Chomsky-Normalform

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Die Chomsky-Normalform (Abk.: CNF) ist in der theoretischen Informatik eine Normalform für kontextfreie Grammatiken. Sie ist nach dem Linguisten Noam Chomsky benannt und kommt beim CYK-Algorithmus zum Einsatz. Eine kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform hat eine einfache Struktur der Produktionsregeln und erfüllt auch die Eigenschaften kontextsensitiver Grammatiken.

Zu jeder kontextfreien Sprache gibt es eine Grammatik in Chomsky-Normalform. Deshalb kann aus jeder kontextfreien Grammatik G eine Chomsky-Normalform G_{CNF} konstruiert werden, die dieselbe Sprache erzeugt. Die Grammatik G_{CNF} wird dann auch eine Chomsky-Normalform der kontextfreien Grammatik G genannt.

Eine weitere Normalform für kontextfreie Grammatiken ist die Greibach-Normalform. Eine Erweiterung der Chomsky-Normalform auf kontextsensitive Grammatiken stellt die Kuroda-Normalform dar.

Definition[Bearbeiten]

Eine formale Grammatik G=(V,\Sigma,P,S) ist in Chomsky-Normalform, wenn jede Produktion aus P eine der folgenden Formen hat:

  • A \rightarrow BC
  • A \rightarrow a
  • S \rightarrow  \varepsilon

wobei A, B und C Nichtterminalsymbole aus V sind und a ein Terminalsymbol aus \Sigma ist. S ist das Startsymbol und \varepsilon das leere Wort. Wenn die Produktion S \rightarrow \varepsilon zur Grammatik gehört, dann darf S nicht auf der rechten Seite einer Produktion stehen.

Lässt man bei der ersten Produktion auf der rechten Seite beliebig viele anstatt zwei Nichtterminalsymbole zu, so spricht man von einer schwachen Chomsky-Normalform.

Konstruktion einer Chomsky-Normalform[Bearbeiten]

Liegt eine kontextfreie Grammatik G=(V,\Sigma,P,S) vor, so lässt sich daraus schrittweise eine Grammatik G' in Chomsky-Normalform generieren, die dieselbe Sprache erzeugt:

Ausnahme S\rightarrow\varepsilon behandeln
Enthält die Grammatik G die Regel S\rightarrow\varepsilon, wird ein neues Startsymbol S' für G' eingeführt. Anschließend erhält die neue Grammatik die Regeln S'\rightarrow\varepsilon und S'\rightarrow S. Damit ist sichergestellt, dass die Grammatik weiterhin das leere Wort ermöglicht und das ursprüngliche Startsymbol weiterhin auf der rechten Seite verwendet werden kann.
Eine schwache Chomsky-Normalform erzeugen
Jedem Terminalsymbol a wird ein Nichtterminalsymbol X_a zugeordnet. Auf der rechten Seite jeder Produktion werden sämtliche Terminalsymbole a durch das entsprechende Nichtterminalsymbol X_a ersetzt. Abschließend werden alle Produktionen X_a \rightarrow a der Grammatik hinzugefügt.
Rechte Seiten mit mehr als zwei Nichtterminalen ersetzen
Sind auf der rechten Seite einer Produktion mehr als zwei Nichtterminale, so werden zwei benachbarte Nichtterminale AB durch ein neues Nichtterminal Y_{AB} ersetzt. Die Produktion Y_{AB} \rightarrow AB wird zur Grammatik hinzugefügt. Dies wiederholt man solange, bis keine Produktion mit mehr als zwei Nichtterminalen mehr vorkommt.
\varepsilon-Produktionen entfernen
Streiche die Regeln A \rightarrow \varepsilon, außer S'\rightarrow \varepsilon (falls vorhanden).
Gab es vorher genau eine Produktion mit A auf der linken Seite, so streiche das A überall auf den rechten Seiten der Produktionen.
Gab es vorher mehrere Produktionen mit A auf der linken Seite, so füge für jede Regel, die ein solches A auf der rechten Seite enthält, eine Regel hinzu, in der das A gestrichen wurde. Die Regel C \rightarrow AB wird dann beispielsweise um die Regel C\rightarrow B ergänzt.
Kettenregeln (Produktionen der Form A→B) entfernen
Wenn man eine Kettenregel, d. h. eine Produktion der Form A \rightarrow B, entfernt, fügt man für jede vorhandene Produktion der Form B \rightarrow w eine neue Produktion A \rightarrow w hinzu, falls diese keine bereits entfernte Kettenregel ergibt. w ist hierbei ein beliebiges Wort; die vorangegangenen Änderungen gewährleisten aber, dass w entweder genau ein Terminalsymbol ist oder ein Wort aus genau zwei Nichtterminalsymbolen.

Beispiel[Bearbeiten]

Es gilt die Grammatik über dem Alphabet \Sigma = \{a,b\} mit den Regeln

  • S \rightarrow ASA | aB
  • A \rightarrow B | S
  • B \rightarrow b | \varepsilon

in Chomsky Normalform zu bringen.  

1. Neue Startvariable hinzufügen

  • S_{0} \rightarrow S
  • S \rightarrow ASA | aB
  • A \rightarrow B | S
  • B \rightarrow b | \varepsilon

  2. \varepsilon-Übergänge entfernen

  • S_{0} \rightarrow S
  • S \rightarrow ASA | aB |a
  • A \rightarrow B |\varepsilon | S
  • B \rightarrow b

  Eine neue \varepsilon-Regel ist entstanden, die wiederum gleich behandelt werden muss:

  • S_{0} \rightarrow S
  • S \rightarrow ASA | AS | SA | aB |a
  • A \rightarrow B | S
  • B \rightarrow b

  3. Alle Einheits-Regeln entfernen. Diese sind A \rightarrow B, A \rightarrow S und S_{0} \rightarrow S.

  • S_{0} \rightarrow S
  • S \rightarrow ASA | AS | SA | aB |a
  • A \rightarrow S
  • B \rightarrow b
  • A \rightarrow b

  danach A \rightarrow S

  • S_{0} \rightarrow S
  • S \rightarrow ASA | AS | SA | aB |a
  • A \rightarrow ASA | AS | SA | aB |a |b
  • B \rightarrow b

  und zum Schluss S_{0} \rightarrow S

  • S_{0} \rightarrow ASA | AS | SA | aB |a
  • S \rightarrow ASA | AS | SA | aB |a
  • A \rightarrow ASA | AS | SA | aB |a |b
  • B \rightarrow b

  4. Längere Verkettungen sind nicht erlaubt, deshalb führen wir für eine zusätzliche Variable A_{1} ein und ersetzten S\rightarrow ASA durch die Regel S \rightarrow AA_{1} und A_{1}\rightarrow SA:

  • S_{0} \rightarrow AA_{1} | AS | SA | aB |a
  • S \rightarrow AA_{1} | AS | SA | aB |a
  • A \rightarrow AA_{1} | AS | SA | aB |a |b
  • A_{1} \rightarrow SA
  • B \rightarrow b

  Nun bleiben nur noch die Regel A \rightarrow aB und S \rightarrow aB. Deshalb wird eine weitere Variable U verwendet die zusammen mit der Regel U \rightarrow a das Terminalsymbol a in den genannten Regeln ersetzen kann.

  • S_{0} \rightarrow AA_{1} | AS | SA | UB |a
  • S \rightarrow AA_{1} | AS | SA | UB |a
  • A \rightarrow AA_{1} | AS | SA | UB |a |b
  • A_{1} \rightarrow SA
  • U \rightarrow a
  • B \rightarrow b

  Somit ist die Grammatik in Chomsky Normalform geschrieben.

Quellen[Bearbeiten]

  • Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa: Handbook of Formal Languages. Volume 1: Word, Language, Grammar. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-60420-0, S. 124–125