Einparameter-Untergruppe

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In der Theorie topologischer Gruppen ist eine Einparameter-Untergruppe ein stetiger Gruppenhomomorphismus aus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe. Damit ist eine Einparameter-Untergruppe keine Untergruppe im gruppentheoretischen Sinne.

Definition[Bearbeiten]

Einparameter-Untergruppen von Lie-Gruppen[Bearbeiten]

Sei G eine Lie-Gruppe, dann ist eine Abbildung  \varphi : \mathbb R \rightarrow G eine Einparameter-Untergruppe, wenn die Abbildung glatt und ein Gruppenhomomorphismus ist.

Beispiele[Bearbeiten]

  • Die stetigen Gruppenhomomorphismen  \mathbb R \to \mathbb R von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in sich selber sind genau die Abbildungen  x \mapsto \lambda x für ein festes  \lambda \in \mathbb R .
  • Die stetigen Gruppenhomomorphismen  \mathbb R \to \mathbb R^\times von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen reellen Zahlen sind genau die Abbildungen  x \mapsto a^x für ein festes a \in \R_{>0} .

Literatur[Bearbeiten]