Fehler 1. und 2. Art
Der Fehler 1. Art oder α-Fehler (Alpha-Fehler) ist ein Fachbegriff der Statistik. Er bezieht sich auf eine Methode der mathematischen Statistik, den sogenannten Hypothesentest. Beim Test einer Hypothese liegt ein Fehler 1. Art vor, wenn die Nullhypothese zurückgewiesen wird, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist (beruhend auf falsch positiven Ergebnissen).
Die Ausgangshypothese (Nullhypothese) ist hierbei die Annahme, die Testsituation befinde sich im „Normalzustand“. Wird also dieser „Normalzustand“ nicht erkannt, obwohl er tatsächlich vorliegt, ergibt sich ein Fehler 1. Art. Beispiele für einen Fehler 1. Art sind
- der Patient wird als krank angesehen, obwohl er in Wirklichkeit gesund ist (Nullhypothese: der Patient ist gesund),
- der Angeklagte wird als schuldig verurteilt, obwohl er in Wirklichkeit unschuldig ist (Nullhypothese: der Angeklagte ist unschuldig),
- der Person wird kein Zugang gewährt, obwohl sie eine Zugangsberechtigung hat (Nullhypothese: die Person hat Zugangsberechtigung)
Die vor einem Test bzw. einer Untersuchung festgelegte maximale Wahrscheinlichkeit, bei einer auf dem Ergebnis des Tests fußenden Entscheidung einen solchen Fehler 1. Art zu begehen (Risiko 1. Art), nennt man auch Signifikanzniveau oder Irrtumswahrscheinlichkeit. In der Regel wählt man ein Signifikanzniveau von 5 % (signifikant) oder 1 % (sehr signifikant).
Die andere mögliche Fehlentscheidung, nämlich die Alternativhypothese zurückzuweisen, obwohl sie wahr ist, heißt Fehler 2. Art.
Entscheidungstabelle
| Wahrer Sachverhalt: H0 (Es gibt keinen Unterschied) |
Wahrer Sachverhalt: H1 (Es gibt einen Unterschied) | |
|---|---|---|
| durch einen statistischen Test fällt eine Entscheidung für: H0 | richtige Entscheidung (Spezifität) Wahrscheinlichkeit: 1-α |
Fehler 2. Art Wahrscheinlichkeit: 1-β |
| durch einen statistischen Test fällt eine Entscheidung für: H1 | Fehler 1. Art Wahrscheinlichkeit: α |
richtige Entscheidung Wahrscheinlichkeit: β (Testgüte) |
Beispiele
- Ein Tester hat eine Urne vor sich, in die er nicht hineinschauen kann. Darin befinden sich rote und grüne Kugeln. Es kann jeweils nur eine Kugel zu Testzwecken aus der Urne entnommen werden.
Alternativhypothese: „In der Urne befinden sich mehr rote als grüne Kugeln“.
Um ein Urteil über den Inhalt der Urne abgeben zu können, wird der Tester der Urne mehrmals Kugeln zu Testzwecken entnehmen. Wenn er daraufhin zu der Entscheidung gelangt, dass die Alternativhypothese zutreffend sein kann, also er die Meinung vertritt, dass mehr rote als grüne Kugeln in der Urne seien, obwohl in Wirklichkeit die Nullhypothese zutrifft, nämlich dass gleich viele rote wie grüne oder weniger rote als grüne Kugeln in der Urne sind, dann begeht er einen Fehler 1. Art. - Wir wollen überprüfen, ob eine neue Lernmethode die Lernleistung von Schülern steigert. Dafür vergleichen wir eine Gruppe von Schülern, die nach der neuen Lernmethode unterrichtet wurden, mit einer Stichprobe von Schülern, die nach der alten Methode unterrichtet wurden.
Alternativhypothese: „Schüler, die nach der neuen Lernmethode unterrichtet wurden, haben eine höhere Lernleistung als Schüler, die nach der alten Methode unterrichtet wurden.“
Angenommen in unserer Untersuchung weist die Stichprobe von Schülern, die nach der neuen Lernmethode unterrichtet wurden, tatsächlich eine bessere Lernleistung auf. Vielleicht beruht dieser Unterschied aber auch nur auf Zufall oder anderen Einflüssen. Wenn also in Wahrheit zwischen den beiden Populationen überhaupt kein Unterschied besteht und wir fälschlicherweise die Nullhypothese verwerfen – es also als gesichert ansehen, dass die neue Methode das Lernen verbessert – dann begehen wir einen Fehler 1. Art. Dieser kann natürlich fatale Folgen haben, wenn wir z. B. mit hohen Kosten und viel Aufwand den gesamten Unterricht auf die neue Lernmethode umstellen, obwohl diese in Wahrheit überhaupt keine besseren Ergebnisse bewirkt. - Spam-Filter für ankommende E-Mails: Ein Filter soll erkennen, ob eine E-Mail Spam ist oder nicht.
Nullhypothese: Es ist eine normale E-Mail und kein Spam.
Alternativhypothese: Es ist Spam.
Falls eine E-Mail als Spam klassifiziert wird, sie jedoch in Wirklichkeit kein Spam ist, die E-Mail also falsch als Spam klassifiziert wird, so sprechen wir von einem Fehler 1. Art (falsch-positiv).
Hinweis: Alpha (und Beta) sind bedingte Wahrscheinlichkeiten.