Durchschnittlich erfasste Varianz

Die durchschnittlich erfasste Varianz (DEV; engl. average variance extracted, AVE) ist in der multivariaten Statistik eine Maßzahl wie gut eine einzelne latenten Variable (Konstrukt) $\eta$ seine Indikatoren $y_{i}$ ($i=1,\dotsc ,p$) erklärt. Dabei wird die Varianz eines jeden Indikators zerlegt in die Varianz ($\lambda _{i}^{2}$ = der quadrierte Regressionskoeffizient), erklärt durch das Konstrukt, und eine Fehlervarianz ($\operatorname {Var} (\epsilon _{i})$), nicht erklärt durch das Konstrukt. Damit definiert man

$DEV={\frac {\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\operatorname {Var} (\epsilon _{i})}}$.

Die DEV kann Werte zwischen 0 und 1 annehmen. Für ein gutes Konstrukt sollte gelten: $DEV>0{,}5$, d. h. im Durchschnitt sollen mehr als 50 % Varianz eines jeden Indikators durch das Konstrukt erklärt werden bzw. von der Gesamtvarianz aller Indikatoren wird mindestens die Hälfte durch das Konstrukt erklärt (und damit mehr als durch die Fehlervarianzen).

Ist die DEV eines Konstrukts höher als jede quadrierte Korrelation mit einem anderen Konstrukt, so kann auf Konstruktebene von Diskriminanzvalidität ausgegangen werden. Dieses Gütemaß wird als Fornell-Larcker-Kriterium bezeichnet, benannt nach den Autoren die DEV vorgeschlagen haben. (Zu beachten ist hierbei, dass die fehlerkorrigierten Korrelationen zwischen Konstrukten aus dem CFA-Modell statt den aus den Rohdaten entnommenen Korrelationen verwendet werden.) Dieses Gütemaß hat sich in Simulationsmodellen jedoch bei varianzbasierten Strukturgleichungsmodellen (z.B. PLS) als wenig zuverlässig erwiesen, hingegen bei kovarianzbasierten Strukturgleichungsmodellen (z.B. Amos) auf Konstruktebene als sehr verlässlich. Ein neueres Verfahren zur Feststellung von Diskriminanzvalidität wurde von Henseler et al. (2014) vorgestellt und ist als heterotrait-monotrait ratio (HTMT) bekannt.. Es liefert sowohl für varianzbasierte als auch kovarianzbasierte Strukturgleichungsmodelle zuverlässige Ergebnisse. Voorhees et al. (2015) schlagen für letztere eine Kombination beider Verfahren vor, wobei als Cutoff für HTMT der Wert 0.85 vorgeschlagen wird.

Die durchschnittlich erfasste Varianz ist neben Cronbachs Alpha und der Faktorreliabilität (composite reliability) eine der wichtigsten Größen zur Prüfung der Reliabilität einer Messskala.

Mathematische Ableitung

Ausgehend vom Messmodell

$y_{i}=\lambda _{i}\eta +\epsilon _{i}$

folgt

$\operatorname {Var} (y_{i})=\lambda _{i}^{2}+\operatorname {Var} (\epsilon _{i})$.

unter der Voraussetzung der Unabhängigkeit von $\eta$ und $\epsilon _{i}$ und $\operatorname {Var} (\eta )=1$. Dies ist z. B. gegeben bei Berechnung der Koeffizienten $\lambda _{i}$ mit Hilfe der Faktorenanalyse.

Die durchschnittlich erfasste Varianz ist dann die durch das Konstrukt erklärte totale Varianz der Indikatoren:

$DEV={\frac {\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{p}\operatorname {Var} (y_{i})}}={\frac {\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{p}\left(\lambda _{i}^{2}+\operatorname {Var} (\epsilon _{i})\right)}}={\frac {\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{2}}{\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{p}\operatorname {Var} (\epsilon _{i})}}.$

Werden die Koeffizienten $\lambda _{i}$ mit Hilfe der Faktoranalyse auf Basis der Korrelationmatrix durchgeführt, so wird lautet das Meßmodell eigentlich:

$z_{i}=\lambda _{i}\eta +\epsilon _{i}$

mit den standardisierten Variablen $z_{i}=(y_{i}-{\bar {y}}_{i})/s_{y_{i}}$ und ${\bar {y}}_{i}$ das arithmetische Mittel sowie $s_{y_{i}}$ die Standardabweichung der Variablen $y_{i}$. Für die standardisierte Variable gilt:

$1=\operatorname {Var} (z_{i})=\lambda _{i}^{2}+\operatorname {Var} (\epsilon _{i})\Longrightarrow \operatorname {Var} (\epsilon _{i})=1-\lambda _{i}^{2}$.