Stereografische Projektion

Die stereografische Projektion (auch konforme azimutale Projektion) ist eine Zentralprojektion, die zur Abbildung von Kugelflächen in die Ebene benutzt wird. Das Projektionszentrum PZ befindet sich auf der Kugel, die Bildebene ist eine Tangentialebene durch den gegenüber liegenden Punkt TP.

Die stereografische Projektion ist zur Abbildung der Himmelskugel auf Sternkarten und der Erdoberfläche auf Kartennetzentwürfen geeignet. Ihre beiden Vorzüge, dass Winkel erhalten bleiben (Winkeltreue) und Kreise wieder als solche abgebildet werden (Kreistreue), wurden schon in der Antike entdeckt (vermutlich von Hipparchos um 130 v. Chr.) und bei der Abbildung der Himmelskugel auf dem Astrolabium ausgenutzt.

In der Kristallographie findet die stereografische Projektion praktische Anwendung zur Darstellung der Gitterebenen eines Kristalls und in der Geologie bei der Kartierung von Gesteins-Klüften.

In der theoretischen Mathematik … motiviert man den anschauungswidrigen Abschluss der komplexen Zahlenebene durch einen einzigen Punkt … (Punkt unendlich) mit Hilfe ihrer stereografischen Rückprojektion auf die Riemannsche Zahlenkugel.

Stereographische Projektion der unteren Hälfte einer Kugel-Oberfläche
und eines gegenüber der Bildebene geneigten Großkreises

Mathematische Behandlung

Abbildung der Kugel

Stereografische Projektion einer Kugel (obere Hälfte) mit Breiten- und Längenkreisen von einem Pol aus

Nachweis der Kreistreue:
Die Strahlen aus dem Projektionszentrum PZ an den Urkreis K (Durchmesserpunkte 1 und 2) bilden einen schiefen Kreiskegel, dessen zu K paralleler Schnitt K' kreisförmig ist. Die Projektionsebene K‘’ schneidet die Kegelachse gleich schräg wie der Schnitt K', weshalb die in ihr liegende Schnittfigur ebenfalls ein Kreis (Punkte 1‘’ und 2‘’) ist.

Die mathematischen Grundlagen der stereografischen Abbildung werden deutlich, wenn die abzubildenden Punkte der Kugel durch ein Koordinatensystem mit den Größen $\lambda$ für die Länge und $\varphi$ für die Breite beschrieben werden können. Ein beliebiger Punkt $A:=(\lambda,\varphi)$ der Kugeloberfläche wird durch das Projektionszentrum S auf der tangentialen Projektionsfläche als $A':=(\alpha,m)$ abgebildet.

Die zweidimensionalen Kartenkoordinaten $\alpha$ und $m$ des Punktes $A$ in der Projektionsfläche werden dann über folgende Abbildungsgleichungen gewonnen:

Für das Azimut (Richtung vom willkürlich festgelegten Bezugsmeridian α=0 der Kartenebene zum jeweiligen Kartenpunkt) gilt

$\mathbf{\alpha = \lambda }$

und für den Abstand m des Kartenpunktes

$m = 2 \cdot r \cdot \tan \frac{\delta}{2}$, wobei gilt: $\delta = \frac{\pi}{2} - \varphi$

Werden nun der Berührungspunkt der Abbildungsebene und das Projektionszentrum als Pole verstanden, so stellen die Kurven

δ = const und m = const die Breitenkreise und

α = λ = const die polschneidenden Meridiane eines geografischen Koordinatensystems dar.

Die Längenverzerrung in Richtung eines Meridianes beträgt auf der Projektion der Einheitskugel

$h = \frac{1}{\cos ^{2} \delta /2}$,

Die zugehörige Längenverzerrung in Richtung des Breitenkreises ist k = h wegen der Winkeltreue der Abbildung. Die Längenverzerrung nimmt mit wachsendem Winkel δ deutlich zu:

δ = 0° : h = k = 1,000

δ = 30°: h = k = 1,072

δ = 60°: h = k = 1,333

δ = 90°: h = k = 2,000

Deshalb bleiben die stereografischen Abbildungen in der Praxis auf δ ≤ 90° beschränkt.

Weitere Besonderheiten der Stereografischen Projektion sind:

Das Bild des Projektionszentrums liegt im Unendlichen. Alle Kreise auf der Kugeloberfläche werden als Kreise abgebildet (Kreistreue). Somit werden auch die für die Navigation wichtigen Orthodrome (Abschnitte der Großkreise) nicht als Gerade, sondern als Kreise abgebildet. Die Meridiane durch das Projektionszentrum werden als Kreise mit unendlich großem Radius und somit als Gerade abgebildet.

Verallgemeinerung auf ℝⁿ

Die oben beschriebene Projektion ist der Spezialfall der allgemeinen stereografischen Projektion: Im dreidimensionalen Raum $\mathbb{R}^{3}$ wird die zweidimensionale Kugeloberfläche $S_{1}^{2}\left( (0, 0, 1) \right)$ auf die Kartenebene und somit in den zweidimensionalen Raum $\mathbb{R}^{2}$ abgebildet. Die allgemeine Abbildung sieht wie folgt aus:

$\sigma : \mathbb{R}^{n+1} \supset S_{1}^{n}\left( (0, \ldots, 0, 1) \right) \backslash \{ \left(0, \ldots, 0 , 2\right) \} \to \mathbb{R}^n$

$\sigma \left(x_1, x_2, \ldots, x_{n+1}\right) = \left(\frac{2x_1}{2-x_{n+1}}, \frac{2x_2}{2-x_{n+1}}, \ldots, \frac{2x_n}{2-x_{n+1}}\right)$

Es ist jedoch auch möglich, das Urbild dieser Funktion so zu wählen, dass sein Äquator die Projektions-Hyperebene schneidet:

Bei dieser Variante der stereografischen Projektion steht die Kugel nicht auf der (Hyper-)Ebene, sondern schneidet sie.

$P_N : \mathbb{R}^{n+1} \supset \mathbb{S}^{n} \backslash \{ \left(0, \ldots, 0 , 1\right) \} \to \mathbb{R}^n$

$P_N \left(x_1, x_2, \ldots, x_{n+1}\right) = \left(\frac{x_1}{1-x_{n+1}}, \frac{x_2}{1-x_{n+1}}, \ldots, \frac{x_n}{1-x_{n+1}}\right)$

Diese Abbildung ist für den Punkt $N := (0, \ldots , 0, 1) \in \R^{n+1}$, genannt der Nordpol, natürlich nicht definiert. Betrachtet man die Abbildung $P_S$, die $x_{n+1}+1$ statt $1-x_{n+1}$ im Nenner hat, dann wird die Sphäre bis auf den Südpol abgebildet.

Ändert man das Urbild der stereographischen Projektion auf diese Weise, so erhält man durch die beiden Abbildungen $P_s$ und $P_N$ einen Atlas (siehe Eigenschaften dieser Abbildungen) der n-Sphäre.

Herleitung

Exemplarisch wird hier die stereographische Projektion durch den Nordpol hergeleitet. Für die Projektion durch den Südpol kann die gleiche Herleitung verwendet werden. Die stereografische Projektion durch den Nordpol soll einen Punkt $x$ der Sphäre auf seinen Bildpunkt $y$ in der Hyperebene $\{ x \in \R^{n+1} \colon x_{n+1} = 0\}$ abbilden, sodass der Bildpunkt $y$ auf der Geraden durch den Nordpol und $x$ liegt.

Diese Gerade kann parametrisiert werden durch

$g(t) := t N + (1 - t) x = \left( (1-t)x_1, \ldots, (1-t)x_{n+1} + t\right)$.

Diese Gerade schneidet die Ebene $\{ x \in \R^{n+1} \colon x_{n+1} = 0\}$, wo

$(1-t)x_{n+1} + t = 0 \Leftrightarrow (1-x_{n+1}) t + x_{n+1} = 0 \Leftrightarrow 1 - t = 1 + \frac{x_{n+1}}{1-x_{n+1}} = \frac{1}{1 - x_{n+1}}$

Daraus folgt, dass die Koordinaten des Schnittpunktes von $g(t)$ und $\{ x \in \R^{n+1} \colon x_{n+1} = 0\}$ durch

$\left(\frac{x_1}{1-x_{n+1}}, \frac{x_2}{1-x_{n+1}}, \ldots, \frac{x_n}{1-x_{n+1}}, 0\right)$

gegeben sind. Betrachtet man nun die Ebene $\{ x \in \R^{n+1} \colon x_{n+1} = 0\}$ als $\R^n$, so erhält man die stereografische Projektion durch den Nordpol.

Umkehrfunktionen

Zu den stereographischen Projektionen durch Nord- bzw. Südpol existieren die stetigen Umkehrfunktionen

$P^{-1}_N(y_1, \ldots, y_n) = \left(\frac{2y_1}{\|y\|^2 + 1}, \frac{2y_2}{\|y\|^2 + 1}, \ldots, \frac{2y_n}{\|y\|^2 + 1}, \frac{\|y\|^2 - 1}{\|y\|^2 + 1}\right)$ und

$P^{-1}_S(y_1, \ldots, y_n) = \left(\frac{2y_1}{\|y\|^2 + 1}, \frac{2y_2}{\|y\|^2 + 1}, \ldots, \frac{2y_n}{\|y\|^2 + 1}, \frac{1 - \|y\|^2}{\|y\|^2 + 1}\right)$

Daher sind $P_N$ und $P_S$ Homöomorphismen. Man hat mit der Projektion aus dem Nordpol und der aus dem Südpol einen möglichen Atlas gefunden. Damit ist gezeigt, dass die $n$-Sphäre eine $n$-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit ist.

Kreistreue

Sei $E: \sum_{i=1}^{n+1} a_i \cdot x_i = b$ eine Hyperebene in $\R^n$. Ist $x = (x_1, \ldots, x_{n+1})^t \in \mathbb S^n \cap E$ und $a = (a_1, \ldots, a_{n+1})$, so folgt aus der Ebenengleichung von $E$ sowie der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung:

$1 = \|\frac{a}{\|a\|}\| \cdot \|x\| \ge \frac{a}{\|a\|} \cdot x \Rightarrow a \cdot x \le \|a\| \Leftrightarrow \sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}a_i^2} \ge \sum_{i=1}^{n+1} a_i x_i = b \Rightarrow \frac{a_{n+1} + b}{a_{n+1}-b} + \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{(a_{n+1}-b)^2} \ge 0$

Das Bild der Punkte der Ebene durch $P_N$ erfüllt die Gleichung

$a_1 \frac{2y_1}{\|y\|^2+1} + \cdots + a_n \frac{2y_n}{\|y\|^2+1} + a_{n+1}\frac{\|y\|^2 - 1}{\|y\|^2 + 1} = b \Leftrightarrow \sum_{i=1}^n \left(y_i - \frac{-a_i}{a_{n+1} - b}\right)^2 = \frac{a_{n+1} + b}{a_{n+1}-b} + \sum_{i=1}^n \frac{a_i^2}{(a_{n+1}-b)^2}$

Dies ist eine Sphärengleichung. Daher bildet $P_N$ alle Schnitte von $\mathbb S^n$ und einer beliebigen Hyperebene, also insb. Sphären, die in dieser Hyperebene liegen, auf Sphären in $\R^n$ ab.

Kompaktifizierung der komplexen Zahlenebene

Die stereographische Projektion kann unter anderem zur Kompaktifizierung der komplexen Zahlenebene $\C$ herangezogen werden. Man erweitert $\C \cong \R^2$ um einen zusätzlichen Punkt, welcher hier mit $\infty$ bezeichnet wird. Die Abbildung $P_N$ wird mittels der Abbildung

$\begin{align} \hat{P_N} : \mathbb{S}^2 &\to \hat{\C} = \C \cup \{ \infty \}\\ (x_1,x_2,x_3) &\mapsto \begin{cases} P_N(x_1,x_2,x_3), & \mathrm{f{\ddot u}r}\ (x_1,x_2,x_3) \neq (0, 0 ,1)\\ \infty, & \mathrm{f{\ddot u}r}\ (x_1,x_2,x_3) = (0,0,1) \end{cases} \end{align}$

fortgesetzt. Man nennt nun $U \subset \hat{\C} = \C \cup \{ \infty \}$ offen genau dann, wenn $\sigma^{-1}(U)$ offen in $\mathbb{S}^2$ ist. Die Abbildung $\hat{\sigma}$ wird somit zu einem Homöomorphismus und die Menge $\hat{\C}$ heißt Ein-Punkt-Kompaktifizierung von $\C$.

Anwendungsbeispiele

Stereographische Projektion des nördlichen Sternen-Himmels auf einem Astrolabium

Drehbare Sternkarte (hier in der heute meistens verwendeten, im Ergebnis ähnlichen mittabstandstreuen Azimutalprojektion). Die Bezeichnung Planisphere wurde vom Astrolabium übernommen.

Liegt die Abbildungsebene auf dem Erdpol, so werden die Meridiane als Gerade und die Breitenkreise als konzentrische Kreise um den Pol abgebildet. Der hervorgehobene Kreisinhalt ist die Hälfte der Erdoberfläche, er endet am Äquator.

Liegt die Abbildungsebene auf dem Äquator, so werden die Meridiane und die Breitenkreise als Kreise abgebildet. Der hervorgehobene Kreisinhalt ist die Hälfte der Erdoberfläche.

Sternkarten

Da die Abbildung winkeltreu ist und Kreise wieder als solche abbildet, kann die stereografische Projektion für Sternkarten verwendet werden. Eine historische Anwendung ist die Abbildung des Sternen-Himmels auf einem Astrolabium. Das abgebildete Astrolabium enthält den nördlichen Himmel. Die Sterne (inklusive Tierkreis, Rete) sind um das Bild des nördlichen Himmelspols (Polarstern) drehbar. Der momentane Ort der Sterne ist auf der fixen Unterlage (Tympanon) ablesbar. Auf ihr ist die Safiha eingraviert, die aus den zum Zenit konzentrischen Höhenkreisen (Almukantarate), dem Horizont und den dazu rechtwinkligen Azimut-Keisen besteht.

Kartenprojektion

Bei der polaren stereografischen Projektion (der Berührpunkt der Abbildungsebene liegt im Nord- oder Südpol) werden die Meridiane des Geografischen Koordinatensystems der Erde als Geraden durch den Erdpol abgebildet(siehe Bild unten links). Die Navigationselemente Geografische Länge und Geografische Breite werden daher durch diese Projektionsart für Navigationszwecke an den Polen anschaulich wiedergegeben. Die Abbildung der Erdpole im Rahmen der Internationalen Weltkarte erfolgt ebenfalls über die Stereografische Projektion.

Wird der Berührungspunkt der Abbildungsebene in einen beliebigen Punkt der Erde, zum Beispiel in eine Hafenstadt gelegt, so werden die Längen- und Breitenkreise als beliebige Kreisbögen abgebildet. Allerdings kann die Richtung zu einem beliebigen Zielhafen als Gerade eingetragen werden. Diese auf der winkeltreue basierende Eigenschaft zusammen mit der leichten zeichnerischen Herstellbarkeit des Kartennetzentwurfes wurden bereits im Altertum erkannt und für Karten zur Navigation ebenso wie für Sternkarten genutzt.

In der Geophysik werden Karten über die Verteilung von Kräften oder Linienstrukturen auf der Erdkugel auf einem stereografischen Netzentwurf aufgebaut.Im Allgemeinen beschränkt man die Abbildung daher auf maximal eine Halbkugel.

Geometrie ebener Kurven

Gegeben sei eine beliebige Kurve $r(\varphi)$ in der Ebene in expliziter Polarkoordinatendarstellung. Nun lege man die Projektionskugel mit Radius $R$ auf den Koordinatenursprung, den Tangentialpunkt TP. Durch das Projektionszentrum – der auf der Kugeloberfläche gegenüberliegende Punkt PZ – legt man nun eine zweite Ebene, die parallel zur ursprünglichen Ebene liegt (also durch Parallelverschiebung der ersten Ebene senkrecht zu selbiger um $2R$ entsteht). Nun werde mittels stereografischer Projektion in PZ, die gegebene Kurve in der ersten Ebene auf die Sphäre projiziert. Indem der ursprüngliche Punkt TP als neuer Projektionszentrum genutzt wird, wird durch eine weitere stereografische Projektion die Kurve auf der Sphäre auf die zweite Ebene projiziert – sie sei dort in Polarkoordinaten durch $\rho(\varphi)$ beschrieben. Dann gilt $\rho(\varphi) = \tfrac{4R^2}{r(\varphi)}$. Die gegebene Kurve ist also durch diese doppelte stereografische Projektion am Kreis mit Radius $2R$ in der (parallelen) Bildebene invertiert worden.

Kristallographie

Anwendung findet die stereografische Projektion auch in der Kristallographie zur Darstellung der Gitterebenen eines Kristalls, zum Beispiel der eines Diamants.

Siehe auch

• Planisphäre
• Universale Polare Stereografische Projektion
• Wulff’sches Netz

Literatur

Quellen für die mathematischen Erläuterungen:

• Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-54723-1

Allgemeine Beschreibung n-dim. Sphäre: Abschnitt 1.3.II, konformität: Abschnitt 3.1.

• Günter Scheja, Uwe Storch: Lehrbuch der Algebra. Band 1. 2. überarbeitete und erweiterte Auflage. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12203-0.

Projektive Darstellung: Abschnitt V.H Bsp. 4

• Günther Bollman, Günther Koch (Hrsg.): Lexikon der Kartographie und Geomatik. Band 1: A bis Karti. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg u. a. 2001, ISBN 3-8274-1055-X.

Weblinks

 Commons: Stereographic projection – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• animierte Erklärung der stereografischen Projektion deutsch
• Interaktive dreidimensionale Darstellung der stereografischen Projektion mittels Java-Applet (englisch)
• Vergleich verschiedener Projektionen (englisch)