Diskussion:Wurzelgleichung

Was ist mit Wurzelgleichungen, die ein Ergebniss wie " 1 = -1 " oder " 5 = -3 " haben?

Liebe Freunde der Schulbuchmathematik, wie habe ich gelacht, als ich Euren Artikel las, da Ihr es für möglich halten könnt, durch lauter korrekte Umformungen eine Lösung einer Gleichung zu erhalten, die aber keine Lösung ist. Tatsächlich findet man diesen mathematischen Unfug in unglaublich vielen Schulmathematikbüchern; denn die Autoren dieser Bücher schreiben furchtbar gern voneinander ab. Schließlich hat das ja sogar eine alte biblische Tradition, in der Matthäus ebenso von Markus abgeschrieben hat wie Lukas. Durch bloßes Abschreiben kann unmöglich schon das Abgeschriebene geheiligt werden; denn natürlich kann man auch etwas Falsches abschreiben. Dies nur zu Eurer Entschuldigung. Aber nun zurück zur Sache der Mathematik:

1. Der nur in der Schulmathematik verwendete Ausdruck von Wurzelgleichungen bezeichnet auf jeden Fall Gleichungen und keine Ungleichungen. 2. Für Gleichungen ist das Quadrieren oder das Potenzieren beider Seiten mit irgendwelchen gleichen Hochzahlen selbstverständlich eine Umformung, die die ursprüngliche Gleichheit erhält. 3. Die Tatsache, daß beim Potenzieren mit geraden Exponenten die Vorzeicheninvarianz nicht gegeben ist, obwohl die Gleichheit von Gleichungen erhalten bleibt, weist darauf hin, daß die inverse Operation des sogenannten Wurzelziehens nicht mehr eindeutig ist. Darum erhalten wir bei allen quadratischen Gleichungen, und die Wurzelgleichungen sind nur spezielle Formen quadratischer Gleichungen, stets zwei mögliche Lösungen, die selbstverständlich auch immer Lösungen sind. 4. Der Fehler, der bei den sogenannten Wurzelgleichungen sich von Schulbuch zu Schulbuch seit Jahren erhält, ist, daß bei den sogenannten Proben übersehen wird, daß auch dabei die Wurzelausdrücke grundsätzlich nicht eindeutig sind, sondern als positiv oder negativ zu interpretieren sind. 5. Wenn die Probe für eine Lösung gemacht wird, dann ist die Interpretation der Wurzelausdrücke zu wählen, die die Gleichheit herstellt. 6. Diese Interpretation gibt es selbstverständlich auch für die erste Lösung x = 4. Dabei ist lediglich der Wurzelausdruck auf der rechten Seite als negativ zu interpretieren, so daß sich die Gleichheit beider Seiten wie folgt ergibt:

Linke Seite: ${\sqrt {8-2\cdot 4}}\,={\sqrt {8-8}}={\sqrt {0}}=0$

Rechte Seite: $1+{\sqrt {5-4}}=1+{\sqrt {1}}=1+(-1)=1-1=0$

Man kann sich hier lediglich fragen, warum es die erste Lösung ist, bei der der Wurzelausdruck auf der rechten Seite negativ zu interpretieren ist und warum nicht bei der zweiten Lösung. Dies liegt hier daran, daß in dem Lösungsweg zweimal quadriert werden mußte. Bei Wurzelgleichungen, die durch ein einmaliges Quadrieren gelöst werden können, ist bei der Probe stets die negative Wurzelinterpretation für die zweite Lösung zu wählen.

Wo kämen wir in der Mathematik hin, wenn wir durch korrekte mathematische Umformungen Lösungen finden könnten, die keine Lösungen sind!

Darum bitte ich nun die Autoren dieses Artikels den oben bezeichneten Fehler, der sich durch Generationen von Schulbüchern hindurch schleppt, zu korrigieren. Es lebe die Sache der Mathematik! Mit freundlichen und zugleich mitternächtlichen Grüßen! Euer Wolfgang Deppert 00:21, 11. Okt. 2007 (CEST)

Leider sind auch alle unten aufgeführten weiteren Beispielrechnungen für sogenannte falsche Lösungen selbst falsch, weil in den sogenannten Proben die Zweideutigkeit der Wurzelausrücke nicht berücksichtigt wird. Das ist ein elementarer Fehler, der durchaus nur sehr schwer verzeihlich ist. Ich bitte um Löschung oder Korrektur dieser Beispielrechnungen. Mit freundlichen Grüßen Wolfgang Deppert 00:38, 11. Okt. 2007 (CEST)

Fühlt sich denn hier keiner verantwortlich für den hier abgelieferten mathematischen Unsinn? Oder soll ich den Artikel selbst korrigieren? Mit wiederum nächtlichen und dennoch freundlichen Grüßen von Wolfgang Deppert 02:27, 12. Okt. 2007 (CEST)

Der grundlegende Fehler in Deinen Ausführungen besteht daran, dass die Quadratwurzel eindeutig ist, also nicht verschieden interpretiert werden kann. Die Quadratwurzel aus $a$ (für $a\geq 0$) ist definiert als diejenige nicht-negative Zahl, deren Quadrat gleich $a$ ist. 84.155.208.212 06:54, 12. Okt. 2007 (CEST)

Oh nein, im Artikel ist ja richtig ausgeführt, daß die Quadratwurzel nicht eindeutig sein kann, weil das Produkt einer negativen Zahl mit sich selbst auch positiv ist so wie das Produkt derselben positiven Zahl mit sich selbst ebenso positiv ist, so daß zum Beispiel für +2 und -2 nach der Quadrierung dasselbe Ergebnis herauskommt: $2^{2}=(-2)^{2}$. Die Wurzel aus 4 ist somit nicht eindeutig, weil sie +2 und -2 sein kann.

Das ist nun aber sehr elementar, worüber wir hier nun wahrhaftig nicht streiten sollten; denn so sind die Vereinbarungen der Mathematik getroffen, an die wir uns alle zu halten haben, wenn wir Mathematik machen wollen. mit sehr erstaunten Grüßen von Wolfgang Deppert 10:34, 12. Okt. 2007 (CEST)

Soeben bemerkte ich, daß Du Dich offenbar durch die Definition der Quadratwurzelfunktion hast irritieren lassen; denn von Funktionen müssen wir verlangen, daß sie eindeutig sind. Gerade darum, weil die Quadratwurzel selbst nicht eindeutig ist, wird bei der Definition der Quadratwurzelfunktion normalerweise der negative Anteil der Quadratwurzel weggelassen, man könnte allerdings auch so definieren, daß man den positiven Teil wegläßt; denn auch dann wäre die Eindeutigkeitsforderung erfüllt. Sind wir uns nun einig? Herzlichst Wolfgang Deppert 10:48, 12. Okt. 2007 (CEST)

Der triviale Hinweis (an die dummen Schulmathematiker?), dass die Gleichung $x^{2}=4$ in $\mathbb {R}$ zwei Lösungen hat, ist kein Argument. Definitionen sind Vereinbarungen, und für die Quadratwurzel sieht die gängige Vereinbarung so aus wie im "Lexikon der Mathematik" (Spektrum Verlag):

"Ist $a\in \mathbb {R}$, $a\geq 0$, so gibt es genau eine reelle Zahl $x\geq 0$ mit $x^{2}=a$. Man nennt $x$ die Quadratwurzel von $a$ und schreibt $x={\sqrt {a}}$."

Man sollte sich nicht eigenmächtig über diese Definition hinwegsetzen. 84.155.194.25 16:54, 12. Okt. 2007 (CEST)

Damit stimme ich überein, daß wir es in der Mathematik ausschließlich mit Vereinbarungen zu tun haben. Diese Vereinbarungen sind einzuhalten. Diese Vereinbarungen betreffen die mathematischen Gegenstände wie die natürlichen Zahlen und ihre Erweiterung zu den ganzen Zahlen, auf die ich mich hier beschränken möchte. Auf diesen ersten mathematischen Gegenstandsbereichen wurden Operationen dergestalt vereinbart, daß ein erster mathematischer Gegenstand mit einem zweiten so verbunden wird, daß durch diese Operation ein dritter mathematischer Gegenstand bestimmt ist, der selbst wieder dem gleichen mathematischen Gegenstandsbereich angehört, wie der erste und der zweite Gegenstand. Die einfachste Form dieser Operationen ist die Addition. Dann läßt sich zu dieser Operation eine inverse Operation definieren, indem der dritte Gegenstand so mit dem zweiten verbunden wird, daß das Ergebnis dieser inversen Operation wieder auf den ersten Gegenstand zurückführt. Diese zur Addition inverse Operation nennen wir die Subtraktion. Wenn wir schließlich mehrfache Additionen mit dem gleichen mathematischen Gegenstand vornehmen, dann kann man die vereinfachende Operation der Multiplikation einführen, und die Division als die zur Multiplikation inverse Operation vereinbaren. Hierbei tritt bereits eine Besonderheit des Zahlenkörpers der ganzen Zahlen auf, daß wir nicht durch Null teilen dürfen, weil dies zu gänzlich unbestimmten Ergebnissen führt. Wir müssen also beim Dividieren aufpassen, ob der Ausdruck mit dem wir dividieren, nicht etwa die Null ist. Und wenn man darauf nicht achtet, dann läßt sich leicht beweisen, daß 3 = 5 ist, was freilich den bereits getroffenen Vereinbarungen widerstreitet. Und bei mehrfacher Multiplikation des gleichen mathematischen Gegenstandes können wir wiederum als Vereinfachung das Potenzieren einführen und die dazu inverse Operation des Wurzelziehens. Nun tritt aber beim Wurzelziehen die Besonderheit auf, die an der Konstruktion des Zahlenkörpers der ganzen Zahlen und an den Eigenarten des Mulitiplizierens mit negativen ganzen Zahlen liegt, daß je zwei negative ganze Zahlen miteinander multipliziert eine positive ganze Zahl ergeben. Und darum ist das Wurzelziehen nicht mehr eindeutig, weil der positive Ausdruck, aus dem die Wurzel gezogen werden soll, auch durch die Multiplikation zweier gleicher negativer Zahlen entstanden sein kann. Und darum haben wir aufgrund der getroffenen Vereinbarungen im Aufbau der Arithmetik, wie sie schon seit tausenden von Jahren getroffen worden sind, zu akzeptieren, daß Wurzeln nicht eindeutig sind, wenn wir nicht dieses subtil aufgebaute Gebäude mathematischer Gegenstände zum Einsturz bringen wollen. Es hat darum keinen Sinn durch eine autoritäre Definition festzulegen, daß Wurzeln nur eindeutig bestimmte Zahlen darstellen. Dies ist nur dann vernünftig, wenn wir eine Wurzelfunktion definieren wollen, weil wir Funktionen als Abbildungen auffassen, die eindeutig sind. Wenn wir aber die Wurzel als die inverse Operation zum Potenzieren zur Berechnung mathematischer Ausdrücke verwenden, dann kommen wir in Teufelsküche, wenn wir vorsätzlich die Eigenart der Wurzeloperation mißachten. Ein solches autoritäres Verhalten schätzen wir in der Mathematik nicht, auch wenn es von Lehrbuchschreibern oder Lexikographen ausgeht. Für Mathematiker zählen keine Autoritäten, sondern nur Argumente, die sich aus den getroffenen Vereinbarungen zum Aufbau der Arithmetik ableiten lassen. Die oben genannte Definition ist eigenmächtig, die bewirkt, daß wir in Wurzelgleichungen korrekte Lösungen als "falsche Lösungen" zu bestimmen haben. Solche Absurditäten geschehen, wenn man sich nicht an die Vereinbarungen hält.

Besonders obskur ist nun, daß in dem hier im Artikel gegeben Beispiel die beiden Lösungen x=4 und x=-4 nur dadurch gefunden werden, daß die Doppeldeutigkeit der Wurzel aus 16 akzeptiert wird. Insbesondere aber soll dann sogar durch die Probe bewiesen werden, daß nur die zweite Lösung, in der gerade die Wurzel als eine negative Zahl bestimmt wird, die wahre Lösung sein soll, während die Lösung x = 4 als Scheinlösung nur deshalb verunglimpft wird, weil bei der Probe die zweite Möglichkeit einer negativen Wurzel außer acht gelassen wird. Das ist nun auch noch ein eklatanter Widerspruch, die in der Mathematik nichts zu suchen haben. Und kann mir nun jemad erklären, warum all die vielen Scheinlösungen, die in den nachfolgenden Beispielen angegeben werden, sich als Lösungen erweisen , wenn man die Wurzeln in den Proben auch als negative Ausdrücke begreift? Soll das etwa Zufall sein, oder ist es nicht doch mathematische Notwendigkeit, daß Lösungen, die man korrekt bestimmt hat, auch tatsächlich Lösungen sind! Sind wir uns nun endlich einig? Mit herzlichen Grüßen von Wolfgang Deppert 21:43, 12. Okt. 2007 (CEST)

Die Quadratwurzel einer Zahl wird in der Mathematik allgemein als die positive Lösung definiert. Dabei handelt es sich um eine reine Definition. Man hat sich darauf geeinigt, dass man unter dem Symbol ${\sqrt {u}}$ immer die positive Zahl versteht. Wenn man beide Lösungen der Gleichung x² = u beschreiben möchte, schreibt man dann $\pm {\sqrt {u}}$. Die Quadratwurzel ist also nach dieser Definition nicht die Umkehroperation zum Quadrieren.

Nach deiner Definition würde ${\sqrt {u}}$ schon beide Lösungen bezeichnen, und $\vert {\sqrt {u}}\vert$ wäre die eindeutige, positive, Lösung. Deine Definition hätte zum Beispiel den Vorteil, dass das Quadratwurzelziehen wirklich die Umkehroperation zum Quadrieren wäre, aber den Nachteil, dass vermehrt Betragsstriche eingesetzt werden müssten, wenn man nur dass positive Ergebnis meint. --Galadh 17:19, 13. Okt. 2007 (CEST)

Lieber Galadh Du tust mir zu viel Ehre an, wenn Du von meiner Lösung sprichst; denn es ist die in der Wissenschaft der Mathematik allgemein verwendete Lösung, weil ja die Vermengung von Operationszeichen und Operationsergebnis zu viel Unheil anrichtet, wie es ja in den sogenannten Wurzelgleichungen der Schulmathematik so offenkundig wird. Nun bist Du hier der erste, der überhaupt etwas ausweist. Aber Dein erster Satz ist dennoch schlicht falsch, wenn Du nicht dazu schreibst: "in der Schulmathematik". Leider werden anscheinend auch die Lexikaschreiber von Schulmathematikern beherrscht, bei denen ganz offensichtlich die Neigung zum Autoritätsglauben stark ausgeprägt ist. Um die Falschheit Deines ersten Satzes festzustellen, brauchst Du nur irgend ein anerkanntes Lehrbuch der Mathematik zur Hand zu nehmen, wie etwa den Erwe (Friedhelm Erwe, Differential- und Integralrechnung I, Hochschultaschenbücher, Bibliographisches Institut AG, Mannheim 1962, S. 123), nach dem Generationen von Mathematikern Mathematik gelernt haben. Dort heißt es unter dem Abschnitt 3. Die allgemeinen Potenzen und Wurzeln auf S. 123:

"An Stelle von $a^{\frac {1}{m}}$ schreibt man für natürliche Zahlen $m\geq 2$ auch ${\sqrt[{m\,}]{a}}$, für $m=2$ auch kurz ${\sqrt {a}}$. Wir können uns nun mit den Lösungen von x der Gleichung $x^{m}=c$ bei vorgegebener reeller Zahl c und natürlicher Zahl $m\geq 2$ beschäftigen. Jedes solche x heißt eine m-te Wurzel (für m = 2 Quadrat-, für m = 3 Kubikwurzel) aus c. Der Fall c = 0 gestattet nur die Lösung x = 0. Sei nun c ≠ 0. Wegen $|x|^{m}$ = ${\sqrt[{m\,}]{|c|}}$, gibt es höchstens zwei sich nur durch das Vorzeichen unterscheidende Lösungen. Die Vorzeichenregeln führen nun zu folgenden Möglichkeiten:

$m\ gerade{\begin{cases}c<0{\text{ : keine Loesung}}\\c>0{\text{ : genau zwei Loesungen}}\ x=\pm {\sqrt[{m\,}]{c}}\end{cases}}$

. . ."

Dem ist im Prinzip nichts hinzuzufügen; denn hier wird das Wurzelzeichen ausschließlich als Operationszeichen verstanden, so daß die Vorzeichendoppeldeutigkeit des Ergebnisses der Operation des Wurzelziehens, die durch das Wurzelzeichen verlangt wird, durch das Voranstellen des vereinigten Plus-Minus-Zeichens dargestellt wird. Nun sollte sich doch bitte schön jeder Mal die Zeit und ein ordentliches Mathematiklehrbuch zur Hand nehmen, um sich davon zu überzeugen, was seit vielen, vielen hundert Jahren in der Mathematik vereinbart wurde. Da lohnt es z. B. einmal den Gericke zur Hand zu nehmen (Helmuth Gericke, Mathematik in Antike und Orient oder ders. Mathematik im Abendland, Fourier Verlag, Wiesbaden 1992, ISBN3-925037-64-0). Im ersteren (S.192) findet sich z. B. ein Zitat des indischen Mathematikers aus dem 7. Jahrhundert Brahmagupta: "Das Quadrat von Negativem und Positivem ist dasselbe, das von Null ist Null. Die Wurzel hat dasjenige (Vorzeichen), woraus das Quadrat (entstanden ist).", und Gericke fügt dort hinzu: "Fraglich ist, wie man das erkennen soll, vielleicht aus der Art der gestellten Aufgabe. Vollständige Klarheit über das doppelte Vorzeichen der Wurzel finden wir später bei Bhaskara II."

Wenn hier immer wieder so dahergeredet wird, es wäre eine Vereinbarung in der Mathematik, das Vorzeichen einer Wurzel stets als positiv zu betrachten, so fehlt mir dafür jeder Beleg. Nirgendwo wird angegeben, welche Mathematiker wann und wo diese Vereinbarung getroffen haben sollten. Es werden hier lediglich fragliche Autoritäten von Formelsammlungen zitiert. Tatsächlich gilt die Notwendigkeit einer eindeutigen Interpretation des Wurzelzeichens ausschließlich für die Definition der Wurzelfunktion, die als Funktion die Bedingung der Eindeutigkeit zu erfüllen hat. Dehnt man diese Eindeutigkeitsforderung auf das allgemeine Operationszeichen der Wurzel aus, so werden auf diese Weise die Vereinbarungen über den Begriff der Wurzel und über die Multiplikationsregeln von Zahlen mit Vorzeichen verletzt. Insbesondere wird der in der nicht nur in der Schulmathematik wichtige Begriff der Probe unbrauchbar gemacht; denn Proben werden deshalb gemacht, weil durch sie die Richtigkeit des Rechenganges überprüft werden soll. Und wenn nun hier bei den Proben der Lösungen von Wurzelgleichungen festgestellt, daß man beim Einsetzen der Lösungen, aus einer ursprünglichen Gleichung eine Ungleichung gemacht hat; dann kann dies nach dem Begriff einer Probe nur heißen: Es ist falsch gerechnet worden! Und tatsächlich ist dies ja auch der Fall, weil sich mathematisch die Zweideutigkeit der Wurzelausdrücke nicht wegdefinieren läßt. Eine Probe zu machen, um aus zwei Lösungen eine angebliche Scheinlösung auszusondern, geht gegen den Begriff der Probe. Außerdem sind ja die sogenannten Scheinlösungen samt und sonders ganz korrekte Lösungen. Aber darauf habe ich hier ja schon bis zum Überdruß hingewiesen. Es bleibt also unerfindlich, warum eine derartig falsche Definition des Wurzelausdruckes überhaupt vorgenommen werden soll, entsteht doch zu allem Überfluß auch nocht die Möglichkeit, eine Gleichung in eine Ungleichung zu verwandeln. Vor allem aber werden unsere genau denkenden Schulkindern damit gänzlich verwirrt, soll ihnen denn etwa damit suggeriert werden, daß es sich bei der Mathematik um eine Geheimwissenschaft handelt, die nur einem kleinen Zirkel von Gläubigen vorbehalten ist? Oder hält man aus obskuren Gründen das "Negative" für verdammungswürdig und hält sich deshalb nur an das "Positive". Dabei hat schon Immanuel Kant in der Einleitung zu seiner "Transzendentalen Methodenlehre" seiner Kritik der reinen Vernunft schon mit aller Deutlischkeit darauf hingewiesen, daß wir negative Ergebnisse ebenso zu schätzen haben, wie positive.

Zum Abschluß noch eine neuere Literaturstelle, die mir hier zufällig zur Hand ist. In dem Büchlein von Peter Dörsam, Mathematik zum Studienanfang - die wichtigsten Grundlagen aus der Schulzeit verständlich erklärt, 4. überarbeitete Aufl., PD-Verlag, Heidenau 2003, ISBN 3-930737-54-X heißt es auf Seite 10:

" - die zweite Wurzel ist mehrdeutig, wenn es eine Lösung gibt, so gibt es immer eine positive und eine negative Lösung, nur die zweite Wurzel von Null ist eindeutig, denn +0 ist das gleiche wie -0."

Wer unterstützt mich nun, um meine Veränderung dieses Artikels wieder einzusetzen? Mit immer noch hoffnungsvollen Grüßen Wolfgang Deppert 20:35, 22. Okt. 2007 (CEST)

Vielleicht hättest Du die zitierte Seite 123 im Lehrbuch von Friedhelm Erwe vollständig lesen sollen. Erwe definiert ${\sqrt {a}}$ als gleichwertige Schreibweise für $a^{1/2}$. Wenige Zeilen oberhalb dieser Stelle wird definiert, was unter $a^{1/2}$ zu verstehen ist.

"Wir sind nun nicht mehr gehindert, für beliebiges reelles $b$

$a^{b}=e^{b\log a}$

zu definieren. ... $a^{b}$ ist stets positiv."

Damit erweist sich Dein Zitat als Eigentor. Für einen Kreuzzug gegen eindeutige Rechenausdrücke liefert das Buch von F. Erwe keine Begründung. 84.155.240.42 14:35, 23. Okt. 2007 (CEST)

Liebe(r?) Unbekannte(r?), Dein Zitat kenne ich natürlich, aber es hat eine gänzlich andere Bedeutung - und das müßtest Du eigentlich auch wissen - als Du sie hier unterstellst. Der ganze Abschnitt 2 heißt ja: Exponentialfunktion, Logarithmus und allgemeine Potenz. Unter 2.1 macht die Darstellung der Exponentialfunktion keine Schwierigkeiten, und wegen e > 0 ist die e-Funktion auf dem gesamten Wertebereich der reellen Zahlen selbst immer positiv. Und da nun nach 2.2 die Logarithmusfunktion die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist, kann sie nur für positive a definiert sein, weil die e-Funktion eben keine negativen Wertzuweisungen kennt. Und darum zieht Erwe diesen Sachverhalt noch in seinen Unterabschnitt 2.3 hinein, indem er mit der Bemerkung beginnt: "Sei a eine reelle Zahl > 0." Diese Voraussetzung a > 0 gilt freilich für die Betrachtungen zu Beginn von 2.3 und mithin auch für $a^{b}$, das unter der Voraussetung a > 0 auch nicht anders als positiv sein kann.

Hier geht es aber ausschließlich um die Darstellung von Rechenregeln für Exponential- und Logarithmusfunktionen, die aufgrund des Funktionsbegriffes die Bedingungen der Eindeutigkeit zu erfüllen haben. Und darauf habe ich für die Wurzelfunktion unablässig hingewiesen - hast Du das denn überlesen?

Die Ausführungen, die Erwe nach der Rechenregel (47) anstellt, beziehen sich nun auf einzelne Lösungen also auf einzelnen Rechenausdrücke und nicht mehr auf Funktionen, und dort findest Du dann seine Darlegungen darüber, daß hier die Zweideutigkeit der Wurzeln für gerade und ungerade m immer vorliegt. Wir haben sie darum immer zu beachten, sobald es um einzelne Lösungen von Wurzelausdrücken und nicht um Wurzelfunktionen geht.

Dürfte ich also um etwas mehr Wahrhaftigkeit bitten, und vor allem darum, nicht mehr in eine Verbindung gebracht zu werden, mit einem der abscheulichsten Verbrechen der Christenheit, mit den Kreuzzügen?

Das läßt sich aus der Beschäftigung mit der Mathematik doch lernen, daß man sich durch Wahrhaftigkeit sehr gut verstehen kann. Warum willst Du uns die Freude am gegenseitigen Verstehen nehmen? mit herzlichen Grüßen Wolfgang Deppert 15:53, 23. Okt. 2007 (CEST)