Hessenbergmatrix

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Eine Hessenbergmatrix ist eine spezielle Klasse von quadratische Matrizen, die insbesondere im mathematischen Teilgebiet der numerischen linearen Algebra betrachtet wird. Benannt sind diese Matrizen nach Karl Hessenberg.

Definition[Bearbeiten]

Eine (obere) Hessenbergmatrix ist eine quadratische Matrix H\in\mathbb{C}^{n\times n}, deren Einträge unterhalb der ersten Nebendiagonalen gleich Null sind, also h_{ij}=0 für alle i>j+1.

H = \begin{pmatrix}
h_{11} & h_{12} & h_{13} & \cdots & h_{1n}\\
h_{21} & h_{22} & h_{23} &\cdots & h_{2n}\\
0 & h_{32} & h_{33} & \cdots & h_{3n}\\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots\\
0 &  \cdots & 0 & h_{nn-1} & h_{nn}
\end{pmatrix}

Analog definiert man die untere Hessenbergmatrix als eine quadratische Matrix, deren Transponierte eine obere Hessenbergmatrix ist. Ist nur von einer Hessenbergmatrix die Rede, ist meist eine obere Hessenbergmatrix gemeint.[1]

Eine Matrix, die sowohl eine untere als auch eine obere Hessenbergmatrix ist, ist eine Tridiagonalmatrix.

Anwendung[Bearbeiten]

Hessenbergmatrizen treten in natürlicher Weise in Krylow-Unterraum-Verfahren und als Vorstufe bei der Berechnung von Eigenwerten mittels des QR-Algorithmus auf. Die numerische Transformation einer beliebigen Matrix auf Hessenbergform wird beim QR-Algorithmus beschrieben. Die Struktur der Matrizen spiegelt sich in der Inversen, der Adjunkten und in den Eigenvektoren wider.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Guido Walz (Hrsg.): Hessenberg-Form. In: Lexikon der Mathematik. 1 Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.