Sphäre (Mathematik)

2-Sphäre

Unter einer Sphäre versteht man in der Mathematik die Oberfläche einer Kugel und die Verallgemeinerung davon auf beliebig hohe Dimensionen. Von erheblicher Bedeutung für viele Untersuchungen ist hierbei die Einheitssphäre, also die Oberfläche der Einheitskugel im n-dimensionalen euklidischen Raum.

Definition

Einheitssphäre

Die Einheitssphäre $S^{n-1}$ ist die Menge der Punkte im $n$-dimensionalen euklidischen Raum $\R^n$ mit Abstand eins vom Ursprung. Sie ist definiert als

$S^{n-1} := \{ x\in \R^n \colon \| x \|_2 = 1 \}$,

wobei $\|\cdot\|_2$ die euklidische Norm ist. Die Einheitssphäre $S^{n-1}$ kann als Rand der Einheitskugel $B^n$ aufgefasst werden und wird daher auch mit $\partial B^n$ bezeichnet.

Allgemeine Sphären

Ist nun $z \in \R^n$ ein beliebiger Punkt im $n$-dimensionalen Raum, dann ist die $(n-1)$-Sphäre $S_r^{n-1}(z)$ mit Radius $r$ um diesen Punkt $z$ definiert durch

$S_r^{n-1}(z) := \{ x\in \R^n \colon \| x - z \|_2 = r \}$.

Jede Sphäre $S_r^{n-1}(z)$ entsteht aus der zugehörigen Einheitssphäre $S^{n-1}$ durch Skalierung mit dem Faktor $r$ und Translation um den Vektor $z$.

Beispiele

Der abgeschlossenen n-dimensionalen Einheitskugel des $\R^n$ lässt sich jeweils eine (n-1)-dimensionale Sphäre als Randmannigfaltigkeit zuordnen:

• Die 1-Kugel $B^1$ ist das Intervall [−1,1]. Dementsprechend besteht die 0-Sphäre $S^0$ nur aus den beiden Punkten +1 und −1. Sie ist als einzige Sphäre nicht zusammenhängend.

• Die 2-Kugel $B^2$ ist die Kreisscheibe mit Radius 1 in der Ebene. Die 1-Sphäre $S^1$ ist die Einheitskreislinie, also der Rand des Einheitskreises. Die Einheitskreislinie ist zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend. Sie lässt sich durch komplexe Zahlen vom Betrag 1 beschreiben und erhält durch deren Multiplikation eine Gruppenstruktur, die Kreisgruppe.

• Die 3-Kugel $B^3$ ist die Vollkugel im dreidimensionalen Raum. Die 2-Sphäre $S^2$ ist die Oberfläche der Einheitskugel. Sie ist einfach zusammenhängend – wie alle höherdimensionalen Sphären. Sie wird durch Kugelkoordinaten beschrieben.

• Die 3-Sphäre $S^3$ ist nicht mehr anschaulich vorstellbar. Sie ist eine 3-dimensionale Untermannigfaltigkeit im 4-dimensionalen Raum $\mathbb R^4$. Die 3-Sphäre lässt sich als Menge der Quaternionen vom Betrag 1 auffassen und erhält durch deren Multiplikation eine Gruppenstruktur, welche gerade $SU(2)$ entspricht.

Inhalt und Volumen

Der Flächeninhalt beziehungsweise das Volumen einer beliebigen (n−1)-Sphäre vom Radius $r$ im euklidischen Raum lässt sich mit der Formel

$\operatorname{vol}( S_r^{n-1} )=\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}r}r^nV_n=nr^{n-1}V_n={2\pi^\frac{n}{2}r^{n-1}\over\Gamma(\frac{n}{2})}$

berechnen, wobei $V_n$ das Volumen der $n$-dimensionalen Einheitskugel und $\Gamma$ die Gammafunktion bezeichnen.

Die Sphäre in der Topologie und Geometrie

Die Sphäre ist ein wichtiges Objekt in den mathematischen Teilgebieten der Topologie des $\mathbb R^n$ und Differentialgeometrie. Aus Sicht dieser mathematischen Gebiete ist die Sphäre eine Mannigfaltigkeit. Sie ist deshalb so wichtig, weil sie das einfachste Beispiel einer Mannigfaltigkeit ist, das nichttrivial ist.

Sphären in der Topologie

• Unter einen topologischen Sphäre versteht man eine topologische Mannigfaltigkeit, die homöomorph zur oben beschriebenen euklidischen Sphäre $S^n$ ist. Aus Sicht der Topologie betrachtet ist beispielsweise die Oberfläche eines Würfels also auch eine 2-Sphäre.

• Man erhält eine topologische $n$-Sphäre, indem man die Ränder zweier $n$-Kugeln orientierungsumkehrend miteinander verklebt.

• Die $n$-Sphäre ist auch gerade die Alexandroff-Kompaktifizierung des $\R^n$ und daher kompakt. Ebenso entsteht sie durch Zusammenkleben des Randes einer $n$-dimensionalen abgeschlossenen Vollkugel (hier folgt die Kompaktheit daraus, dass das Zusammenkleben (als Finaltopologiebildung) stetig ist und daher die kompakte abgeschlossene Vollkugel auf ein Kompaktum abbildet).

• Die $(n-1)$-Sphäre $S^{n-1}$ des $\mathbb R^n$ ist homöomorph zum geometrischen Rand eines jeden n-Simplexes und ist in diesem Sinne ein krummes Polyeder.

• Die $S^n \subset \R^{n+1}$ ist zu keiner Teilmenge eines $\mathbb R^m (m \leq n)$ homöomorph, wie sich aus dem Borsukschen Antipodensatz ergibt. Dies wiederum impliziert die sogenannte Invarianz der Dimension.

• Die $S^{n-1}$ ist kein Retrakt von $B^n = \{x \in \R^n  : \|x\|_2 \leq 1\}$. Das bedeutet, dass es keine stetige Abbildung der n-dimensionalen Einheitskugel $B^n$ auf die (n-1)-dimensionale Sphäre $S^{n-1}$ gibt, welche die Punkte der $S^{n-1}$ fix lässt. Diese Aussage ist gleichwertig mit der Aussage des Brouwerschen Fixpunktsatzes.

Differenzierbare Strukturen

Im Bereich der Differentialtopologie wird die Sphäre noch mit einer differenzierbaren Struktur ausgestattet, so dass man von differenzierbaren Abbildungen auf der Sphäre sprechen kann. Auf einer topologischen Mannigfaltigkeit ist es in der Regel möglich unterschiedliche nicht kompatible differenzierbare Strukturen zu definieren. Die stereografischen Projektion beispielsweise induziert die auf der Sphäre meist betrachtete differenzierbare Struktur. Bei der Sphäre hängt es von der Dimension ab, ob es noch weitere differenzierbare Strukturen gibt. Der Mathematiker John Milnor beschäftigte sich mit diesem Thema und zeigte die Existenz von sogenannten exotischen Sphären.

Aussagen über Sphären

Poincaré-Vermutung

→ Hauptartikel: Poincaré-Vermutung

Die Poincaré-Vermutung lautet:

Jede geschlossene einfach zusammenhängende 3-dimensionale Mannigfaltigkeit ist homöomorph zur 3-Sphäre

Darüber hinaus gibt es noch eine Verallgemeinerung der Vermutung, auf n-dimensionale Mannigfaltigkeiten in der folgenden Form:

Jede geschlossene n-Mannigfaltigkeit mit dem Homotopietyp einer n-Sphäre ist zur n-Sphäre homöomorph.

Für den Fall n=3 stimmt diese verallgemeinerte Vermutung mit der ursprünglichen Poincaré-Vermutung überein. Für den Fall $n > 4$ wurde sie 1960 von Stephen Smale bewiesen, für den Fall $n=4$ 1982 von Michael Freedman. Der russische Mathematiker Grigori Perelman bewies die Poincaré-Vermutung im Jahre 2002, wofür ihm die Fields-Medaille zuerkannt wurde. Diese lehnte er jedoch ab.

Exotische Sphären

Der US-amerikanische Mathematiker John Milnor fand 1956 heraus, dass es differenzierbare Mannigfaltigkeiten gibt, die homöomorph zur 7-Sphäre sind, ihre differenzierbaren Strukturen jedoch nicht kompatibel miteinander sind. Zusammen mit dem Schweizer Mathematiker Michel Kervaire zeigte er, dass für die 7-Sphäre $S^7$ 15 verschiedene differenzierbare Strukturen (28 bei Berücksichtigung der Orientierung) existieren.

Sphärensatz

→ Hauptartikel: Sphärensatz

Die Mathematiker Harry Rauch, Wilhelm Klingenberg und Marcel Berger konnten zeigen, dass bei bestimmten Voraussetzungen an die Krümmung kompakter riemannscher Mannigfaltigkeit diese homöomorph zur Sphäre sind, es sich also um topologische Sphären handelt. Diese Aussage wurde noch verschärft. Es konnte sogar gezeigt werden, dass diese riemannsche Mannigfaltigkeit dann diffeomorph zur Sphäre mit der normalen differenzierbaren Struktur ist.

Topologische Gruppen

Die einzigen Sphären, die gleichzeitig eine Gruppenstruktur haben und damit eine topologische Gruppe bilden, sind die 0-, 1- und die 3-Sphäre. Dabei entspricht der 0-Sphäre die Gruppe $\mathbb Z/2\mathbb Z$, der 1-Sphäre $S^1$ die Lie-Gruppe U(1) und der 3-Sphäre $S^3$ die Lie-Gruppe SU(2).

Die 7-Sphäre ist zwar keine topologische Gruppe, aber sie ist eine echte Moufang-Loop, da sie durch die Oktonionen mit dem Betrag 1 beschrieben werden kann.

Parallelisierbarkeit

Die 1-, 3- und 7-Sphäre sind die einzigen Sphären, die parallelisierbar sind. Aus dem Satz vom Igel folgt, dass eine Sphäre mit gerader Dimension nicht parallelisierbar ist. Die Ausnahmestellung der 1-, 3- und 7-Sphäre hängt allerdings mit der Existenz der Divisionsalgebren zusammen.

Verallgemeinerungen

Sphären in normierten Räumen

Einheitssphären bezüglich der Maximumsnorm und der Summennorm in drei Dimensionen

Allgemeiner lässt sich der Begriff der Sphäre in normierten Räumen fassen. Ist $V$ ein Vektorraum über den reellen oder komplexen Zahlen mit zugehöriger Norm $\| \cdot \|$, dann ist die Normsphäre $S_r(v)$ um den Vektor $v \in V$ mit Radius $r$ definiert als die Menge

$S_r(v) := \{ w \in V \colon \| v - w \| = r \}$.

Die so entstehenden Sphären sind zwar punktsymmetrisch bezüglich $v$, aber nicht mehr notwendigerweise rund (wie im Fall der euklidischen Norm), sondern können beispielsweise auch Ecken und Kanten besitzen (wie im Fall der Maximumsnorm und der Summennorm). Ist $v = 0$ der Nullvektor und der Radius $r=1$, so spricht man wieder von einer Einheitssphäre. Alle Normsphären entstehen aus der zugehörigen Einheitssphäre durch Skalierung mit dem Faktor $r$ und Translation um den Vektor $v$. Die Einheitssphäre ist wiederum der Rand der zugehörigen Einheitskugel.

Sphären in metrischen Räumen

Noch weiter lassen sich Sphären in metrischen Räumen fassen. Ist $X$ eine beliebige Menge mit einer Metrik $d$, dann ist die metrische Sphäre $S_r(x)$ um den Punkt $x \in X$ mit Radius $r$ definiert als die Menge

$S_r(x) := \{ y \in X \colon d(x,y) = r \}$.

Im Gegensatz zu Sphären in normierten Räumen sind metrische Sphären im Allgemeinen nicht translationsinvariant und dementsprechend hat die metrische Einheitssphäre keine besondere Bedeutung mehr. In bestimmten metrischen Räumen kann die Einheitssphäre sogar leer sein. Weiterhin kann eine metrische Sphäre im Allgemeinen nicht mehr als der Rand der zugehörigen metrischen Kugel angesehen werden.

Literatur

•  I. S. Sharadze: Sphere. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopaedia of Mathematics. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 1-4020-0609-8 (Online).

•  Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.

•  Egbert Harzheim: Einführung in die Kombinatorische Topologie (= DIE MATHEMATIK. Einführungen in Gegenstand und Ergebnisse ihrer Teilgebiete und Nachbarwissenschaften). Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1978, ISBN 3-534-07016-X (MR0533264).

•  Wolfgang Kühnel: Differentialgeometrie. Kurven - Flächen - Mannigfaltigkeiten. 5., aktualisierte Auflage. B. G. Teubner Verlag, Wiesbaden 2010, ISBN 978-3-8348-1233-9.

•  John M. Lee: Introduction to Topological Manifolds. 2. Auflage. Springer-Verlag, New York [u.a.] 2011, ISBN 978-1-4419-7939-1.

•  John M. Lee: Introduction to Smooth Manifolds. Springer-Verlag, New York [u.a.] 2003, ISBN 0-387-95495-3.

•  Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.

•  Stephen Willard: General Topology. Addison-Wesley, Reading, Massachusetts u. a. 1970.

•  Tammo tom Dieck: Algebraic Topology. European Mathematical Society, Berlin [u.a.] 2008, ISBN 978-3-03719-048-7.

Weblinks

 Commons: Sphere – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien