Chomsky-Normalform

Die Chomsky-Normalform (Abk.: CNF) ist in der theoretischen Informatik eine Normalform für kontextfreie Grammatiken. Sie ist nach dem Linguisten Noam Chomsky benannt und kommt beim CYK-Algorithmus zum Einsatz. Eine kontextfreie Grammatik in Chomsky-Normalform hat eine einfache Struktur der Produktionsregeln und erfüllt auch die Eigenschaften kontextsensitiver Grammatiken.

Zu jeder kontextfreien Sprache gibt es eine Grammatik in Chomsky-Normalform. Deshalb kann aus jeder kontextfreien Grammatik $G$ eine Chomsky-Normalform $G_{CNF}$ konstruiert werden, die dieselbe Sprache erzeugt. Die Grammatik $G_{CNF}$ wird dann auch eine Chomsky-Normalform der kontextfreien Grammatik $G$ genannt.

Eine Erweiterung der Chomsky-Normalform auf kontextsensitive Grammatiken stellt die Kuroda-Normalform dar.

Definition

Eine formale Grammatik $G=(V,\Sigma,P,S)$ ist in Chomsky-Normalform, wenn jede Produktion aus $P$ eine der folgenden Formen hat:

• $A \rightarrow BC$
• $A \rightarrow a$
• $S \rightarrow \varepsilon$

wobei $A$, $B$ und $C$ Nichtterminalsymbole aus $V$ sind und $a$ ein Terminalsymbol aus $\Sigma$ ist. $S$ ist das Startsymbol und $\varepsilon$ das leere Wort. Wenn die Produktion $S \rightarrow \varepsilon$ zur Grammatik gehört, dann darf $S$ nicht auf der rechten Seite einer Produktion stehen.

Lässt man bei der ersten Produktion auf der rechten Seite beliebig viele anstatt zwei Nichtterminalsymbole zu, so spricht man von einer schwachen Chomsky-Normalform.

Konstruktion einer Chomsky-Normalform

Liegt eine kontextfreie Grammatik $G=(V,\Sigma,P,S)$ vor, so lässt sich daraus schrittweise eine Grammatik $G'$ in Chomsky-Normalform generieren, die dieselbe Sprache erzeugt:

Ausnahme $S\rightarrow\varepsilon$ behandeln

Enthält die Grammatik $G$ die Regel $S\rightarrow\varepsilon$, wird ein neues Startsymbol $S'$ für $G'$ eingeführt. Anschließend erhält die neue Grammatik die Regeln $S'\rightarrow\varepsilon$ und $S'\rightarrow S$. Damit ist sichergestellt, dass die Grammatik weiterhin das leere Wort ermöglicht, zugleich das Startsymbol aber auf keiner rechten Seite vorkommt.

Eine schwache Chomsky-Normalform erzeugen

Jedem Terminalsymbol $a$ wird ein Nichtterminalsymbol $X_a$ zugeordnet. Auf der rechten Seite jeder Produktion werden sämtliche Terminalsymbole $a$ durch das entsprechende Nichtterminalsymbol $X_a$ ersetzt. Abschließend werden alle Produktionen $X_a \rightarrow a$ der Grammatik hinzugefügt.

Rechte Seiten mit mehr als zwei Nichtterminalen ersetzen

Sind auf der rechten Seite einer Produktion mehr als zwei Nichtterminale, so werden zwei benachbarte Nichtterminale $AB$ durch ein neues Nichtterminal $Y_{AB}$ ersetzt. Die Produktion $Y_{AB} \rightarrow AB$ wird zur Grammatik hinzugefügt. Dies wiederholt man solange, bis keine Produktion mit mehr als zwei Nichtterminalen mehr vorkommt.

$\varepsilon$-Produktionen entfernen

Streiche die Regeln $A \rightarrow \varepsilon$, außer $S'\rightarrow \varepsilon$ (falls vorhanden).

Für jede Regel, die ein solches $A$ auf der rechten Seite enthält, wird eine Regel hinzugefügt, in der das $A$ gestrichen wurde. Die Regel $C \rightarrow AB$ wird dann beispielsweise um die Regel $C\rightarrow B$ ergänzt.

Kettenregeln (Produktionen der Form A→B) entfernen

Wenn man eine Kettenregel, d. h. eine Produktion der Form $A \rightarrow B$, entfernt, fügt man für jede vorhandene Produktion der Form $B \rightarrow w$ eine neue Produktion $A \rightarrow w$ hinzu, falls diese keine bereits entfernte Kettenregel ergibt. $w$ ist hierbei eine beliebiges Wort; die vorangegangenen Änderungen gewährleisten aber, dass $w$ entweder genau ein Terminalsymbol ist oder ein Wort aus höchstens zwei Nichtterminalsymbolen.

Quellen

• Grzegorz Rozenberg, Arto Salomaa: Handbook of Formal Languages. Volume 1: Word, Language, Grammar. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1997, ISBN 3-540-60420-0, S. 124–125

Weblinks

• Programm zur Berechnung von Chomsky-Normalformen (Java-Applet)