Sphäre (Mathematik)

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2-Sphäre

Unter einer Sphäre versteht man in der Mathematik die Oberfläche einer Kugel und die Verallgemeinerung davon auf beliebig hohe Dimensionen. Von erheblicher Bedeutung für viele Untersuchungen ist hierbei die Einheitssphäre, also die Oberfläche der Einheitskugel im n-dimensionalen euklidischen Raum. Allgemeiner wird, insbesondere in Topologie und Differentialgeometrie, auch jeder zur Kugeloberfläche homöomorphe topologische Raum als Sphäre bezeichnet, siehe Topologische Sphäre.

Definition[Bearbeiten]

Einheitssphäre[Bearbeiten]

Die Einheitssphäre S^{n-1} ist die Menge der Punkte im n-dimensionalen euklidischen Raum \R^n mit Abstand eins vom Ursprung. Sie ist definiert als

S^{n-1} := \{ x\in \R^n \colon \| x \|_2 = 1 \},

wobei \|\cdot\|_2 die euklidische Norm ist. Die Einheitssphäre S^{n-1} kann als Rand der Einheitskugel B^n aufgefasst werden und wird daher auch mit \partial B^n bezeichnet.

Allgemeine Sphären[Bearbeiten]

Ist nun z \in \R^n ein beliebiger Punkt im n-dimensionalen Raum, dann ist die (n-1)-Sphäre S_r^{n-1}(z) mit Radius r um diesen Punkt z definiert durch

S_r^{n-1}(z) := \{ x\in \R^n \colon \| x - z \|_2 = r \}.

Jede Sphäre S_r^{n-1}(z) entsteht aus der zugehörigen Einheitssphäre S^{n-1} durch Skalierung mit dem Faktor r und Translation um den Vektor z.

Beispiele[Bearbeiten]

Der abgeschlossenen n-dimensionalen Einheitskugel des \R^n lässt sich jeweils eine (n-1)-dimensionale Sphäre als Randmannigfaltigkeit zuordnen:

  • Die 1-Kugel B^1 ist das Intervall [−1,1]. Dementsprechend besteht die 0-Sphäre S^0 nur aus den beiden Punkten +1 und −1. Sie ist als einzige Sphäre nicht zusammenhängend.
  • Die 3-Kugel B^3 ist die Vollkugel im dreidimensionalen Raum. Die 2-Sphäre S^2 ist die Oberfläche der Einheitskugel. Sie ist einfach zusammenhängend – wie alle höherdimensionalen Sphären. Sie wird durch Kugelkoordinaten beschrieben.
  • Die 3-Sphäre S^3 ist nicht mehr anschaulich vorstellbar. Sie ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum \mathbb R^4. Die 3-Sphäre lässt sich als Menge der Quaternionen vom Betrag 1 auffassen und erhält durch deren Multiplikation eine Gruppenstruktur, welche gerade SU(2) entspricht.

Inhalt und Volumen[Bearbeiten]

Der Flächeninhalt beziehungsweise das Volumen einer beliebigen (n−1)-Sphäre vom Radius r im euklidischen Raum lässt sich mit der Formel

\operatorname{vol}( S_r^{n-1} )=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}r}r^nV_n=nr^{n-1}V_n={2\pi^\frac{n}{2}r^{n-1}\over\Gamma(\frac{n}{2})}

berechnen, wobei V_n das Volumen der n-dimensionalen Einheitskugel und \Gamma die Gammafunktion bezeichnen.

Die Sphäre in der Topologie und Geometrie[Bearbeiten]

Hauptartikel: Topologische Sphäre

In der Mathematik, insbesondere in Differentialgeometrie und Topologie, wird der Begriff Sphäre in der Regel mit einer anderen (allgemeineren) Bedeutung verwendet: die n-dimensionale Sphäre S^n ist die n-dimensionale topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur Einheitssphäre im \R^{n+1} ist.

Eine wie oben definierte Sphäre S_r^{n-1}(z) := \{ x\in \R^n \colon \| x - z \|_2 = r \} mit der von der euklidischen Metrik des \R^n induzierten riemannschen Metrik wird in der Differentialgeometrie als runde Sphäre bezeichnet.

Verallgemeinerungen[Bearbeiten]

Sphären in normierten Räumen[Bearbeiten]

Einheitssphären bezüglich der Maximumsnorm und der Summennorm in drei Dimensionen

Allgemeiner lässt sich der Begriff der Sphäre in normierten Räumen fassen. Ist V ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen mit zugehöriger Norm \| \cdot \|, dann ist die Normsphäre S_r(v) um den Vektor v \in V mit Radius r definiert als die Menge[1]

S_r(v) := \{ w \in V \colon \| v - w \| = r \}.

Die so entstehenden Sphären sind zwar punktsymmetrisch bezüglich v, aber nicht mehr notwendigerweise rund (wie im Fall der euklidischen Norm), sondern können beispielsweise auch Ecken und Kanten besitzen (wie im Fall der Maximumsnorm und der Summennorm). Ist v = 0 der Nullvektor und der Radius r=1, so spricht man wieder von einer Einheitssphäre. Alle Normsphären entstehen aus der zugehörigen Einheitssphäre durch Skalierung mit dem Faktor r und Translation um den Vektor v. Die Einheitssphäre ist wiederum der Rand der zugehörigen Einheitskugel.

Sphären in metrischen Räumen[Bearbeiten]

Noch weiter lassen sich Sphären in metrischen Räumen fassen. Ist X eine beliebige Menge mit einer Metrik d, dann ist die metrische Sphäre S_r(x) um den Punkt x \in X mit Radius r definiert als die Menge[2]

S_r(x) := \{ y \in X \colon d(x,y) = r \}.

Im Gegensatz zu Sphären in normierten Räumen sind metrische Sphären im Allgemeinen nicht translationsinvariant und dementsprechend hat die metrische Einheitssphäre keine besondere Bedeutung mehr. In bestimmten metrischen Räumen kann die Einheitssphäre sogar leer sein. Weiterhin kann eine metrische Sphäre im Allgemeinen nicht mehr als der Rand der zugehörigen metrischen Kugel angesehen werden.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Spheres – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Wolfgang Walter: Analysis 2. Springer, 2002, S. 17.
  2.  Rolf Walter: Einführung in die Analysis I. de Gruyter, 2007, S. 272.