Phasenraum

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Der Phasenraum beschreibt die Menge aller möglichen Zustände eines physikalischen Systems[Anm. 1]. Jeder Zustand des Systems entspricht einem Punkt im Phasenraum. Der Phasenraum beschreibt im Gegensatz zum Zustandsraum nicht die Zeit.[1]

Für Systeme mit bis zu drei Variablen kann der Phasenraum graphisch dargestellt werden. Dieses Phasenraumportrait oder Phasenportrait bietet die Möglichkeit, einige charakteristische Strukturen wie Nullklinen und Fixpunkte sowie das Vektorfeld der Dynamik des Systems zu erfassen, ohne die explizite Lösung der Bewegungsgleichungen kennen zu müssen. Ein solches Vorgehen nennt man Phasenraumanalyse.

Ein Phasenraum kann in Unterräume zerlegt werden. Zum Beispiel bildet im Phasenraum eines Massenpunktes der Unterraum der möglichen Ortsvektoren den Ortsraum und der Unterraum der möglichen Impulsvektoren den Impulsraum.[2]

Trajektorien im Phasenraum[Bearbeiten]

Trajektorie eines gedämpften Feder-Masse-Schwingers

Die Menge aller Punkte, die von einem bestimmten Anfangspunkt aus die zeitliche Entwicklung des Systems bestimmen, heißt Trajektorie. Trajektorien bilden im Phasenraum kreuzungsfreie Kurven, so dass man von jedem der Punkte einer Trajektorie ihren weiteren Verlauf eindeutig bestimmen kann. Gäbe es zwei sich kreuzende Trajektorien, so wäre die Lösung der kanonischen Gleichungen nicht eindeutig, und man erhielte keine eindeutige Vorhersage. Geschlossene Kurven, sogenannte Orbits, sind jedoch möglich, sie beschreiben oszillierende Systeme.

Ein dynamisches System, dessen Trajektorien den gesamten Phasenraum ausfüllen, also jedem Punkt im Phasenraum beliebig nahe kommen, nennt man ergodisch, siehe auch Ergodenhypothese.

Trotz ihrer Kreuzungsfreiheit können Trajektorien unterschiedlich dicht im Raum liegen. Dies wird durch die Phasenraumdichte quantitativ beschrieben, die auch in der statistischen Mechanik von zentraler Bedeutung ist. Wichtig für die Klassifikation eines dynamischen Systems ist die Entwicklung der Phasenraumdichte bzw. des Phasenraumvolumens mit der Zeit:

  • Nimmt der Abstand zwischen annähernd parallel verlaufenden Trajektorien in einem Bündel ab, so sinkt das Phasenraumvolumen; das System wird dissipativ genannt. Dissipative Systeme verlieren Energie an ihre Umgebung, es handelt sich also um offene Systeme.
  • Systeme mit konstantem Phasenraumvolumen dagegen heißen konservativ. Sie sind abgeschlossen, erhalten also die Gesamtenergie. Das gleiche wird mathematisch durch den Satz von Liouville ausgesagt.

Phasenraumanalyse[Bearbeiten]

Phasenporträt des gedämpften Feder-Masse-Schwingers mit Vektorfeld und Trajektorie
Phasenportrait des van-der-Pol-Oszillators mit Vektorfeld und typischen Trajektorien.

Das Phasenraumportrait gibt eine Möglichkeit, die zeitlichen Entwicklungen dynamischer Systeme graphisch zu analysieren. Dazu werden nur die dynamischen Gleichungen des Systems benötigt, eine explizite Darstellung der Zeitentwicklung, etwa durch analytisches Lösen einer Differentialgleichung, ist nicht nötig.

Als Beispiel folgen einige Elemente der Phasenraumanalyse in einem zweidimensionalen System {x, y}, das durch die Differentialgleichungen

x' = f_x(x,y) und
y' = f_y(x,y)

beschrieben ist:

  • Einzeichnen des Vektorfelds der Dynamik: Für ein Raster von Punkten wird die Richtung der Bewegung im Phasenraum durch Pfeile dargestellt. Folgt man nun ausgehend von einem bestimmten Startpunkt dem Pfeil, kommt man zu einem neuen Punkt, wo man dieses Vorgehen wiederholen kann. So kann man anhand des Vektorfelds zusätzlich typische Trajektorien in das Phasenraumportrait einzeichnen, die qualitative Verhalten der zeitlichen Entwicklung einschätzen helfen. Beim van-der-Pol-Oszillator zum Beispiel laufen alle Trajektorien auf einen Grenzzyklus zu, was sich anhand von Beispieltrajektorien innerhalb und außerhalb des Zyklus illustrieren lässt. Für einfache dynamische Systeme kann man Vektorfeld und Beispieltrajektorien oft mit der Hand einzeichnen, bei komplexeren Systemen kann dies durch Computerprogramme geschehen.

  • Einzeichnen der Nullklinen: Eine Nullkline bezeichnet eine Kurve im Phasenraum, entlang derer sich eine der dynamischen Variablen nicht ändert. Im Fall des obigen zweidimensionalen Systems ist die x-Nullkline durch die Bedingung x' = f_x(x, y) = 0 und die y-Nullkline durch die y' = f_y(x, y) = 0 definiert. Diese Gleichungen lassen sich häufig auch dann nach einer der Variablen auflösen, wenn die Gesamtdynamik nicht analytisch integriert werden kann.
  • Bestimmen von Fixpunkten und ihrer Stabilität: Als Fixpunkte werden Zustände bezeichnet, die sich mit der Zeit nicht ändern. Solche Fixpunkte entsprechen den Kreuzungspunkten der Nullklinen im Phasenraum. Im obigen zweidimensionalen System erklärt sich das dadurch, dass an solch einem Kreuzungspunkt die Bedingung f_x(x,y) = f_y(x,y) = 0 erfüllt ist. Durch eine lineare Stabilitätsanalyse kann auch bestimmt werden, ob Trajektorien in der Nähe dieser Punkte angezogen oder abgestoßen werden.

  • Finden von Separatrizen: Als Separatrix (abgeleitet von lat. separare „trennen“) wird eine Kurve bzw. (Hyper-)Fläche bezeichnet, die Phasenraumgebiete mit unterschiedlichem (Langzeit-)Verhalten voneinander trennt[3]. Gibt es beispielsweise zwei Fixpunkte, die Trajektorien anziehen, gibt es unter Umständen eine Separatrix, die die beiden Einzugsbereiche voneinander trennt. Mit den Orten und der Stabilität aller Fixpunkte, bzw mit dem Vektorfeld der Dynamik können in geeigneten Fällen die Separatrizen ohne weitere Berechnungen gefunden werden.

Anwendung[Bearbeiten]

In der hamiltonschen Mechanik ist der Phasenraum der Raum der Orte und Impulse. Bei einer Anzahl von N freien Massenpunkten ist dieser Raum also 6N-dimensional. Das zugehörige Differentialgleichungssystem wird aus den Hamiltonschen Bewegungsgleichungen gebildet.

Da Licht einer bestimmten Wellenlänge der Impuls \vec p=\hbar \vec k zugeordnet ist, kann ihm in der Strahlenoptik eine "Bahn" im Phasenraum zugeordnet werden.[4]

Unterscheidung zum Konfigurationsraum[Bearbeiten]

Der Konfigurationsraum besteht im Unterschied zum Phasenraum nur aus den möglichen Orten der betrachteten Teilchen. Bei N Teilchen in drei Dimensionen ist der Konfigurationsraum also 3N-dimensional. Der Konfigurationsraum ist jedoch kein Phasenraum, da die Angabe des Ortes das System nicht vollständig beschreibt. Insbesondere können sich Trajektorien im Konfigurationsraum beliebig oft schneiden. Der Phasenraum im Sinne der Hamiltonschen Mechanik ist das Kotangentialbündel über dem Konfigurationsraum.

Anmerkungen[Bearbeiten]

  1. Der Name erklärt sich daraus, dass bis Anfang des 20. Jahrhunderts Zustände auch Phasen genannt wurden. Er hat nichts mit den verschiedenen Phasen einer periodischen Bewegung oder den Phasen thermodynamischer Phasenübergänge zu tun.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Grundkurs Theoretische Physik 2, Wolfgang Nolting, Springer DE, 2006, S. 121 ff, Google Books
  2. Theoretische Physik 2. Klassische Mechanik II, Walter Greiner, Harri Deutsch Verlag, 2008, ISBN 3817118287, S.325, eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche
  3.  Steven H. Strogatz: Nonlinear Dynamics And Chaos. Westview Press, 2000, ISBN 9780738204536, S. 159.
  4. Optische Kommunikationstechnik, Edgar Voges, Klaus Petermann, Springer DE, 2002, S. 221, Google Books

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Y. S. Kim: The physics of phase space. Springer, Berlin 1987, ISBN 3-540-17894-5.
  • Cosmas K. Zachos: Quantum mechanics in phase space - an overview with selected papers. World Scientific, Singapore 2005, ISBN 978-981-238-384-6.

Weblinks[Bearbeiten]