Benutzer:Katzmárek2/Spielwiese

Stimmungen mit temperierten Intervallen

Diatonische Tonleitern bestehen aus Tönen, deren Frequenzen untereinander in einem bestimmten Frequenzverhältnis stehen. Dies läßt sich darauf zurückführen, daß der Zusammenklang zweier Töne um so angenehmer, um so reiner ist, je besser sich dieses Verhältnis in Form einfacher Brüche darstellen läßt. So ist etwa die Oktave mit dem Verhältnis 2:1 ein besonders reines Intervall; weiterhin sehr rein sind Quinte (3:2) und Quarte (4:3). Ein Ganztonschritt - der Tonschritt zwischen Quart und Quint - ist mit (9:8) schon deutlich unreiner.

Eine Oktave läßt sich u.a. in eine Quarte und eine Quint unterteilen. Dies entspricht mathematisch einer Multiplikation der Teilintervalle: ${\tfrac {3}{2}}*{\tfrac {4}{3}}={\tfrac {12}{6}}={\tfrac {2}{1}}$

Das läßt vermuten, man könne auch kleinere Intervalle aneinanderfügen, um große Intervalle zu erhalten; und somit sollte es auch möglich sein, durch Aufeinanderschichten mehrerer Quinten über die Stationen mehrere Zwischentöne letztlich einen Ton zu erreichen, den man ebenfalls durch Übereinanderschichten mehrerer Oktaven erreichen kann – nämlich den oktavierten Ausgangston.
Dies ist aber aufgrund mathematischer Überlegungen nicht möglich: Beim Aneinanderreihen von Quintschritten kann niemals ein Ton erreicht werden, der in einem ganzzahligen Verhältnis zum Ausgangston steht. Das fortlaufende Multiplizieren mit dem Quintintervall läßt sich durch die Formel $({\tfrac {3}{2}})^{n}$ ausdrücken, was aber für kein n jemals zu einem ganzzahligen Ergebnis führen kann, wohingegen die Oktavierung immer zu einem ganzzahligen Ergebnis führt: $({\tfrac {2}{1}})^{m}$.
Der nach zwölf Quintschritten erreichte Ton ist etwas höher als der durch sieben Oktavschritte erreichte: $({\tfrac {3}{2}})^{12}\neq ({\tfrac {2}{1}})^{7}$. Diese Differenz nennt man Pythagoreisches Komma.

Das geschilderte Problem läßt sich in ähnlicher Weise auch auf andere Intervalle übertragen.
Zudem sollte auch jeder der erreichten Töne auch als Grundton aufgefaßt werden können, über dem dann seinerseits Tonleitern aus reinen Intervalle zu bilden wären. Letztlich führt dies dazu, das beim Festhalten an reinen Intervallen eine unüberschaubare Anzahl verschiedener Töne entstünde. Es ist zwar jeweils möglich, zu jedem beliebigen Ton jedes beliebige reine Intervall zu bilden, nicht aber, alle auf diese Weise erreichbaren Töne in einem System mit einer endlichen Anzahl von Plätzen einzuordnen. Dies ist aber z.B. für Tasteninstrumente unabdingbar.
Die Temperierung ist also der Versuch, die Intervalle untereinander so zu verstimmen, daß man einerseits mit einer endlichen Anzahl von Ton-Plätzen auskommt, andererseits aber den reinen Charakter der Intervalle so weit als möglich erhält.

Der Text kann gerne typographisch ausgebessert werden - sofern das auf meiner Spielwiese überhaupt geht. Inhaltlich sollte aber erstmal die Urfassung erhalten bleiben. Danke...--Katzmárek2 12:47, 10. Mär. 2011 (CET)