Diskussion:Hankel-Transformation

Delta-Distribution

In der Tabelle ist zu lesen, dass die Hankel-Transformierte der konstanten Eins-Funktion die Delta-Distribution geteilt durch $u$ ist. An dieser Stelle fehlen mir doch einige Informationen. Auf welcher Menge ist $u$ definiert\ Dazu finde ich in der Definition leider nichts, das wäre auch wichtig für andere Transformationspaare. Ich vermute mal ähnlich wie bei der Laplace-Transformation für alle u, für die das Integral existiert? Die nächste Unklarheit für mich ist, wie ist die Division durch u zu verstehen? An den Stellen $u\neq 0$ ist die Division wohl uninteressant und an der Stelle $u=0$ ist mein Verständnisproblem. Außerdem ist mir unklar wie überhaupt bei der gegebenen Definition eine Distribution als Ergebnis auftauchen kann. Ich gehe vielmehr davon aus, dass man auf ein divergentes Integral stößt und man eine Hankel-Transformation für Distributionen analog zur Fourier-Laplace-Transformation beziehungsweise analog zur Fourier-Transformation braucht. Grüße --Christian1985 (Diskussion) 15:16, 25. Okt. 2011 (CEST)

Hi Christian1985, neben Tippfehlern meinerseits, hab ich den Inhalt mal ganz grob als erste Version erstellt, ohne besonderen Tiefgang, da auch mir, ehrlich gesagt, nicht alles klar ist. Integral muss dabei existieren, das stimmt. Grundgerüst der Tabelle, wie erkennbar von en-wp, und punktuell z.b. mit Tabellen wie Poularikas - The Handbook of Formulas and Tables for Signal Processing - CRC-Press oder aus dem Andrews/Shivamoggi, Chapter 7 bzw. Appendix (Referenz im Artikel) in Teilen gegengeprüft und modifiziert. Höherer Ordnung als 0 hab ich weggelassen, auch da das hier kein Tabellenbuch werden soll. Es dürften da Nebenbedingungen fehlen oder überhaupt was falsch sein, wohl weil ich was übersehen habe oder das implizit irgendwo vereinbart ist und der Überblick fehlt. Ggf die Zeile mit der delta-distribution ganz raus, das kann ich ad hoc auch nicht nachvollziehen.--wdwd 19:26, 25. Okt. 2011 (CEST)

Danke für Deine Antwort. Ich schaue mal, ob ich die Tage noch ein paar Ergänzungen vornehmen kann. --Christian1985 (Diskussion) 00:06, 26. Okt. 2011 (CEST)

Ich habe den Artikel mal um die Distributionentheorie erweitert, ich hoffe das war in Ordnung so. Ich denke die Beziehung zur Fourier-Transformation sollte noch unbedingt dargestellt werden. --Christian1985 (Diskussion) 15:45, 26. Okt. 2011 (CEST)

Dieser Abschnitt kann archiviert werden. --Christian1985 (Disk) 22:21, 8. Jan. 2013 (CET)

Beispiele

Ich denke dem Artikel würden ein paar konkrete Beispiele nicht schaden. Ich blicke leider nicht durch, wie man konkret eine Hankel-Transformation bestimmt, beziehungsweise wie man bei der Integraltransformation mit der Bessel-Funktion verfährt. Ich könnte bis jetzt nur die Hankel-Transformation der Delta-Distribution erklären.--Christian1985 (Diskussion) 15:52, 26. Okt. 2011 (CEST)

Hi Christian1985, bist Du Dir in der ersten Zeile mit der Delta-Distribution und dem "gültig für u≠0" sicher? δ(u) für u≠0 ist doch immer 0.

Zusammenhang von Hankel- (H) mit Fourier- (F) und Abel-Transformation (A) wäre interessant, zumal diese drei Transformationen unter bestimmten Bedingungen (FHA cycle) über das en:Projection-slice theorem zusammenhängen. Leider ist das inhalltich vom Verstehen des Zusammenhanges etwas zu weit weg und ich könnte es nur übersetzen.

Die praktische Bedeutung liegt m.W. im Bereich Bildaufnahme/Abbildung bei Fokusierung/Schärfe, wie ein Bildpunkt "verteilt" wird - die auf 3 Dimensionen übertragene Impulsantwort -> "Punktantwort" bzw. point spread function. Andere Anwendungen kenne ich keine.--wdwd 23:19, 26. Okt. 2011 (CEST)

Hallo, der Zusatz "gültig für u≠0" ist schwierig. Das Problem liegt meiner Ansicht hier in einer unzulänglichen Notation und darin, dass $H(1)$ (Hankel-Transformation von der Eins) weder im Sinne von Funktionen noch im Sinne von Distributionen mit dem Integral berechnet werden kann. Versucht man dies, stößt man auf divergente Integrale. Man kann allerdings für alle $\phi \in H_{0}$

$H({\tfrac {1}{u}}\delta _{0})(\phi )=H(\delta _{0})({\tfrac {1}{u}}\phi )=\delta _{0}(H({\tfrac {1}{u}}\phi ))=H({\tfrac {1}{u}}\phi )(0)=\int _{0}^{\infty }{\tfrac {u}{u}}J_{0}(0)\phi (u)\mathrm {d} u=\int _{0}^{\infty }{\tfrac {u}{u}}J_{0}(0)\phi (u)\mathrm {d} u=\int _{0}^{\infty }\phi \mathrm {d} x$

ausrechnen, was gerade bedeutet, dass die Hankel-Transformierte von ${\tfrac {\delta (u)}{u}}$ die Eins-Distribution ist. Daran erkennt man, dass $u$ nur im Intervall $]0,\infty [$ liegen sollte.

Den Zusammenhang zur Fourier-Transformation kann ich glaube ich noch ergänzen, die anderen von Dir erwähnten Aspekte muss ich mir erstmal anschauen. Eine halbwegs praktische Anwendung hat die Hankel-Transformation glaube ich noch im Lösen linearer partieller Differentialgleichungen.

Ich habe nun die Beziehung zur Fourier-Transformation dargestellt und Beispiele ergänzt. Kannst Du mir vielleicht helfen und mir Stellen aufzeigen, die dir wichtig aber schwer unverständlich erscheinen? Dass der Abschnitt Hankel-Transformation#Distributionenraum bestimmt gruselig zu lesen ist, denke ich mir, aber für konkrete Berechnungen ist der auch mehr als unwichtig. --Christian1985 (Diskussion) 16:42, 27. Okt. 2011 (CEST)

Hi Christian1985, Abschnitt "Beziehung zur Fourier-Transformation" läuft bei den Anwendungen im Bereich Bildverarbeitung auf jenen Zusammenhang hinaus. Verständlichkeit ist aus meiner Sicht passend, die zusätzlichen Beispiele sind auch gut. Danke für Deine Überarbeitungen und Erweiterungen,--wdwd 22:15, 27. Okt. 2011 (CEST)

Hi, ich komm jetzt mal mit der Physik als Anwendung. Kennst Du Fourier-Optik? Die besagt zum Beispiel, dass das Beugungsbild eines Spaltmusters (1D) ( zum Beispiel eines Doppelspaltes oder optisches Gitters) der Fouriertransformierten der Blendenfunktion entspricht. Dabei handelt es sich stets um 1D-Probleme, weil die Blendenfunktion und das Beugungsbild sich auf einer Achse befinden. Wenn wir jetzt 2D Probleme betrachten stoßen wir bei radialsymetrischen Blenden schnell auf die Hankeltransformation. Denn für radialsymetrische Blenden ist das Beugungsbild gerade die Hankeltransformierte H(b(r)) mit der nur vom Radius r abhängigen Blendenfunktion b(r). Mit einem Baukasten von Funktionspäärchen ([1]) kann man dann, sofern man mit Fourieroptik vertraut ist schnell auch radialsymetrische Beugungsmuster berechnen. Die Strukturen sind sehr ähnlich. Während ein Einzelspalt (Rechtecksfunktion) in der Fourieroptik beispielsweise eine sinc-Funktion als Beugungsbild zur Folge hat, hat eine kreisrunde (also radialsymetrische) Blende in 2D eine Jinc-Funktion als Beugungsbild. Interessantes Themengebiet. Leider hab' ich selbst noch nicht ganz den theoretischen Background verstanden. Das Anwenden ist recht einfach, wenn man die Gegebenheiten akzeptiert. --Kondephy (Diskussion) 20:48, 14. Jul. 2012 (CEST)