Diskussion:Orthonormalbasis

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Weiterleitung

Wir wäre es mit einer Weiterleitung von "Orthogonaler Basis"? --77.135.91.7 19:44, 2. Nov. 2008 (CET)

Es gibt doch schon den Redirect von "Orthogonalbasis", meiner Meinung nach reicht das aus. --Tolentino 16:09, 3. Nov. 2008 (CET)

Ich denke, sinnvoller wäre es eher, Orthonormalbasis in Orthogonalbasis zu verschieben und den Artikel entsprechend auszubauen: Orthogonalbasis definieren, erläutern, dann als Spezialfall Orthonormalbasis dahinter behandeln. --Tolentino 12:46, 4. Nov. 2008 (CET)

Maximale Orthonormalsysteme vs. Orthonormalbasis

Jeder Prähilbertraum besitzt maximale (vollständige) Orthonormalsysteme (Dies folgt mit Hilfe des Lemmas von Zorn) und für Orthonormalsysteme gilt, dass die orthogonale Summe der entsprechenden eindimensionalen Unterräume gleich des topologischen Abschlusses der linearen Hülle des Orthonormalsystems ist.

Aber nur dann wenn der Prähilbertraum vollständig ist (also ein Hilbertraum ist) folgt weiter dass das maximale Orthonormalsystem auch dicht im Raum liegt! Also muss ein maximales Orhonormalsystem im Allgemeinen in einem Prähilbertraum nicht dicht in diesem Prähilbertraum liegen und wäre damit keine Orthonormalbasis des Raums!

Im Artikel wird jedoch im Abschnitt "Unendlich dimensionale Räume" geschrieben:

Ein Orthonormalsystem S heißt Orthonormalbasis, falls für alle Orthonormalsysteme T mit S \subset T sofort T = S folgt. Eine Orthonormalbasis wird auch vollständiges Orthonormalsystem genannt.

und:

Mit anderen Worten: Die lineare Hülle ist nicht gleich V, liegt aber dicht in V.

Gruss Jürgen (nicht signierter Beitrag von 89.204.153.76 (Diskussion) 23:27, 13. Jul 2011 (CEST))

Nun müsste es stimmen, oder? Vielen Dank für die Anmerkungen! --Christian1985 (Diskussion) 00:29, 14. Jul. 2011 (CEST)

Hi, ja so weit ich es überblicke ist es jetzt in Ordnung. Gruss Jürgen (nicht signierter Beitrag von 82.113.99.26 (Diskussion) 13:52, 19. Jul 2011 (CEST))

Hallo Christian, ich bin gerade erst auf diese Diskussion aufmerksam geworden. In einer früheren Version des Abschnitts wurde "Orthonormalbasis" für Prähilberträume definiert als Orthonormalsystem, das dicht liegt. Dann wurde weiter unten gesagt, dass diese Eigenschaft in Hilberträumen äquivalent dazu ist, dass es ein maximales Orthonormalsystem ist.

Du hast diese zweite Eigenschaft in einer Überarbeitung als Definition genommen, was dann zu dieser Kritik von Jürgen geführt hat.

Darauf hast du in der Definition die Bedingung eingefügt, dass es sich um einen Hilbertraum handelt. Das Problem: Der Begriff "Orthogonalbasis" ist jetzt nur für Hilberträume definiert, aber nicht mehr für allgemeine Prähilberträume. Weiter unten bei den Eigenschaften wird aber über Orthonormalbasen von Prähilberträumen gesprochen. Dabei steht immer noch:

Allgemein gelten für Innenprodukträume (Prähilbertäume) und vollständige Innenprodukträume (Hilberträume) folgende Sätze:

• Die lineare Hülle der Orthonormalbasis S liegt dicht in V. Das heißt es gilt ${\overline {\operatorname {span} (S)}}=V$.

Für nicht-vollständige Hilberträume ist das nach Jürgens Aussage aber falsch.

Könntest du nochmals abchecken, welches die richtige Definition für nicht-vollständige Prähilberträume ist und welche Aussagen dann auch für nicht-vollständige Prähilberträume gelten? --Digamma (Diskussion) 22:50, 22. Mär. 2012 (CET)

Im Abschnitt Existenz steht einerseits, dass jeder Hilbertraum eine Orthonormalbasis besitzt, andererseits dieselbe Aussage für separable Prähilberträume. Ich habe das Gefühl, dass zwei unterschiedliche Definitionen verwendet werden: einmal Orthonormalbasis als maximales Orthonormalsystem und einmal die Charakterisierung von oben. Gruss TJHC --TJHC (Diskussion) 11:23, 4. Dez. 2013 (CET)

Beispiel 2

Es wäre schön wenn noch eine genaue Begründung dabei stehen würde. Ich habe nämlich anhand des Beispiels eben nicht verstanden, warum dieses Beispiel eine Orthonormalbasis ist. (nicht signierter Beitrag von 149.172.43.51 (Diskussion) 12:40, 22. Mär. 2012 (CET))

Man rechnet wie bei Beispiel 1 beschrieben nach, dass die Länge der Vektoren 1 und ihr Skalarprodukt 0 ergibt. Ich denke nicht, dass man das bei Beispiel 2 nochmal hinschreiben muss. Was meinst du? -- HilberTraum (Diskussion) 17:54, 22. Mär. 2012 (CET)

Wobei mir gerade auffällt: Damit weist man nach, dass es sich um ein Orthonormalsystem handelt. Um daraus zu schließen, dass es sich um eine Basis handelt, braucht man die Info, dass jedes Orthonormalsystem linear unabhängig ist und somit ein Orthonormalsystem, das soviele Elemente enthält, wie die Dimension des Vektorraums angibt, eine Basis ist. Diese Information fehlt hier. In der Definition wird von vornherein vorausgesetzt, dass man es mit einer Basis des Vektorraums zu tun hat. --Digamma (Diskussion) 21:38, 22. Mär. 2012 (CET)

Guter Gedanke. Ich habe gleich mal einen Satz dazu ergänzt. -- HilberTraum (Diskussion) 09:11, 23. Mär. 2012 (CET)

1. Nummerierter Listeneintrag

Fourier-Entwicklung

Die Schreibweise

$S=\left\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\right\}\cup \left\{{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cos(n\cdot ),{\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sin(n\cdot )\right\}\colon n\in \mathbb {N}$

ist erstens falsch (das $\colon n\in \mathbb {N}$ gehört in die Mengeklammer) und zweitens ist die Schreibweise ${\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cos(n\cdot )$ für die Funktion $x\mapsto {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cos(nx)$ wohl für die meisten Leser ziemlich unverständlich.

Mein Vorschlag wäre, so etwas zu schreiben wie:

$S=\{f_{0}\}\cup \{f_{n},g_{n}\mid n\in \mathbb {N} \}$

mit

$f_{0}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\ f_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\cos(nx),\ g_{n}(x)={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\sin(nx)$ für $x\in [0,2\pi ]$ und $n\in \mathbb {N} .$

Die Bezeichnungen $f_{0}$, $f_{n}$ und $g_{n}$ sind dabei aber völlig willkürlich. Meine Frage: Gibt es eine übliche Bezeichnung für diese Funktionen? --Digamma (Diskussion) 22:02, 4. Jul. 2012 (CEST)

Denkst du, das ist wirklich ein didaktischer Vorteil, das mit $sin$ und $cos$ statt der komplexen Variante zu machen? --Chricho ¹ ² ³ 22:22, 4. Jul. 2012 (CEST)

Dazu wollte ich mich mit meinem Vorstoß gar nicht äußern. Aber hier geht es ja um die Entwicklung nach einer ONB, nicht um Fourierreihen als solche. Und die Entwicklung nach einer ONB geht natürlich auch im reellen Fall. Sonst müsste man den Raum erst komplexifizieren. --Digamma (Diskussion) 22:38, 4. Jul. 2012 (CEST)

Ich meine nur, dass die Funktionen dann einfacher aussehen und sich nicht die Frage nach willkürlichen Nummerierungen stellt. Für die reelle Fourierreihe habe ich es auch schon mit negativen Indizes für den Cosinus gesehen. --Chricho ¹ ² ³ 22:54, 4. Jul. 2012 (CEST)

Ich rede doch nicht von der Nummerierung, sondern von der Schreibweise mit dem Punkt anstelle des Arguments: $\sin(n\cdot )$ für die Funktion $x\mapsto \sin(nx)$. Und bei meiner Frage geht es darum: Wenn man den Funktionen Bezeichnungen gibt, welche nimmt man dann: $f_{n},g_{n},h_{n},\dots ,s_{n},c_{n},\dots$ ? Die Frage stellt sich genauso, wenn man statt Sinus und Kosinus die komplexe Exponentialfunktion nimmt. --Digamma (Diskussion) 13:44, 5. Jul. 2012 (CEST)

Ein $f_{n}(x):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(nx\mathrm {i} )$ ist doch wohl weniger willkürlich als Bezeichnungen wie $f_{n}$, $g_{n}$ und $f_{0}$ oder negative Indizes für den Cosinus. Und das ganze wird meiner Meinung nach auch wesentlich klarer als mit trigonometrischen Funktionen. Darum gings mir. Die Punktschreibweise zu ersetzen befürworte ich auch. --Chricho ¹ ² ³ 17:15, 5. Jul. 2012 (CEST)

Was die Willkürlichkeit betrifft, finde ich den Unterschied nicht so groß. Aber man kann, wenn man sich in einem Vektorraum reellwertiger Funktionen befindet, nicht einfach die komplexe Exponentialfunktion einführen. Deren Werte sind nämlich komplex. Man komplexifiziert dabei den Raum. Ich würde schon das Beispiel mit Sinus und Kosinus befürworten. Ich glaube, dass die Verständnishürde hier geringer ist als bei der komplexen e-Funktion. Im Prinzip kann das ein Oberstufenschüler verstehen, das mit der komplexen e-Funktion nicht. --Digamma (Diskussion) 19:07, 5. Jul. 2012 (CEST)

Hallo Chricho, sorry für meinen etwas ungehaltenen Ton. Ist es für Dich OK, wenn ich den Abschnitt so, wie ich es hier vorgeschlagen habe, abändere? --Digamma (Diskussion) 19:22, 5. Jul. 2012 (CEST)

Hm, ja, das mit der Oberstufe ist ein Argument, da sind komplexe Zahlen nicht Standard (auch wenn ichs hässlicher finde, komplex ists einfacher hinzuschreiben, einfacher zu berechenen und man sieht die Vollständigkeit sofort, aber zumindest letzteres wird wohl für die meisten Leser ohnehin nicht zutreffen). Aber bitte nicht $f_{0},f_{n},g_{n}$, da wird die $0$ so willkürlich dem Sinus zugeordnet, ${\sqrt {1}}{\sqrt {2\pi }}$ kann man ja z. B. auch einfach so hinschreiben oder ihm einen Namen geben. Such dir was aus, $f,g,c,s,\phi ,\psi$, habe da gerade keine Vorliebe. --Chricho ¹ ² ³ 01:19, 6. Jul. 2012 (CEST)

Eigentlich habe ich die 0 dem Kosinus zugeordnet, weil $\cos(0\cdot x)\equiv 1$ ist. Einfach so hinschreiben möchte ich die Konstante nicht, denn es handelt sich ja nicht um eine feste Zahl, sondern um eine konstante Funktion. Hmmm ... Ich hatte gehofft, dass jemand Literatur zur Verfügung hat, in der diesen Funktionen Namen gegeben werden. --Digamma (Diskussion) 09:09, 6. Jul. 2012 (CEST)

In einem Physiker-Skript hatte ich mal nachgeguckt gestern, da wurdes mit $\phi _{k}$ gemacht, wobei der Cosinus bei den negativen $k$s ist. Ist jetzt auch nicht ein umwerfender Vorschlag, oder? Etwas anderes fiel mir leider nicht ein, wo das mit Sinus und Cosinus gemacht wird. --Chricho ¹ ² ³ 09:28, 6. Jul. 2012 (CEST)

Ich hab hier gerade Amann/Escher, Analysis II. Auf Seite 73 heißt die Konstante $c_{0}(t)$, die Kosinusfunktionen $c_{k}(t)$ und die Sinusfunktionen $s_{k}(t)$. -- HilberTraum (Diskussion) 09:58, 6. Jul. 2012 (CEST)

Danke. Dann übernehme ich diese Bezeichnungen. --Digamma (Diskussion) 10:26, 6. Jul. 2012 (CEST)

Kann man nicht $a$ oder $a_{0}$ o. ä. fürs $c_{0}$ nehmen. Wenn man in die Cosinus 0 einsetzt käme was zu großes raus, bei den Sinus was zu kleines, wieso sollte man dann die Bezeichnung für die Cosinus übernehmen? --Chricho ¹ ² ³ 16:12, 6. Jul. 2012 (CEST)

Das ist schon der Kosinus $(\cos(0x)=1)$, nur anders skaliert. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 17:58, 6. Jul. 2012 (CEST)

Ja eben, anders skaliert. Es ist auch der Sinus mit nem Offset. --Chricho ¹ ² ³ 18:00, 6. Jul. 2012 (CEST)

Nur sind die anderen Sinusse und Kosinusse eben auch nur skaliert und nicht verschoben ;-). Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:25, 6. Jul. 2012 (CEST)

Aber wenn man, um zu unterscheiden, solche Argumente braucht, dass Verschiebung böser ist als Skalierung (wo ich dir zustimme, das Ding ist ein bisschen näher am Cosinus als am Sinus), sollte man doch zum Schluss kommen, dass da keine tolle Struktur ist und man sie auch nicht mit der Bezeichnung suggerieren sollte. ;) --Chricho ¹ ² ³ 18:31, 6. Jul. 2012 (CEST)

Nicht böser, anders: Skalierung ist eine lineare Transformation, Verschiebung eine affine. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 18:38, 6. Jul. 2012 (CEST)

Die Konstanten sind ja nur die Normierungen. Die Funktionen sind orthogonal und werden jeweils durch ihre Norm dividiert, damit sie orthonormal sind. -- HilberTraum (Diskussion) 18:55, 6. Jul. 2012 (CEST)

Ob man von linear statt affin, nur Normierung oder nicht so böse spricht ist doch einerlei. Zufällig sieht $c_{0}$ den Cosinus etwas ähnlich. Aber was hat das schon zu bedeuten? Es besteht doch kein struktureller Zusammenhang zu den Cosinus? --Chricho ¹ ² ³ 19:04, 6. Jul. 2012 (CEST)

Die Folge $\cos 0x,\cos 1x,\cos 2x,\cos 3x,\ldots$ ist doch ganz natürlich. Mit $\sin 0x$ klappt es halt nicht, deswegen fängt man da bei eins an. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 19:35, 6. Jul. 2012 (CEST)

Aber es ist ja eben nicht $\cos 0x$ sondern man hat einen zusätzlichen Faktor von $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}$. Daher sehe ich da keinen nicht völlig konstruierten Zusammenhang. --Chricho ¹ ² ³ 19:38, 6. Jul. 2012 (CEST)

Nochmal: Man hat die orthogonalen Funktionen ${\tilde {c}}_{n}(x)=\cos(nx)$ für $n=0,1,2,...$ und normiert nur $c_{n}={\frac {{\tilde {c}}_{n}}{\|{\tilde {c}}_{n}\|}}$. -- HilberTraum (Diskussion) 19:52, 6. Jul. 2012 (CEST)

Hm, macht vllt. insofern Sinn, dass die den symmetrischen Teil darstellen. --Chricho ¹ ² ³ 20:41, 6. Jul. 2012 (CEST)

Erscheint mir zwar immer noch etwas willkürlich, aber zumindest es praktischer Sicht erscheint es wegen der Symmetrie naheliegend, die zusammenzufassen, also in Ordnung. --Chricho ¹ ² ³ 20:57, 6. Jul. 2012 (CEST)

Vielleicht auch noch so argumentiert: Man hat im Komplexen das Orthogonalsystem $e^{ikx}$ und nimmt für den reellen Fall einerseits die Realteile und andererseits die Imaginärteile davon. -- HilberTraum (Diskussion) 21:19, 6. Jul. 2012 (CEST)

Stimmt, das passt auch gut. --Chricho ¹ ² ³ 21:40, 6. Jul. 2012 (CEST)

Normierung

Bei der Gelegenheit fällt mir wieder auf, dass offenbar noch ein Artikel Normierung fehlt. Leider wüsste ich nicht, was man da außer der Definition und ein paar Beispielen reinschreibt. Auch die Lemmawahl ist nicht so offensichtlich. Hat jemand Ideen? Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 07:30, 7. Jul. 2012 (CEST)

Wir haben einen Artikel Einheitsvektor, in dessen Einleitung als Synonym "normierter Vektor" genannt wird. Normierung ist eine BKL. Man könnte den entsprechenden Eintrag einfach auf Einheitsvektor verlinken. --Digamma (Diskussion) 09:19, 7. Jul. 2012 (CEST)

Ich habe den Link in der BKL mal umgebogen, Begrifflich sind "Normierung" und "normierter Vektor" schon zwei unterschiedliche Dinge, ist aber auch nicht so wichtig. Viele Grüße, --Quartl (Diskussion) 14:24, 7. Jul. 2012 (CEST)

"Vollständigkeit" eines Vektorraums

Ich fände es sinnvoll, wenn auf den Begriff "Vollständig" und seine Bedeutung explizit eingegangen würde. (nicht signierter Beitrag von 134.93.96.146 (Diskussion) 16:18, 17. Jan. 2016 (CET))

Dafür haben wir doch den Artikel Vollständiger Raum.--Christian1985 (Disk) 18:35, 17. Jan. 2016 (CET)

Es geht hier aber um Vollständigkeit des Orthonormlsystems, was nicht dasselbe ist.—Butäzigä (Diskussion) 19:16, 22. Dez. 2022 (CET)

Ich habe jetzt im Abschnitt Orthonormalbasis#Unendlichdimensionale_Räume#Definition die Definition von Vollständigkeit ergänzt.—Butäzigä (Diskussion) 19:25, 22. Dez. 2022 (CET)