Chordale Metrik

Die chordale Metrik ist eine Metrik auf der riemannschen Zahlenkugel, die mithilfe der stereografischen Projektion definiert wird.

Definition

Mit $\mathbb {S} ^{2}\subset \mathbb {R} ^{3}$ wird die in den euklidischen Raum $\mathbb {R} ^{3}$ eingebettete Sphäre bezeichnet. Sei nun $P_{N}^{-1}\colon \mathbb {C} \cup \{\infty \}\to \mathbb {S} ^{2}$ die Umkehrabbildung der stereografischen Projektion durch den Nordpol $N$ mit $P_{N}^{-1}(\infty )=N$. Für zwei Punkte $z,w\in \mathbb {C} \cup \{\infty \}$ auf der riemannschen Zahlenkugel ist die chordale Metrik $\chi$ definiert durch

$\chi (z,w):=\|P_{N}^{-1}(z)-P_{N}^{-1}(w)\|_{2}$,

wobei $\|\cdot \|_{2}$ die euklidische Norm bezeichnet.

Für Punkte $w,z\in \mathbb {C}$ ergibt sich explizit die Darstellung

$\chi (z,w)=\|P_{N}^{-1}(z)-P_{N}^{-1}(w)\|_{2}={\frac {2\cdot \|w-z\|}{{\sqrt {1+\|w\|^{2}}}{\sqrt {1+\|z\|^{2}}}}}$.

Für $w=\infty$ und $z\in \mathbb {C}$ kann die Darstellung

$d_{c}(z,\infty )=\|P_{N}^{-1}(z)-N\|_{2}={\frac {2}{\sqrt {1+\|z\|^{2}}}}$

ermittelt werden und für $w=z=\infty$ gilt

$\chi (\infty ,\infty )=\|N-N\|_{2}=0$.

Eigenschaften

Die riemannsche Zahlenkugel $\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ist bezüglich der chordalen Metrik ein kompakter metrischer Raum. Da in $B_{R}(0)$ für ein beliebiges $R>0$ die chordale Metrik und die euklidische Metrik äquivalent sind, sind Eigenschaften wie Offenheit oder Abgeschlossenheit von beschränkten Teilmengen von $\mathbb {C}$ für die beiden Metriken identisch.

Verallgemeinerung

Da es auch eine stereografische Projektion $P_{N}\colon S^{n}\to {\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}$ von der $n$-Sphäre in die Einpunktkompaktifizierung ${\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}$ von $\mathbb {R} ^{n}$ gibt, kann die obige Definition verallgemeinert werden und man erhält dadurch, dass ${\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}$ bezüglich dieser Metrik auch ein kompakter metrischer Raum ist.