vec f_2 \tfrac{1}{t_1}, \ B:\vec b=\vec f_1 t_1+ \vec f_2 \tfrac{1}{t_2} auf einer Gerade durch den Mittelpunkt (s. Bild).

Der einfache Beweis ergibt sich aus: \tfrac{1}{t_2}\vec a=\tfrac{1}{t_1}\vec b.

Bemerkung: Diese Eigenschaft einer Hyperbel ist eine affine Version der 4-Punkte Ausartung des Satzes von Pascal.[5]

Tangenten-Asymptoten-Dreieck[Bearbeiten]

Hyperbel: Tangenten-Asymptoten-Dreieck

Für die folgenden Überlegungen, nehmen wir der Einfachheit halber an, dass der Mittelpunkt sich im Nullpunkt (0,0) befindet und dass die Vektoren \vec f_1,\vec f_2 die gleiche Länge haben. Falls letzteres nicht der Fall sein sollte, wird die Parameterdarstellung zuerst in Scheitelform gebracht (s.o.). Dies hat zur Folge, dass \pm(\vec f_1+\vec f_2) die Scheitel und \pm(\vec f_1-\vec f_2) die Nebenscheitel sind. Also ist |\vec f_1+\vec f_2|=a und |\vec f_1-\vec f_2|=b.

Berechnet man die Schnittpunkte der Tangente in dem Hyperbelpunkt \vec p(t_0)=\vec f_1 t_0+ \vec f_2 \tfrac{1}{t_0} mit den Asymptoten, so erhält man die beiden Punkte

C: 2t_0\vec f_1,\ D:\tfrac{2}{t_0}\vec f_2 \ .

Der Flächeninhalt des Dreiecks M,C,D lässt sich mit Hilfe einer 2x2-Determinante ausdrücken:

F=\tfrac{1}{2}|\det( 2t_0\vec f_1, \tfrac{2}{t_0}\vec f_2)|=2|\det(\vec f_1,\vec f_2)|

(s. Rechenregeln für Determinanten.) |\det(\vec f_1,\vec f_2)| ist der Flächeninhalt der von \vec f_1,\vec f_2 aufgespannten Raute. Der Flächeninhalt einer Raute ist gleich der Hälfte des Diagonalenproduktes. Die Diagonalen dieser Raute sind die Halbachsen a,b. Also gilt:

Der Flächeninhalt des Dreiecks M,C,D ist unabhängig vom Hyperbelpunkt
F=ab\ .

Affine Selbstabbildungen der Hyperbel y=1/x[Bearbeiten]

Nicht jede affine Abbildung der reellen affinen Ebene (s. vorigen Abschnitt) bildet die Hyperbel y=1/x auf eine andere Hyperbel ab. Die folgenden affinen Abbildungen lassen die Hyperbel y=1/x als Ganzes invariant:

  • (x,y) \rightarrow (ax, \textstyle \frac{y}{a}),\ a \ne 0 \ ,
  • (x,y) \rightarrow (\textstyle \frac{y}{m},mx)\ ,m \ne 0 \ .

Spezialfälle:

  1. Für  a=1 bleibt jeder Punkt der Ebene fest. Diese Abbildung heißt Identität.
  2. Für  a \ne 1 wird jeder Punkt der Hyperbel bewegt, d. h. es gibt keinen Fixpunkt auf der Hyperbel.
  3. Für a=-1 ist die Abbildung die Punktspiegelung am Nullpunkt.
  4. Für m=1 ist die Abbildung die "normale" Spiegelung an der Gerade y=x.
  5. Für m \ne 1 ist die Abbildung die Schrägspiegelung an der Gerade y=mx in Richtung der Gerade y=-mx. (Siehe Abschnitt "Mittelpunkte paralleler Sehnen".)

Mittelpunkte paralleler Sehnen[Bearbeiten]

Hyperbel: Die Mittelpunkte paralleler Sehnen liegen auf einer Gerade
Hyperbel: Der Mittelpunkt einer Sehne halbiert auch die Sehne der Asymptoten

Für jede Hyperbel gilt:

  • Die Mittelpunkte paralleler Sehnen (s. Bild) liegen auf einer Gerade durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

D. h. zu jedem Punktepaar P,Q einer Sehne s gibt es eine Schrägspiegelung an einer Gerade durch den Mittelpunkt der Hyperbel, die die Punkte P,Q vertauscht und die Hyperbel auf sich abbildet. Dabei versteht man unter einer Schrägspiegelung eine Verallgemeinerung einer gewöhnlichen Spiegelung an einer Gerade m, bei der alle Strecken Punkt-Bildpunkt zwar parallel aber nicht unbedingt senkrecht zur Spiegelachse m sind.

Den Nachweis dieser Eigenschaft führt man am einfachsten an der Hyperbel y=1/x durch. Da alle Hyperbeln affine Bilder der Einheitshyperbel und damit auch von der Hyperbel y=1/x sind und bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen, gilt die obige Eigenschaft für alle Hyperbeln.

Bemerkung: Die Punkte der Sehne s dürfen auch auf verschiedenen Ästen der Hyperbel liegen.

Eine Folgerung dieser Symmetrie ist: Die Asymptoten der Hyperbel werden bei der Schrägspiegelung vertauscht und der Mittelpunkt M einer Hyperbelsehne  P Q halbiert auch die zugehörige Strecke \overline P \, \overline Q zwischen den Asymptoten, d. h. es ist |P\overline P|=|Q\overline Q| . Diese Eigenschaft kann man benutzen, um bei bekannten Asymptoten und einem Punkt P beliebig viele weitere Hyperbelpunkte Q zu konstruieren, indem man die jeweilige Strecke P\overline P zur Konstruktion von Q verwendet.

Entartet die Sehne PQ zu einer Tangente, so halbiert der Berührpunkt den Abschnitt zwischen den Asymptoten.

Pol-Polare-Beziehung[Bearbeiten]

Hyperbel: Pol-Polare-Beziehung

Eine Hyperbel lässt sich in einem geeigneten Koordinatensystem immer durch eine Gleichung der Form \tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}= 1 beschreiben. Die Gleichung der Tangente in einem Hyperbelpunkt P_0=(x_0,y_0) ist \tfrac{x_0x}{a^2}-\tfrac{y_0y}{b^2}= 1 \ . Lässt man in dieser Gleichung zu, dass P_0=(x_0,y_0) ein beliebiger vom Nullpunkt verschiedener Punkt der Ebene ist, so wird

dem Punkt P_0=(x_0,y_0)\ne(0,0) die Gerade : \quad \frac{x_0x}{a^2}-\frac{y_0y}{b^2}= 1 zugeordnet.

Diese Gerade geht nicht durch den Mittelpunkt der Hyperbel.

Umgekehrt kann man

der Gerade y=mx+d,\ d\ne 0, den Punkt (-\frac{ma^2}{d},-\frac{b^2}{d}) bzw.
der Gerade x=c,\ c\ne 0, den Punkt (\frac{a^2}{c},0) zuordnen.

Solch eine Zuordnung Punkt <-> Gerade nennt man eine Polarität oder Pol-Polar-Beziehung. Der Pol ist der Punkt, die Polare ist die zugehörige Gerade.

Die Bedeutung dieser Pol-Polare-Beziehung besteht darin, dass die möglichen Schnittpunkte der Polare eines Punktes mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel sind.

  • Liegt der Punkt (Pol) auf der Hyperbel, so ist seine Polare die Tangente in diesem Punkt (s. Bild: P_1,\ p_1).
  • Liegt der Pol außerhalb der Hyperbel, so sind die Schnittpunkte der Polare mit der Hyperbel die Berührpunkte der Tangenten durch den Pol an die Hyperbel (s. Bild: P_2,\ p_2,\ P_3,p_3).
  • Liegt der Punkt innerhalb der Hyperbel, so hat seine Polare keinen Schnittpunkt mit der Hyperbel (s. Bild: P_4,\ p_4).

Zum Beweis: Die Bestimmung der Schnittpunkte der Polaren eines Punktes (x_0,y_0) mit der Hyperbel \tfrac{x^2}{a^2}-\tfrac{y^2}{b^2}= 1 und die Suche nach Hyperbelpunkten, deren Tangenten den Punkt (x_0,y_0) enthalten, führen auf dasselbe Gleichungssystem.

Bemerkung:

  1. Der Schnittpunkt zweier Polaren (z.B. im Bild: p_2,p_3) ist der Pol der Verbindungsgerade der zugehörigen Pole (hier: P_2,P_3).
  2. Der Brennpunkt (e,0) bzw. (-e,0) und die Leitlinie x= \tfrac{a^2}{e} bzw. x= - \tfrac{a^2}{e} sind zueinander polar.
  3. Geraden durch den Mittelpunkt der Hyperbel haben keine Pole. Man sagt: "Ihre Pole liegen auf der Ferngerade"
  4. Der Mittelpunkt der Hyperbel hat keine Polare, "sie ist die Ferngerade".

Bemerkung: Pol-Polare-Beziehungen gibt es auch für Ellipsen und Parabeln. Siehe auch projektiver Kegelschnitt.

Hyperbeln der Form y=a/(x-b)+c[Bearbeiten]

Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln[Bearbeiten]

Hyperbeln der Form y=\frac{a}{x-b}+c sind Funktionsgraphen, die durch die 3 Parameter a,b,c eindeutig bestimmt sind. Man benötigt also 3 Punkte, um diese Parameter zu ermitteln. Eine schnelle Methode beruht auf dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln.

Hyperbel: Peripheriewinkelsatz

Um einen Winkel zwischen zwei Sehnen zu messen führen wir für zwei Geraden, die weder zur x- noch zur y-Achse parallel sind, ein Winkelmaß ein:

Für zwei Geraden y=m_1x+d_1, \ y=m_2x + d_2\ ,m_1,m_2 \ne 0 \ messen wir den zu gehörigen Winkel mit der Zahl \frac{m_1}{m_2}.

Zwei Geraden sind parallel, wenn m_1=m_2 und damit das Winkelmass =1 ist.

Analog zum Peripheriewinkelsatz für Kreise gilt hier der

Peripheriewinkelsatz: (f. Hyperbeln)

Für vier Punkte P_i=(x_i,y_i),\ i=1,2,3,4,\ x_i\ne x_k, y_i\ne y_k, i\ne k (s. Bild) gilt:
Die vier Punkte liegen nur dann auf einer Hyperbel der Form y=\tfrac{a}{x-b}+c, wenn die Winkel bei P_3 und P_4 im obigen Winkelmaß gleich sind, d. h. wenn:
\frac{(y_4-y_1)}{(x_4-x_1)}\frac{(x_4-x_2)}{(y_4-y_2)}=\frac{(y_3-y_1)}{(x_3-x_1)}\frac{(x_3-x_2)}{(y_3-y_2)} \ .

(Beweis durch Nachrechnen. Dabei kann man für die eine Richtung voraussetzen, dass die Punkte auf einer Hyperbel y=a/x liegen.)

3-Punkte-Form einer Hyperbel[Bearbeiten]

Analog zur 2-Punkteform einer Gerade (Steigungswinkel werden mit der Steigung gemessen) folgt aus dem Peripheriewinkelsatz für Hyperbeln die

3-Punkte-Form: (f. Hyperbeln)

Die Gleichung der Hyperbel durch 3 Punkte P_i=(x_i,y_i),\ i=1,2,3,\ x_i\ne x_k, y_i\ne y_k, i\ne k ergibt sich durch Auflösen der Gleichung
\frac{({\color{red}y}-y_1)}{({\color{green}x}-x_1)}\frac{({\color{green}x}-x_2)}{({\color{red}y}-y_2)}=\frac{(y_3-y_1)}{(x_3-x_1)}\frac{(x_3-x_2)}{(y_3-y_2)} \
nach y.

Formelsammlung[Bearbeiten]

Hyperbelgleichung[Bearbeiten]

Eine Hyperbel mit Mittelpunkt (0|0) und x-Achse als Hauptachse erfüllt die Gleichung

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1.

Die Asymptoten der zugehörigen Hyperbel sind die Geraden:

y = \pm \frac ba x.

Brennpunkte sind:

(\pm~\sqrt{a^2 + b^2}, 0).

Eine Hyperbel mit Mittelpunkt (x_0|y_0) und der Gerade y=y_0 als Hauptachse erfüllt die Gleichung

\frac{(x-x_0)^2}{a^2} - \frac{(y-y_0)^2}{b^2} = 1.

Scheitelgleichung[Bearbeiten]

Kegelschnitt-Schar

Die Schar der Hyperbeln, deren Achse die x-Achse, ein Scheitel der Punkt (0,0) und der Mittelpunkt (-a,0) ist, lässt sich durch die Gleichung

 y^2= 2px +(\varepsilon^2 -1) x^2  \qquad,  p=\tfrac{b^2}{a}, \ \varepsilon= \tfrac{e}{a},\ e^2=a^2+b^2,

beschreiben.

Für Hyperbeln gilt  1<\varepsilon . Setzt man in dieser Gleichung

\varepsilon=0, so erhält man einen Kreis,
für  0<\varepsilon <1 eine Ellipse,
für \varepsilon=1 eine Parabel .

Die Kegelschnitte haben bei gleichem Halbparameter p alle denselben Krümmungskreisradius im Scheitel S:\ \rho=p \ .

Parameterdarstellungen[Bearbeiten]

Mittelpunkt (0|0), x-Achse als Hauptachse:

1: \left\{\begin{matrix} x \, = \, \frac{a}{\cos t} \\ y \, = \, \pm b \tan t \end{matrix}\right. \ , \ 0 \le t < 2\pi; \; t \ne \frac{\pi}{2}; \; t \ne \frac{3}{2}\pi
2: \left\{\begin{matrix} x \, = \, \pm a \cosh t \\ y \, = \, b \sinh t \end{matrix}\right. \quad  ,\ t \in \R.
3: \left\{\begin{matrix} x \, = \, \pm a\, \tfrac{t^2+1}{2t} \\ y \, = \, b\, \tfrac{t^2-1}{2t} \end{matrix}\right. \quad  ,\ t >0 \ . (Darstellung mit rationalen Funktionen !)

In Polarkoordinaten[Bearbeiten]

Hyperbel: Polardarstellung, Pol=Mittelpunkt
Hyperbel: Polardarstellung, Pol=Brennpunkt

Man beachte

  1. im ersten Fall (Pol ist der Mittelpunkt der Hyperbel), dass der Term unter der Wurzel negativ werden kann. Für solche Winkel ergeben sich keine Hyperbelpunkte.
  2. Im zweiten Fall (Pol ist ein Brennpunkt der Hyperbel) liegen auf jedem Strahl, für den der Nenner nicht 0 ist, 2 Hyperbelpunkte (wegen \mp). Für \varphi=0 ergeben sich die beiden Scheitel.

Winkel zur Hauptachse, Pol im Mittelpunkt (0,0):

r = \frac{b}{\sqrt{\varepsilon^2 \cos^2 \varphi - 1}}, \quad \varepsilon=\tfrac{e}{a},\ e^2=a^2+b^2

Winkel zur Hauptachse, Pol in einem Brennpunkt:

r = \frac{p}{1 \mp \varepsilon \cos \varphi}, \quad p=\tfrac{b^2}{a} .

Tangentengleichung[Bearbeiten]

Mittelpunkt (0|0), Hauptachse als x-Achse, Berührpunkt (x_B|y_B)

\frac{x_B x}{a^2} - \frac{y_B y}{b^2} = 1

Mittelpunkt (x_0|y_0), Hauptachse parallel zur x-Achse, Berührpunkt (x_B|y_B)

\frac{(x_B - x_0) (x - x_0)}{a^2} - \frac{(y_B - y_0) (y - y_0)}{b^2} = 1

Krümmungskreisradius[Bearbeiten]

Der Krümmungskreisradius der Hyperbel \tfrac{x^2}{a^2} - \tfrac{y^2}{b^2} = 1 in den beiden Scheiteln (\pm a,0) ist:

\rho= \frac{b^2}{a} \quad, (wie bei einer Ellipse in den Hauptscheiteln).

Hyperbeln als ebene Schnitte von Quadriken[Bearbeiten]

Folgende Flächen zweiter Ordnung (Quadriken) besitzen Hyperbeln als ebene Schnitte:

Hyperbel y=1/x über einem beliebigen Zahlkörper[Bearbeiten]

Betrachtet man in einer affinen Ebene über einem beliebigem (kommutativen) Körper K die Punktmenge, die der Hyperbelgleichung y=1/x genügt, so bleiben viele Eigenschaften des reellen Falls, die mit „schneiden“, „verbinden“ und „parallel“ formuliert werden und deren Beweise nur Multiplikation/Division und Addition/Subtraktion verwenden, erhalten.[9] Z. B.:

  • Eine Gerade schneidet die Hyperbel y=\tfrac{1}{x} in höchstens zwei Punkten.
  • Durch jeden Hyperbelpunkt (x_0,\tfrac{1}{x_0}) gibt es außer den achsenparallelen Geraden x=x_0,\ y=1/x_0 genau eine Gerade, die mit der Hyperbel nur den Punkt (x_0,\tfrac{1}{x_0}) gemeinsam hat, die Tangente: y=-\tfrac{1}{x^2_0}x + \tfrac{2}{x_0}. Eine Gerade ohne Schnittpunkt heißt Passante, eine mit zwei Schnittpunkten Sekante.

Unterschiede zum reellen Fall:

  1. Für K=\Q (rationale Zahlen) ist die Gerade y=\tfrac{1}{2}x eine Passante, denn die Gleichung x^2=2 hat in \Q keine Lösung.
  2. Für K=\C (komplexe Zahlen) gibt es keine Passanten. Z. B.: y=-x schneidet die Hyperbel in den Punkten (i,-i),(-i,i).
  3. Hat der Körper die Charakteristik 2 (d. h., es gilt 1+1=0), so gibt es unter den Geraden y=mx,\ m\ne 0 \ , keine Sekanten, da jede Gleichung x^2=\tfrac{1}{m} im Fall Charakteristik 2 höchstens eine Lösung hat (es gibt kein „\pm“). Die Tangente im Hyperbelpunkt (x_0,\tfrac{1}{x_0}) hat (bei Charakteristik 2) die Gleichung y=\tfrac{1}{x^2_0}x. D. h. alle Tangenten gehen durch den Nullpunkt (0,0) !

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew (Begründer), Günter Grosche (Bearb.), Eberhard Zeidler (Hrsg.): Teubner-Taschenbuch der Mathematik. Teubner, Stuttgart 1996, ISBN 3-8154-2001-6, S. 24.
  2. Projektive Geometrie. Kurzskript, Uni Darmstadt (PDF; 180 kB), S. 16.
  3. Jacob Steiner’s Vorlesungen über synthetische Geometrie. B. G. Teubner, Leipzig 1867. Bei: books.google.de. 2. Teil, S. 96.
  4. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 33, (PDF; 757 kB)
  5. Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes, S. 32, (PDF; 757 kB)
  6. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 108.
  7. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 118.
  8. CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt) (PDF; 3,4 MB), S. 123.
  9. Erich Hartmann: Projektive Geometrie. (PDF; 180 kB). Kurzskript, Uni Darmstadt, S. 12-16.