Experimentelle Konvergenzordnung

Unter dem Begriff experimentelle Konvergenzordnung (englisch: experimental order of convergence, EOC) versteht man in der numerischen Mathematik einen Schätzwert der Konvergenzgeschwindigkeit eines Verfahrens zur numerischen Lösung von Differentialgleichungen. Um diesen zu berechnen werden die Näherungslösungen zweier beliebiger Iterationsstufen, ein Maß für die Gitterweite an diesen Stufen sowie der Grenzwert des Verfahrens benötigt.

Dieses Hilfsmittel wird oft zur Validierung von Finite-Elemente- und Diskontinuierliche Galerkin-Methoden eingesetzt.

Definition

Seien $u_{h},u_{h^{\prime }}$ numerische Lösungen des Verfahrens zu Diskretisierungsparametern $h,h^{\prime }$. Im eindimensionalen Fall ist $h$ üblicherweise die Länge des größten Intervalls. Im höherdimensionalen Fall nimmt man ein analoges Maß für die Feinheit des Gitters, beispielsweise in zwei Dimensionen den größten Inkreisdurchmesser. Sei $u$ der Grenzwert des Verfahrens für $h\rightarrow 0$. Dann ist die experimentelle Konvergenzordnung $\mathrm {EOC}$ in Abhängigkeit von $h$ und $h^{\prime }$ durch

$\mathrm {EOC} (h,h^{\prime })={\frac {\log {\frac {\|u_{h}-u\|}{\|u_{h^{\prime }}-u\|}}}{\log {\frac {h}{h^{\prime }}}}}$

gegeben. Dabei bezeichnet $\|\cdot \|$ eine geeignete Norm.

Motivation

Ein Ziel der Analysis numerischer Verfahren ist das Finden von A-priori-Fehlerschätzern der Form

$\|u_{h}-u\|\leq Ch^{\alpha }$

mit Konstanten $C,\alpha \in \mathbb {R}$. Dabei ist $\alpha$ die Konvergenzordnung, die durch die EOC näherungsweise bestimmt werden soll.

Dazu wird die Existenz eines idealen Fehlergesetzes der Form

$\|u_{h}-u\|=Ch^{\alpha }$

angenommen. Dies gilt sowohl für die Diskretisierung $h$ als auch für $h^{\prime }$. Durch Division der beiden Gleichungen erhält man

${\frac {\|u_{h}-u\|}{\|u_{h^{\prime }}-u\|}}=\left({\frac {h}{h^{\prime }}}\right)^{\alpha }$.

Also gilt

$\alpha =\log _{\frac {h}{h^{\prime }}}{\frac {\|u_{h}-u\|}{\|u_{h^{\prime }}-u\|}}$,

wobei $\log _{\frac {h}{h^{\prime }}}$ den Logarithmus zur Basis ${\frac {h}{h^{\prime }}}$ bezeichnet. Eine Umrechnung des Logarithmus zur Basis $10$ ergibt die Definition der $\mathrm {EOC}$.

Zusammenhang zur wahren Konvergenzordnung

Mittels der EOC kann keine Konvergenz nachgewiesen werden, da diese vorausgesetzt wird. Liegt ein konvergentes Verfahren vor, so kann im Allgemeinen nicht gesagt werden, ob die tatsächliche Konvergenzrate durch die EOC über- oder unterschätzt wird.