FitzHugh-Nagumo-Modell

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Das FitzHugh-Nagumo-Modell (nach Richard FitzHugh (* 1922) und J. Nagumo, die das Modell unabhängig voneinander entwickelten) beschreibt einen Prototyp eines anregbaren Systems, zum Beispiel eines Neurons. Wenn die äußere Anregung  I_{\rm ext} einen Schwellenwert überschreitet, führt das System eine charakteristische Exkursion im (v,w)-Phasenraum aus, bevor die Variablen v und w zu ihren Ruhewerten  (v_0,w_0) zurückkehren. Dieses Verhalten ist modellhaft für die Generation von Spikes (=kurzzeitige Erhöhung der Membranspannung v) in einem Neuron nach Stimulation durch einen externen Strom I_{\rm ext}.

Spike-Dynamik des FitzHugh-Nagumo-Modells nach kurzer Anregung I_{\rm ext}\neq 0
Nullklinen des FitzHugh-Nagumo-Modells (blau) sowie Beispieltrajektorie (rot)

Die Gleichungen dieses dynamischen Systems lauten

\dot{v}=v-\frac{1}{3}v^3 - w + I_{\rm ext}
\tau \dot{w} = v-a-b w

Die Anregungs-Dynamik kann mithilfe der Nullklinen anschaulich dargestellt werden. Der stationäre Punkt  (v_0,w_0) (Ruhewerte) ist der Schnittpunkt der \dot{v}- und der \dot{w}-Nullklinen. Wird das System für kurze Zeit angeregt ( I_{\rm ext} \neq 0 ), beschreibt es eine Exkursion im Phasenraum, die sich in vier Stadien einteilen lässt: zunächst beschreibt die Trajektorie eine fast horizontale Trajektorie, da wegen  \tau \gg 1 gilt  \dot{v} \gg \dot{w} . Sobald die Trajektorie die kubische \dot{v}-Nullkline erreicht, sinkt  \dot{v} rapide und die Trajektorie folgt der \dot{v}-Nullklinen. Am oberen Scheitelpunkt der \dot{v}-Nullklinen, erfolgt eine weitere horizontale Passage zum linken Ast der \dot{v}-Nullkline, und anschließend eine erneute Phase, in der die Trajektorie dieser Nullklinen folgt.

Das FitzHugh-Nagumo-Modell ist eine vereinfachte Version des Hodgkin-Huxley-Modell, welches detailliert die Aktivierungs- und Deaktivierungsdynamik in einem spikenden Neuron abbildet. In den Original-Artikeln von FitzHugh wird dies Modell auch als Bonhoeffer-van-der-Pol-Oszillator bezeichnet, da es den van-der-Pol-Oszillator als Spezialfall für  a=b=0 enthält.

Literatur[Bearbeiten]

  • FitzHugh R. (1955) Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane. Bull. Math. Biophysics, 17:257–278
  • FitzHugh R. (1961) Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane. Biophysical J. 1:445–466
  • FitzHugh R. (1969) Mathematical models of excitation and propagation in nerve. Chapter 1 (pp. 1–85 in H.P. Schwan, ed. Biological Engineering, McGraw-Hill Book Co., N.Y.)
  • Nagumo J., Arimoto S., and Yoshizawa S. (1962) An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proc IRE. 50:2061–2070.

Weblinks[Bearbeiten]