Diskussion:Vorhersagbarer Prozess

Stetige Zeit?

Vorhersagbare Prozesse kann man nicht nur für diskrete Zeit definieren, sondern auch für stetige Zeit. Das fehlt hier. Der Einleitungssatz "Ein vorhersagbarer Prozess ... ist ein spezieller stochastischer Prozess in diskreter Zeit" ist sogar irreführend, da er suggeriert, die diskrete Zeit sei Bestandteil des Begriffs. Das wird durch den Absatz "Bemerkung" nicht geheilt. --FerdiBf (Diskussion) 08:22, 23. Aug. 2015 (CEST)

Ich habe die stetige Zeit nachgereicht, ich hoffe das reicht als Heilung. Meiner Meinung nach ist das erledigt. LG --NikelsenH (Diskussion) 10:41, 7. Sep. 2015 (CEST)

Ja, das können wir erst einmal so stehen lassen. Vielen Dank dafür!--FerdiBf (Diskussion) 12:15, 7. Sep. 2015 (CEST)

Interpretation des diskreten Falls

Ich habe das Gefühl, dass die Interpretation so nicht richtig ist und hätte gerne eine Quelle für die behauptete Eigenschaft $\operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}$. Diese Eigenschaft würde z. B. bedeuten, dass für einen Prozess $(X_{0},X_{1},X_{2})$ die Eigenschaft

$\operatorname {E} (X_{2}|(X_{0},X_{1}))=X_{2}$

– also eine spezielle Unkorreliertheitseigenschaft – gilt. Ist das wirklich gemeint?

Auch ist die Formulierung "lässt sich schon alles über die Ausgänge im n-ten Schritt sagen" verbesserungswürdig. Der Laie könnte hier vermuten, dass Ereignisse mit Sicherheit vorausgesagt werden können, wenn die Prozessvergangenheit bekannt ist. Das ist wohl nicht gemeint. Vielmehr geht es um die technischen Messbarkeitsvoraussetzung dafür, dass sich eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung und ein bedingte Wahrscheinlichkeitsverteilung angeben lässt. Oder? --Sigma^2 (Diskussion) 12:05, 29. Apr. 2022 (CEST)

1) Wenn $X_{n}$ vorhersebar ist, dann ist $X_{n}\;{\mathcal {F}}_{n-1}$-messbar. Das bedeutet $\operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}$. Was du mit "Unkorreliertheitseigenschaft" meinst, verstehe ich nicht. Meinst du vielleicht wenn $X_{2}$ unabhängig von $(X_{0},X_{1})$ ist? Dann gilt $\operatorname {E} (X_{2}|X_{0},X_{1})=\operatorname {E} (X_{2})$. 2) Doch das meint es, du kennst $X_{n}$ wenn du ${\mathcal {F}}_{n-1}$ kennst, d.h. es existiert ein $f$ so dass $X_{n}=f(X_{1},\dots ,X_{n-1})$. --Tensorproduct (Diskussion) 11:04, 1. Mai 2022 (CEST)

(a) Mit der Unkorreliertheitseigenschaft hatte ich mich geirrt, diese wäre in der Tat $\operatorname {E} (X_{2}|X_{0},X_{1})=\operatorname {E} (X_{2})$ und folgt z.B. bei stochastischer Unabhängigkeit.

(b) Nach wie vor bitte ich um eine Quelle (!) für die Behauptung "$X_{n}$ ist ${\mathcal {F}}_{n-1}$-messbar bedeutet $\operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}$".

(c) Es geht wohl um die Unschärfe der Terminologie und die Verwendung von "ich kenne $X_{n}$". Wenn ich die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von $(X_{1},\dots ,X_{n-1})$ kenne, dann kenne ich bei einem vorhersagbaren Prozess auch die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von $(X_{1},\dots ,X_{n})$ und damit (als Randverteilung) die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_{n}$ und (im regulären Fall) die bedingte Verteilung von $X_{n}$ gegeben $(X_{1},\dots ,X_{n-1})$. Das heißt aber nicht, dass ich aus einer Realisation von $(X_{1},\dots ,X_{n-1})$ die Realisation von $X_{n}$ berechnen kann. Das wäre eine deterministischer Prozess, bei dem man - mit Wahrscheinlichkeit Eins - von $(X_{1},\dots ,X_{n-1})$ auf $X_{n}$ schließen könnte, in diesem Fall gäbe es eine Funktion $f$, so dass (mit Wahrscheinlichkeit Eins) $X_{n}=f(X_{1},\dots ,X_{n-1})$ gilt. Ich sehe nicht, dass dies aus der Messbarkeitsannahme der Vorhersagbarkeit folgt.

(d) Die Terminologie "ich kenne ein Zufallsvariable $X$" sollte völlig vermieden werden. "Ich kenne die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X$", "ich kenne eine Realisation $x$ von $X$" oder "ich weiß, dass das Ereignis $A=\{X\in B\}$ für eine spezifizierte Borelmenge $B\subset \mathbb {R}$ eingetreten ist" sind mögliche Interpretationen.

--Sigma^2 (Diskussion) 12:15, 1. Mai 2022 (CEST)

Wenn du $X_{n}\;{\mathcal {F}}_{n-1}$-messbar $\implies \operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}$ nicht siehst, dann solltest du die Begriffe "Messbarkeit" und "bedingter Erwartungswert" nochmals nachlesen. Du kannst selber nach einer Quelle suchen. Wenn $X_{n}^{-1}(z)\in {\mathcal {F}}_{n-1}$, dann weist du $X_{n}(\omega )=z$. Beachte auch, dass in der Praxis ${\mathcal {F}}_{n-1}$ viel grösser ist, als $X_{1},\dots ,X_{n-1}$. Nein, nicht jeder vorhersagbare Prozess ist deterministisch, der Punkt ist, du kennst zum Zeitpunkt $n-1$ die Realisation von $X_{n}$ aber nicht $X_{n+1}$. --Tensorproduct (Diskussion) 13:37, 1. Mai 2022 (CEST)

Danke, das hat sich dann geklärt. Ich hatte zunächst nicht gesehen, wie eng die mathematische Definition des vorhersagbaren Prozesses ist, und war beeinflusst durch den Begriff der Prognose und Prognostierbarkeit in anderen Wissenschaftsbereichen, der eher die Möglichkeit der Angabe einer Wahrscheinlichkeitsverteilung auf der Basis von Vergangenheitsdaten bezeichnet. Dazu kommt, dass das deutsche prognostizierbar eigentlich nur mit predictable übersetzt werden kann. --Sigma^2 (Diskussion) 15:39, 1. Mai 2022 (CEST)

Das soll nicht heißen, dass die Implikation "$X_{n}$ ist ${\mathcal {F}}_{n-1}$-messbar $\implies \operatorname {E} (X_{n}|{\mathcal {F}}_{n-1})=X_{n}$" richtig ist. Es kann dafür auch keine Quelle geben. Diese Implikation gilt nur unter der Zusatzvoraussetzung der Integrierbarkeit des Prozesses und für eine geeignet gewählte Version der bedingten Erwartung. --Sigma^2 (Diskussion) 12:38, 2. Mai 2022 (CEST)

Ich sehe wenig Sinn darin, das Konzept der ${\mathcal {F}}_{n-1}$-Messbarkeit von $X_{n}$ durch das Konzept der bedingten Erwartung zu interpretieren, da man, wenn man es exakt machte, drei Konzepte, nämlich das der Integrierbarkeit, das der Bedingten Erwartung als Zufallsvariable (nicht das Konzept des bedingten Erwartungswertes als Zahl) und das der fast sicheren Gleichheit bzw. P-Äquivalenz, benötigte, um ein einfacheres Konzept zu interpretieren. Diese Interpretation ist zwar für die Doob-Zerlegung relevant, aber auf diese wird im Artikel nicht Bezug genommen. Besser und verständlicher wären einfache Beispiele von vorhersagbaren und nicht vorhersagbaren Prozessen. --Sigma^2 (Diskussion) 12:38, 2. Mai 2022 (CEST)

Definition des diskreten Falls

Muss nicht vorausgesetzt werden, dass der Prozess an die Filtration adaptiert ist?--Sigma^2 (Diskussion) 12:50, 2. Mai 2022 (CEST)

Einführender Abschnitt

Der Satz „Dies bedeutet nicht, dass Ausgänge schon bekannt sind, sondern lediglich, dass Informationen über die Verteilung gewonnen werden können“ ist missverständlich – wahrscheinlich sogar falsch – und führt zunächst auf eine falsche Spur; vergleiche dazu die Diskussion im Abschnitt Interpretation des diskreten Falls. Es geht nicht darum, von ${\mathcal {F}}_{n-1}$ auf die Wahrscheinlichkeitsverteilung von $X_{n}$ zu schließen. Es gilt vielmehr: Wenn für jedes Ereignis in ${\mathcal {F}}_{n-1}$ bekannt ist, ob es eingetreten ist oder nicht, dann ist die Realisation von $X_{n}$ bekannt.--Sigma^2 (Diskussion) 11:02, 4. Mai 2022 (CEST)

Ist der Begriff „prognostizierbarer Prozess“ eine Ad-Hoc-Übersetzung eines Wikipedia-Autors für „predictable process“ oder gibt es einen Nachweis für die Verwendung als Fachbegriff in der Stochastik? --Sigma^2 (Diskussion) 11:02, 4. Mai 2022 (CEST)